1. Het verschil tussen gemiddelde snelheid en momentane snelheid 6



Dovnload 429.94 Kb.
Pagina1/6
Datum19.08.2016
Grootte429.94 Kb.
  1   2   3   4   5   6






Inhoudsopgave
Sites 3

0. Veranderingen 4

1. Het verschil tussen gemiddelde snelheid en momentane snelheid 6

2. Groeisnelheden uit grafieken 13

3. Gemiddelde veranderingen bij niet lineaire functies 17

4. De groeisnelheid uit grafieken van niet-lineaire functies 22

5. De groeisnelheid van tweedegraadsfuncties 33

6. De afgeleide van tweedegraadsfuncties en economische toepassingen 40

7. De groeisnelheid van y = x3 47

8. Wat je moet weten en kunnen van hoofdstuk 1 t/m 7 53

9. Het gebruik en de betekenis van de afgeleide in andere vakken (toepassingen) 58

WB voor een opgave geeft aan dat er een werkblad bij die opgave hoort.


 geeft aan welke centrale vraag in het komende stukje wordt behandeld.
 geeft aan dat de centrale vraag van het voorgaande wordt beantwoord.

Op bladzijde 3 staan links naar sites waar verschillende aspecten van dit onderwerp worden geïllustreerd.

© 2009 cTWO

Experimentele uitgave voor Differentiëren, vwo, wiskunde A

versie 3 (januari 2011)

auteurs: Leon van den Broek, Peter Kop

met medewerking van: Cees Garst, Nicolette van de Kuilen, Hielke Peereboom
Site bij hoofdstuk 4
1) http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html
Surf over de grafiek en bekijk de helling in ieder punt.
Sites bij hoofdstuk 5
2) http://www.digischool.nl/wi/tweede_fase/grafiek-helling-1.htm
Loop over de grafiek en kijk hoe je de groeisnelheid terugziet in de grafiek van de afgeleide.
3) http://www.ies.co.jp/math/java/calc/x_diff/x_diff.html
Loop over de grafiek en laat de grafiek van de afgeleide schetsen.
4) http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/hotpotatoes/helling1.htm
Zoek bij elke grafiek de goede hellingfunctie (afgeleide).
Sites bij hoofdstuk 8

5) http://wims.math.leidenuniv.nl/wims/wims.cgi?&lang=nl&+module= U1/analysis/derdraw.nl&cmd=intro



Schets zelf bij een gegeven grafiek de grafiek van de afgeleide.
6) http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/page.jsp?s1=calculus&s2= differentiate&s3=basic
Snel de afgeleide laten bepalen.


Eventueel ook bruikbaar
http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/afgeleide_functie.htm#applet

Schuif de x-coördinaat en kijk naar de groeisnelheid bij die waarde van x.



http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/hotpotatoes/helling1.htm
zoek bij elke grafiek de goede hellingfunctie (afgeleide)

http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00166/toepassing_wisweb.html
pak een punt van de lijn en probeer zo goed mogelijk een raaklijn te maken (je kunt inzoomen om beter te kunnen kijken)


0. Veranderingen

Voordat je begint aan dit lesmateriaal vragen we je om, met eigen kennis en die van je klasgenoten, na te denken over de centrale vragen die verderop aan de orde komen.

Deze centrale vragen komen verderop uitgebreid aan bod. Toch lijkt het ons goed om ‘met gezond verstand’ na te denken over deze vragen, zonder afgeleid te worden door allerlei nieuwe uitleg. Het gaat om eigen redeneringen en uitwisseling van argumenten met klasgenoten. Later leer je hoe deze vragen in de wiskunde worden beantwoord.

Opdracht 1

Schets bij ieder citaat een (globale) grafiek van het nationale inkomen.

a. ‘De groei van het nationale inkomen neemt volgend jaar af.’

b. ‘De daling van het nationale inkomen zet volgend jaar versterkt door.’

c. ‘Het nationale inkomen daalde vorig jaar steeds sneller; sinds januari daalt het nog steeds, maar minder snel dan voorheen.’

Als dingen veranderen, willen we graag weten hóe ze veranderen. Denk bijvoorbeeld aan koersen van aandelen, aantal inwoners in een land, winst van een bedrijf in de loop van de jaren, … .

Vaak gaat het over veranderen in de tijd, maar dat hoeft niet. We kunnen ook bijvoorbeeld kijken naar



  • de verandering van de winst als je meer goederen produceert,

  • de verandering van belasting als je meer gaat verdienen,

  • de verandering van de remweg van een auto als je harder rijdt,

  • de verandering van de lengte van een volwassen goudvis als zijn waterkom meer water bevat.

In al deze gevallen is er sprake van een verband tussen twee variabelen, waarbij de ene variabele afhankelijk is van de andere. In de wiskunde noemen we de onafhankelijke variabele meestal x en de afhankelijke variabele y. Zo’n afhankelijkheidsverband noemen we een functie: y is een functie van x.

Bij het tweede voorbeeld hierboven was sprake van belasting die afhangt van het inkomen. Aan de hand van het inkomen (de onafhankelijke variabele x) wordt de belasting vastgesteld (de afhankelijke variabele y).

Schematisch: x (inkomen)  y (belasting)

Bij het derde voorbeeld heb je: x (snelheid auto)  y (remweg)

Als x verandert, verandert y mee. We gaan nu bekijken hoe de verandering van y samenhangt met de verandering van x.

Opdracht 2

Aan de hand van voorbeelden bespreken we verschillende centrale vragen uit het vervolg. Probeer de vragen te beantwoorden en bespreek je antwoorden met je klasgenoten.

Gegeven is de functie:



x (het aantal geproduceerde goederen)  K (de kosten in euro’s)

door de formule .

a. Schets een grafiek en geef aan hoe K verandert als x groter wordt.

Gegeven is de functie



x (het aantal jaren na 1970)  A (het aantal transistors) op een chip,

door de formule  A = 2250 · 1,404x.

b. Maak een tabel zoals hieronder. Schrijf bij iedere waarde van x hoeveel A het afgelopen jaar is gestegen. Dus bij x = 4 schrijf je het verschil tussen A bij x = 4 en A bij x = 3


x

0

1

2

3

4

5

6

toename A






















Hiernaast zie je de omvang van de Nederlandse bevolking in beeld gebracht van 1900 t/m 2050.

Bron: CBS.

c. Bereken de gemiddelde toename van de Nederlandse bevolking per 10 jaar.

Als je een steen van de Domtoren (hoogte 110 meter) naar beneden laat vallen (wat niet mag), wordt de hoogte van de steen gegeven door de formule h = 110−5·t 2,

waarbij h de hoogte is in meters en t de valtijd in seconden. Volgens deze formule komt het voorwerp na 4,69 seconde op de grond.

d. Bereken hoeveel meter de steen gedurende de laatste 0,01 seconde van zijn val aflegt.

Bereken met welke snelheid in km/uur (ongeveer) de steen op de grond komt.



Als bij een functie x  y de waarde van x verandert, verandert y meestal mee. Hoe die verandering van y samenhangt met de verandering van x, leer je in dit hoofdstuk.

Bij bijvoorbeeld de functie y = x2 − 4x leer je de gemiddelde verandering van y berekenen als x toeneemt van 3 tot 6 en ook hoe steil de grafiek van deze functie is in het punt waar x = 3.

Deze wiskundige zaken zijn goed te vertalen naar snelheden. Dan is het eenvoudiger om je er iets bij voor te stellen. Dat gaan we dan ook regelmatig doen.

Veel succes.

1. Het verschil tussen gemiddelde snelheid en momentane snelheid
Centrale vraag: wat is het verschil tussen een gemiddelde snelheid en een

momentane snelheid?
WB Opgave 1

Op de Olympische Spelen van 2008 in Peking won Usain Bolt zowel de 100 meter als de 200 meter sprint (atletiek, heren). Zijn tijden waren 9,69 sec over de 100 meter en 19,30 sec over de 200 meter.

We kijken naar de vraag ‘Liep Bolt op de 200 meter harder dan op de 100 meter?’
a. Toon aan dat Bolt op de 200 meter een hogere gemiddelde snelheid haalde dan op de 100 meter.
Je kunt de vraag ‘Liep Bolt op de 200 meter harder dan op de 100 meter?’ vanuit twee invalshoeken proberen te beantwoorden.

1. Je kijkt naar de gemiddelde snelheid (zie vraag a.)

2. Je kijkt naar de topsnelheid die tijdens de race gehaald werd.
Die verschillende invalshoeken kunnen ook verschillende antwoorden opleveren.

b. Schets in de figuur op het werkblad een mogelijk verloop van de 100 m en van de 200 m waarbij de topsnelheid op de 100 m hoger was dan de topsnelheid van de 200 m. Leg uit hoe je dat in de figuur ziet.



Op de volgende bladzijde zie je de finish van Bolt op de 100 m.

c. Probeer, op basis van dit plaatje, een schatting maken van zijn voorsprong in meters en ook van zijn voorsprong in tijd op zijn achtervolgers.
Op internet is veel te vinden over de finales 100 m en 200 m.

d. Controleer je antwoord op vraag b met behulp van gegevens over de race op internet.



WB Opgave 2

Big Boy wordt met zijn auto aangehouden door agente Tiny Toy, die hem wil bekeuren voor te hard rijden, harder dan 50 km/u. Big Boy verweert zich met: ‘Te hard rijden? Hoe kan dat nu? Ik ben al 30 minuten onderweg en heb pas 22 km afgelegd.

Maak op het werkblad een grafiekje waarin je het argument van Big Boy weerlegt en waaruit blijkt dat Tiny Toy wel degelijk gelijk kan hebben.



WB Opgave 3

Rosanne gaat morgen een bergwandeling maken naar een berghut. Het hoogteverschil tussen de camping waar ze nu is, en de berghut is maar 500 meter. De afstand is maar 10 km. Laat met een grafiekje zien dat deze wandeling geen makkie hoeft te zijn.

WB Opgave 4

Hieronder staan de tarieven van de inkomstenbelasting, box 1, inclusief premieheffing volksverzekeringen, voor mensen tot 65 jaar (2009).

schijf

belastbaar inkomen

percentage

volle schijf

1

t/m 17.878

33,5%

5989

2

van 17.879 t/m 32.127

42%

5984

3

van 32.128 t/m 54.776

42%

9512

4

54.777 of meer

52%



Bij een inkomen van € 43.210 zijn de eerste twee schijven vol. Daarvoor wordt dus € 5989 en € 5984 belasting betaald. Voor schijf 3 blijft het bedrag 43210 − 32127 = 11083 over; daar-over moet 42% worden betaald, dat is € 4654. In totaal betaalt iemand met een inkomen van € 43.210 dus € 16627 belasting. Hieronder staat de grafiek van de te betalen belasting als functie van het inkomen. Je mag te betalen belasting naar beneden afronden op hele euro’s




De grafiek bestaat uit drie lijnstukken, waartussen de knikpunten dik zijn aangegeven.

a. Wat is de richtingscoëfficiënt van die lijnstukken?

Iemand, met een jaarinkomen van 70000 euro, moppert dat hij zo veel belasting moet betalen: “Voor iedere euro die ik verdien breng ik 52 cent naar de fiscus”.

b. Geef aan hoe deze uitspraak bedoeld is en waarom hij niet klopt. Illustreer je uitleg met een grafiekje op het werkblad.

Opgave 5

De beursen zijn in 2008 flink gekelderd. De AEX- index geeft een soort gemiddelde koers van 25 grote Nederlandse bedrijven. Hieronder zie je het verloop van de AEX-index voor verschillende perioden.

De AEX-index in een maand (tussen 081208 en 080109)



De AEX-index in een jaar (tussen 080108 en 080109)




De AEX-index in twaalf jaar (tussen 080197 en 080109)


Hieronder zie je een tabel van de AEX-index tussen 5 juni 2008 en 8 januari 2009




080605: 482,26

  

080730: 404,39

  

080923: 367,64




081117: 246,33

080606: 471,23

080731: 399,95

080924: 360,62




081118: 250,62

080609: 469,82

080801: 394,53

080925: 369,35




081119: 238,12

080610: 464,19

080804: 392,48

080926: 354,58




081120: 227,82

080611: 456,34

080805: 403,46

080929: 323,55




081121: 222,93

080612: 459,11

080806: 410,51

080930: 331,45




081124: 245,86

080613: 459,96

080807: 405,69

081001: 334,24




081125: 245,84

080616: 458,70

080808: 408,52

081002: 330,83




081126: 245,16

080617: 459,83

080811: 412,13

081003: 344,02




081127: 253,26

080618: 450,57

080812: 415,56

081006: 312,56




081128: 252,55

080619: 446,68

080813: 410,33

081007: 309,44




081201: 235,50

080620: 437,33

080814: 409,41

081008: 285,66




081202: 241,34

080623: 437,44

080815: 409,86

081009: 281,97




081203: 242,04

080624: 437,38

080818: 410,51

081010: 258,05




081204: 240,80

080625: 439,56

080819: 398,75

081013: 285,27




081205: 229,44

080626: 426,03

080820: 402,59

081014: 284,51




081208: 248,12

080627: 425,92

080821: 400,23

081015: 263,00




081209: 253,39

080630: 425,93

080822: 408,19

081016: 248,04




081210: 256,15

080701: 414,52

080825: 402,70

081017: 252,26




081211: 254,77

080702: 408,40

080826: 403,24

081020: 269,41




081212: 247,75

080703: 408,55

080827: 406,12

081021: 269,36




081215: 247,11

080704: 403,36

080828: 411,13

081022: 255,08




081216: 248,26

080707: 411,12

080829: 412,84

081023: 257,85




081217: 247,76

080708: 402,79

080901: 412,09

081024: 245,92




081218: 249,88

080709: 410,83

080902: 414,70

081027: 237,10




081219: 249,54

080710: 401,93

080903: 406,32

081028: 237,96




081222: 243,44

080711: 391,98

080904: 397,17

081029: 259,58




081223: 244,50

080714: 395,35

080905: 389,22

081030: 257,65




081224: 241,90

080715: 383,66

080908: 398,79

081031: 267,69




081229: 240,81

080716: 383,99

080909: 395,73

081103: 273,01




081230: 246,58

080717: 392,66

080910: 393,90

081104: 291,13




081231: 245,94

080718: 395,94

080911: 392,56

081105: 279,44




-----

080721: 400,36

080912: 399,57

081106: 260,61




090102: 258,23

080722: 400,20

080915: 385,04

081107: 265,72




090105: 261,78

080723: 405,38

080916: 371,20

081110: 267,13




090106: 269,27

080724: 396,65

080917: 356,98

081111: 257,13




090107: 265,04

080725: 395,77

080918: 351,66

081112: 249,25




090108: 264,59

080728: 392,98

080919: 381,83

081113: 249,96







080729: 395,10

080922: 375,19

081114: 252,47






a. Hoe groot is de verandering tussen 1 december en 31 december.

b. Tussen welke twee opeenvolgende noteringen in december 2008 is de stijging het grootst en hoe groot is die stijging?
De grafiek van de afgelopen maand vind je natuurlijk ook terug in de grafiek van de afgelopen jaar.

WB c. Geef op het werkblad aan waar.


In een periode van 12 jaar zijn er zeer veel schommelingen. Het is handiger te kijken naar de gemiddelde verandering per jaar.

d. Bereken deze gemiddelde verandering per jaar.


Bekijk de derde grafiek. In 2008 is de AEX-index sterk gedaald, en ook in de periode van 1 jan 2001 tot 1 jan 2003 is de AEX-index gedaald.

e. Hoe zie je in de grafiek welke daling het grootst is?


De derde grafiek kan grof benaderd worden door een viertal rechte lijnen.

WB f. Teken deze vier lijnen in de figuur op het werkblad en geef van elke lijn de helling (richtingscoëfficiënt). Neem t = 0 voor 2 januari 1997 en t = 12 voor 2 januari 2009.



  1   2   3   4   5   6


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina