1 Wiskunde d logica practicum 1 Welkom bij het practicum van Wiskunde D! Dit practicum dient in de eerste plaats ter ondersteuning van de theorielessen



Dovnload 56.25 Kb.
Datum20.08.2016
Grootte56.25 Kb.

1

Wiskunde D Logica practicum 1





Welkom bij het practicum van Wiskunde D! Dit practicum dient in de eerste plaats ter ondersteuning van de theorielessen. Dit wil niet zeggen dat deelname vrijblijvend is, in tegendeel, alle komende practica dien je naar volle tevredenheid van je practicumdocent uit te voeren.
Spelregels practica:

  • Dit practicum bestaat uit een aantal onderdelen, aangeduid met letters. Elk onderdeel vormt een op zichzelf staand geheel. Het is wel de bedoeling om ze opeenvolgend uit te voeren (dus eerst A, daarna B enz.).

  • Nadat je een onderdeel hebt uitgevoerd, laat je dit controleren door de practicumdocent. Als je het goed hebt gedaan, tekent hij of zij dit af.

  • Roep niet bij ieder wissewasje je practicumdocent. Probeer eerst zelf het probleem op te lossen met behulp de handleiding.

  • Werk serieus, ga niet browsen en/of MSN-en. Je telefoon heb je voor dit practicum overigens ook niet nodig. Je zult je tijd nodig hebben om het practicum succesvol af te ronden.

  • De practicumdocent heeft een aftekenlijst. Op deze aftekenlijst houdt hij of zijn je voortgang bij. Na elk onderdeel laat je de resultaten zien aan de docent, en als hij tevreden is, tekent hij dit onderdeel voor je af.


Ga nu verder met onderdeel A en maak jezelf vertrouwd met SIM-PL..


Onderdeel A

Introductie SIM-PL


SIM-PL

SIM-PL is een computerprogramma die de werking van logische schakelingen zoals computers helpt verduidelijken. Het softwarepakket simuleert schakelingen van een paar poorten tot complete processoren. Maar voordat we verder gaan met het bouwen van een logische schakeling in SIM-PL, gaan we eerst kijken naar wat een bit nu is, en welke poorten er zijn. Je zult ongetwijfeld overeenkomsten ontdekken met de theorie uit de Syllabus Logica.


BIT, true of False

Een computer werkt alleen met ‘nullen’ en ‘enen’. Is deze uitspraak waar? Ja, want een 0 of een 1 hoeft namelijk niet per se een getal voor te stellen. Het is mogelijk daar ook een andere betekenis aan toe te kennen. Een voorbeeld: een computerchip bevat miljoenen transistoren. Deze transistoren werken als schakelaars. De spanning op de uitgang van een schakelaar is 0 Volt of 5 Volt. Aan deze spanningsniveaus kennen we een waarde toe: 0 Volt = ‘0’1) en 5 Volt = ‘1’. Een ander voorbeeld komt uit de logica: een 0 kan betekenen dat een ‘bewering’ niet waar is (FALSE). De waarde 1 zou dan betekenen dat de bewering wel waar is (TRUE). Hieronder nog enkele voorbeelden van toestanden of signalen die twee mogelijke waarden kunnen aannemen:



  • Dicht / Open

  • Uit / Aan

De term 'bit' is een afkorting van 'binary digit'. Deze term duidt op een beperking tot twee onderscheiden situaties. Om verwarring te voorkomen met de decimale cijfers 0 en 1 worden binaire cijfers aangeduid met de symbolen '0' en '1'. In tabellen wordt echter 0 en 1 gebruikt.
Poorten, de digitale bouwstenen

Een poort is een schakeling opgebouwd uit transistoren. Een poort heeft één of meer ingangen en één uitgang. De uitgang en de ingangen kunnen alléén de waarde ‘0’ en ‘1’ aannemen. Poorten worden daarom logische schakelingen genoemd. De belangrijkste poorten zijn: de inverter, de AND-poort, de OR-poort en de XOR-poort. De bij deze poorten behorende logische operatoren zijn respectievelijk NOT, AND, OR en XOR. In de syllabus worden hiervoor de logische symbolen , , en gebruikt.


Operatoren zijn bewerkingen op getallen. In het geval 12 + 23 is het teken + de rekenkundige operator voor optellen. Om de relatie tussen de waarden op de ingangen en de uitgang van een poort te beschrijven wordt een waarheidstabel gebruikt. In de linkerkolom van de tabel staan alle mogelijke combinaties van ingangswaarden en in de rechterkolom staat de bijbehorende uitgangswaarde. Ieder type poort heeft een eigen symbool.
Hiernaast is het symbool van een OR-poort met twee ingangen weergegeven. Het symbool bestaat uit een vierkant. De twee lijnen links van dit vierkant zijn ingangen. De willekeurig gekozen letters v en w geven iedere ingang een naam. De lijn rechts van het vierkant is de uitgang. Deze heeft de hoofdletter Z als naam. De tekst in het vierkant, hier ≥1, geeft de relatie tussen ingangen en uitgang aan (≥1 betekent hier minstens 1). De symbolen zijn die van de IEC-standaard (International

Electrotechnical Commission).



Inverter ()

Waarheidstabel

Een inverter heeft één ingang. Het signaal op deze ingang

wordt geïnverteerd (‘1’ wordt ‘0’ ofwel ‘hoog’ wordt ‘laag’ en

omgekeerd). De waarde van de uitgang Z is de logische

omkering (negatie, ontkenning, inverse) van de ingang v. Het ‘bolletje’ bij de uitgang Z van het symbool geeft de inversie aan.

Er geldt: Z = NOT v. Volgens de notatie in de theoriesyllabus is dit dus gelijk aan .

AND-poort

Waarheidstabel

De AND-poort heeft twee of meer ingangen. Alle

ingangssignalen moeten ‘hoog’ zijn om een hoog uitgangssignaal te verkrijgen. Een AND-poort met twee ingangen is hier weergegeven. Het symbool &

(ampersand) wordt vaak gebruikt als ‘en’-teken. Er geldt: Z = v AND w. [ ]


OR-poort

Waarheidstabel

De OR-poort heeft twee of meer ingangen. Indien één of meer ingangen ‘1’ zijn, is de uitgang ‘1’. Alleen als alle ingangen ‘0’ zijn, is de uitgang ‘0’. Een OR-poort met twee ingangen is hier weergegeven. Het symbool ≥1 betekent minstens 1. Er geldt: Z = v OR w.

[ ]




OR-poort met drie ingangen

Waarheidstabel







AND- en OR-poorten kunnen meer dan twee ingangen hebben. Hiernaast is de OR-poort met drie ingangen weergegeven. Er geldt: Z = v OR w OR x, oftewel . Doordat deze poort drie ingangen heeft, zijn er acht (2*2*2 = 2³) combinaties van verschillende waarden voor v, w en x mogelijk. De tabel heeft dus acht regels.




XOR-poort

Waarheidstabel

De XOR-poort (eXclusive OR) heeft altijd twee ingangen. Alleen als precies één van de ingangen ‘1’ is, wordt de uitgang ‘1’. De tekens =1 in het symbool betekenen hier: precies 1. Er geldt: Z = v XOR w

[ ].We vergelijken dit met de volgende beweringen:





  • Jan woont in Venlo. Als dat zo is dan is v = ‘1’ (TRUE).

  • Jan woont in Winterswijk. Als dat zo is dan is w = ‘1’ (TRUE).

We nemen aan dat Jan niet in beide steden woont. De ene mogelijkheid sluit de ander uit. Dus:



  • Jan woont óf in Venlo óf in Winterswijk.

Opdracht A1 : Combinatie OR/AND-poort


De schakeling in de rechtse figuur hieronder heeft drie ingangen: a, b en c en een uitgang: Y. Geef de formule die bij deze schakeling hoort.

Y = …………..

Vul tabel 1.2, de waarheidstabel die bij deze schakeling hoort verder in.





Werken met SIM-PL
SIM-PL is een computerprogramma die de werking van logische schakelingen zoals computers helpt verduidelijken. Het softwarepakket simuleert schakelingen van een paar poorten tot complete processoren. SIM-PL is een auteursyteem waarmee docenten en studenten vrij eenvoudig zelf componenten en schakelingen kunnen construeren. SIM-PL bestaat uit twee programma’s:


  • Een simulator. Met de simulator, executer genoemd, worden schakelingen en hun gedrag gesimuleerd.

  • Een editor.Met de editor worden basiscomponenten zoals poorten gebouwd. Met deze zelfgebouwde enal bestaande componenten kunnen logische schakelingen worden samengesteld.

Opdracht A2: Werken met de SIM-PL-simulator

De eerste opdracht is de simulatie van een combinatorische schakeling met drie poorten. Open hiertoe de folder SIM-PL2.1.6. Dubbelklik op de file Executer.jar. Klik op de icoon:
Hierdoor wordt een bestaand werkblad (worksheet genaamd) geopend. Klik op Components _ PoortenH1 _ Fig1.3AND_OR_inv.sim-pl-ws. De schakeling die op je scherm verschijnt, is opgebouwd uit een OR-poort, een AND-poort en een inverter. De schakeling heeft drie ingangen a, b en c en één uitgang Y. Alle beginwaarden, ook die van de uitgang en van de beide testpunten P zijn ‘1’. De waarden van P en Y kunnen onjuist zijn omdat de simulator de schakeling nog niet heeft doorgerekend. Om een simulatie uit te voeren zijn er vier knoppen met pijlen die de volgende betekenis hebben:




Initialisatie. De simulator keert terug naar zijn begintoestand. Alle in- en uitgangen krijgen hun beginwaarde ‘1’.
Step. Hiermee wordt de kleinst mogelijke simulatiestap gegeven.
Cycle. Hiermee worden alle simulatiestappen tot de volgende klokpuls gegeven.
Multiple Cycles. Hiermee worden alle simulatiestappen gedurende een zelf te kiezen aantal klokpulsen gegeven.
Een simulatie uitgaande van de begintoestand met de ‘Step’-functie

Klik twee keer op de groene pijl (Step). De uitgang van de AND-poort en van de Inverter zijn nu doorgerekend. P1 is ‘1’ gebleven en P2 is ‘0’ geworden. De derde keer dat je op ‘Step’ klikt wordt de OR-poort doorgerekend. De waarde op de uitgang van de schakeling Y is nu bekend. De simulatie is voltooid. Klik op de rode pijl. Alle waarden hebben nu weer de beginwaarde ‘1’ gekregen. Een nieuwe simulatie kan worden gestart.


Een simulatie uitgaande van de begintoestand met de ‘Cycle’-functie

Klik op de bruine pijl (Cycle). De simulatie wordt nu in één keer uitgevoerd.



Het invoeren van nieuwe waarden op de ingangen

Klik op ingang b en verander de waarde in ‘0’. Doe hetzelfde met ingang c. Verander ingang a niet. Klikweer twee keer op de groene pijl. P1 is ‘0’ geworden en P2 is ‘1’ geworden. Bedenk voordat je de volgende ‘Step’ geeft wat uitgang Y zal worden. Voer de volgende ingangswaarden in: a = ‘0’, b = ’1’ en c = ‘1’. Voorspel de waarden van P1, P2 en Y voordat je de simulatie uitvoert. Voer daarna de simulatie uit.



De menu-optie waarheidstabel

Ga naar de menu-optie Tools _ Show Truth-table.

Opdracht A3: Het nabouwen van een schakeling met de Editor van SIM-PL

De opdracht luidt: bouw de schakeling weergegeven in figuur 1.8 na. Open hiertoe de folder SIM-PL2.1.6. Dubbelklik op de file Editor.jar.


Klik op de icoon:

‘Create a new, empty component’.


Er verschijnt het hieronder weergegeven window. Kies de optie ‘Complex’. Met deze optie kan een poortschakeling worden gemaakt met bestaande poorten. Geef de component de naam ‘MijnANDpoort’ en klik op OK. Er verschijnt nu een leeg tekenblad in beeld. Sla de (lege) component op in de folder: Componenten/PoortenH1 onder de naam MijnANDpoort. De extensie ‘.sim-pl’ wordt automatisch aan de filenaamtoegevoegd.


Gereedschappen om een schakeling te maken

Boven het lege tekenblad staan een aantal iconen met de volgende functies:






Component. Een icoon om componenten aan de schakeling toe te voegen. Een component kan zowel een poort zijn als een bestaande poortschakeling.
Ingang en uitgang. Iconen om de schakeling te voorzien van ingangen en uitgangen. De linker icoon is voor ingangen en de rechter voor uitgangen.
Verbindingen. Een icoon om verbindingen te maken tussen de ingangen van de schakeling en (sub)componenten, tussen (sub)componenten onderling en tussen (sub)componenten en de uitgang(en) van de schakeling.




Probe. Een icoon om ‘probes’ aan de schakeling toe te voegen. Deze probes worden geplaatst op een verbinding. Zij geven de toestand van de verbinding weer tijdens de simulatie.


Iconen om de lay-out van de schakeling te maken en teksten toe te voegen.






Select. Een icoon om een onderdeel van de schakeling te selecteren.

Het editen van de schakeling

1. Componenten

Verzamel eerst de benodigde poorten. Begin met de OR-poort. Klik op de icoon ‘component’.Klik binnen het tekenblad. Selecteer de component ‘2-inputOR’. Klik op‘Open’. Er verschijnt een nieuw window. Verander de naam van de component in OR-poort en klik op OK. De component verschijnt nu op het tekenblad. Klik nogmaals binnen het tekenblad. Selecteer de component ‘Inverter’. Verander de naam in InverterLB (Links Boven) Klik nogmaals binnen het tekenblad en selecteer nog twee keer een ‘Inverter’. Geef deze inverters verschillende namen bijvoorbeeld InverterLO (LO Links Onder) en InverterR (R Rechts). Klik op het icoon‘Select’ en sleep de componenten naar de gewenste positie.


2. In- en uitgangen

Klik op de icoon ‘Ingang’ en voorzie de schakeling van twee ingangen. Geef de beide ingangen de namen a respectievelijk b. Klik op de icoon ‘Uitgang’. Geef de uitgangen van de schakeling de naam Y.


3. Verbindingen

Klik op de icoon ‘Verbindingen’. Maak de eerste verbinding door te klikken op een uitgang van een poort en daarna te klikken op een ingang van een andere poort. De verbinding heeft de naam ‘Wire’ gekregen. Links op het scherm bij ‘Property’ kun je deze naam aanpassen tot bijv. OutputWire, door op het desbetreffende onderdeel te klikken. Ook de dikte en de kleur van de lijn kun je op deze manier instellen.Maak ook alle andere verbindingen tussen de poorten en de in- en uitgangen van de schakeling.


4. Probes

Breng probes aan op die verbindingslijnen van de schakeling waarvan je tijdens de simulatie de waarde wilt waarnemen.


5. Lay-out component

Gebruik de ‘tekentools’ om de lay-out van de schakeling te verbeteren en tekst toe te voegen. De opdracht is nu gereed. ‘Save’ de schakeling. Sluit de Editor nog niet.


Opdracht A4: Het testen van de schakeling ‘MijnANDpoort’

Om de schakeling met de Executer te testen moet er eerst een nieuw werkblad worden aangemaakt.


Maken van een nieuw werkblad

Start de Executer. Klik hiertoe op het icoon: ‘Create a new worksheet’ voor het maken van een nieuw werkblad. Ga naar Components _ PoortenH1 _ MijnANDpoort.SIM-PL. Klik het ‘Time Sequence Diagram-window’ weg en configureer de overige windows naar eigen smaak. Er zijn verschillende zoomopties. Zo wordt bijvoorbeeld met de toetscombinatie: Ctrl = de schakeling groter afgebeeld. Deze zoomopties kun je ook onder de menuoptie ‘view’ vinden.


Testen van MijnANDpoort

Test de schakeling. Gebruik ook de optie ‘Tools _ Show Truth Table’. Als de schakeling correct is nagebouwd blijkt dat de waarheidstabel van de schakelingovereenkomt met die van een AND-poort.




Onderdeel B

Bewerkingen met proposities

Het doel van onderdeel B is het leren vertalen van proposities naar schakelingen met poorten. Daarna ga je de schakelingen invoeren en simuleren met SIM-PL. Alle bouwstenen die je daar voor nodig hebt, zijn in Onderdeel A geïntroduceerd, evenals het bedienen van SIM-PL. Vanaf nu zal de instructie kort en bondig zijn, we gaan ervan uit dat SIM-PL geen geheimen meer voor je kent.


Opdracht B1

Hieronder staan drie (eenvoudige) proposities. Vertaal elke propositie naar een schakeling met poorten (geef zelf letters aan de proposities). Laat SIM-PL vervolgens waarheidstabellen genereren. Klopt de uitkomst?








  1. Jan komt naar het feestje en Ilse ook.

  2. Als het warm is leest Kees geen boek, maar speelt spelletjes op de computer.

Hint: kijk in de syllabus Logica hoe je een implicatie en equivalentie kunt vertalen)


Laat je bevindingen en het resultaat op het scherm zien aan de practicumdocent.

Onderdeel C

Tautologie, contradictie en De Morgan

Opdracht C1


Onderzoek of de volgende proposities en kijk of je eventueel te maken hebt met een tautologie of contradictie:



Laat je bevindingen en het resultaat op het scherm zien aan de practicumdocent.


De Majority Voter

Figuur 1: Automatische kraanopening systeem

In figuur 1 is een automatisch systeem weergegeven waarmee een kraan kan worden opengestuurd die onderin een vat is gemonteerd. Als sensoren zijn bovenin het vat drie ‘vlotterschakelaars’ gemonteerd. Deze detecteren of het vat vol met vloeistof is. Als het vloeistofniveau een vlotter heeft bereikt wordt een schakelaar omgezet. De schakelaar geeft ‘1’ als de sensor in de vloeistof is gedompeld en ‘0’ wanneer dit niet zo is. Om te voorkomen dat een kapotte sensor een overstroming van het vat ten gevolge heeft, zijn er niet één maar drie sensoren gemonteerd. De ‘meerderheid’ van de sensoren bepaalt of de klep wordt open gestuurd. Dus als minstens twee sensoren een ‘1’ geven, krijgt K de waarde ‘1’ en wordt de klep open gestuurd. In de andere gevallen is K ‘0’. Figuur 130 geeft de waarheidstabel van de Majority Voter weer.

Redundantie (letterlijk: overbodigheid) is het zodanig meervoudig uitvoeren van onderdelen of systemen, dat het geheel goed blijft functioneren wanneer één of meer van deze onderdelen of systemen defect raken of verloren gaan. Het aanbrengen van meer dan één sensor is dus een geval van redundantie.


Van waarheidstabel naar samengestelde propositie

We gaan nu in tegenovergestelde richting werken. Vanuit een waarheidstabel gaan we een zo eenvoudig mogelijke (samengestelde) propositie destilleren. Hiervoor gebruiken we een aantal wetmatigheden uit de propositielogica, die je bekend voorkomen.


Beschouw alleen die gevallen in de bovenstaande tabel waarbij K ‘1’ is. K is

bijvoorbeeld ‘1’ als a ‘1’ is en b ‘1’ is en c ‘1’ is (rij 7 van de tabel).


De propositie voor K die bij deze rij hoort is:

K is ook ‘1’ a is ‘0’ en b = ‘1’ en c = ‘1’. (rij 3 van de tabel)

Als a = ‘0’ dan is NOT a gelijk aan ‘1’.

Een propositie voor K die bij rij 3 hoort is:

Er zij vier gevallen dat K de waarde ‘1’ heeft. K is ‘1’ in het geval 0,1,1 of in het geval 1,0,1 of in het geval 1,1,0 of in het geval 1,1,1. De volledige propositie die bij de Majority Voter hoort:

Aan de hand van deze propositie kun je een schakeling in SIM-PL maken, maar dan heb je veel componenten nodig. Hieronder zie je aan de hand van een aantal vereenvoudigingsstappen dat het ook wel met minder toe kan. Ga de volgende vereenvoudigingen voor jezelf na:
Kijk naar het stuk uit de gehele propositie:

Er geldt , want


We hebben nu gekregen: . Nu gaan we verder sleutelen aan het laatste stuk, namelijk. . Er geldt:
Laatste stapje: We hebben nu . Door de truc nog eens te doen krijgen we:

Opdracht C2

Bouw een schakeling in SIM-PL volgens de volgende propositie en genereer een waarheidstabel. Komt deze overeen met hierboven gegeven waarheidstabel?

De mensen die computerchips ontwerpen vinden het handig om zoveel mogelijk zogenaamde NAND poorten te gebruiken (combinatie van AND en Inverter poort). Voor deze poort zijn namelijk relatief weinig transistoren nodig op de computerchip. De poort neemt dan weinig ruimte in en zodoende passen er heel veel schakelingen op een chip.

Opdracht C3

Bouw een schakeling in SIM-PL die dezelfde waarheidstabel genereert als bij opdracht C1, maar nu met alleen AND-poorten en Inverters. Gebruik hiervoor de wet van ‘De Morgan’.

Laat je resultaten van Opdracht C1 en C2 zien aan de practicumdocent.



Onderdeel D

Puzzelen!
Hieronder vind je twee opgaven die je met enige inspanning moet kunnen oplossen. Gebruik de middelen die tot je beschikking staan, zoals de syllabus logica en SIM-PL. Succes!

Opgave D.1


Wie liegen er als:

  1. Sjaak zegt dat Jan liegt.

  2. Jan zegt dat Inge liegt.

  3. Inge zegt dat Sjaak en Jan liegen.

Maak gebruik van SIM-PL om deze puzzel op te lossen.

Opgave D.2
De volgende zinnen zijn waar:


  1. Bert slaagt alleen als Kees slaagt.

  2. Als Kees slaagt, dan slaagt Suzanne.

  3. Suzanne slaagt, tenzij Maria en Bert slagen.

  4. Als Maria slaagt, dan zakt Kees.

a) Hoeveel leerlingen slagen er minimaal?


b) Hoeveel leerlingen slagen er maximaal?
Maak gebruik van SIM-PL om deze puzzel op te lossen.

Laat je bevindingen en het resultaat op het scherm zien aan de practicumdocent.



Onderdeel E

Logigram!



Olifant zoekt geldschieter

Dat bedrijven kunst sponsoren om zich te onderscheiden van hun concurrenten is een bekend verschijnsel. Minder alledaags is het om geld ter beschikking te stellen voor het onderhoud van beesten in de dierentuin. In ruil voor een mooi bordje aan een dierenverblijf, kan een fabrikant van kattenvoer bijvoorbeeld een tijger onderhouden. De middenstand van Bullewijk ziet wel wat in het idee en gaat ermee aan de slag.



1 De opticien steunt, hoe kan het ook anders, de brilslangen. De groep van vijf dieren ontvangt 15.000 euro. De bank is niet de geldschieter van de leeuwen.

2 het grootwinkelbedrijf heeft 8000 euro over voor het onderhoud van een diersoort die niet met vier exemplaren is vertegenwoordigd. De ijsberen krijgen niet 15.000 euro.

3 De brilslangen zijn niet met z'n tweeën of met z'n vijven. Eén van de bedrijven sponsort vier leeuwen. De restaurantketen legt niet 10.000 euro neer ten bate van de dierentuin.

Hulp nodig bij het oplossen? Kijk hier eens: http://www.denksport.nl/default.aspx?id=Logigrammen en klik op logigram stap voor stap.

Einde



De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina