8 Alles op een rijtje Probleem 1 – identiteitskaart



Dovnload 15.9 Kb.
Datum26.07.2016
Grootte15.9 Kb.
8 Alles op een rijtje
Probleem 1 – identiteitskaart

Op een identiteitskaart staan veel getallen. Wat betekenen ze?






Probleem 2 – met welke getallen kun je rekenen?

Op het bonnetje van een tankstation staan veel getallen.

Welke getallen zijn gebruikt om te rekenen en welke getallen zijn uitkomsten van berekeningen?
Probleem 3 – bij elk punt een getal

Heeft elk getal een plek op de getallenlijn? En is er een getal voor elk punt op de getallenlijn?



8.1 Natuurlijke getallen
Getallen kom je overal tegen. De huisnummers van de huizen in de straat, op verkeersborden, in advertenties in de krant, noem maar op. Soms zijn deze getallen alleen maar bedoeld om iets aan te duiden, als een soort etiketje, een identificatienummer. Bijvoorbeeld, een bankrekeningnummer of een artikelnummer in een winkel wordt gebruikt voor de identificatie van een bankrekening of artikel. Dat zijn geen getallen om mee te rekenen. Ze zijn vaak wel gegroepeerd, bijvoorbeeld alle bankrekeningnummers die met de cijfers 38 beginnen horen bij een bepaalde bank.
Oplossing van probleem 1 – identiteitskaart

Er zijn getallen die kenmerken geven van de persoon, zoals haar lengte (1,75 meter), het jaar (1972) en de dag (14e) van haar geboorte, het jaar en de dag van de uitgifte van het bewijs en tot wanneer het geldig is. Verder staat het BSN (burger service nummer, 123456783) op de kaart. De identificatie code van de kaart zelf (XI020DF23) is geen getal, al staan er een paar cijfers in deze code.


Een huisnummer is ook een soort etiketje, maar hier is de volgorde toch wel van belang. In een straat zal huis nr. 52 waarschijnlijk dichtbij nr. 58 staan.
Getallen als ‘drie’ in “Er zijn nog drie beschuitjes in de trommel” of ‘vijf’ in “De vijfde straat na de brug moet je rechtsaf” noemen we natuurlijke getallen. Het zijn de getallen waarmee je telt en waarmee je een aantal aangeeft.
Eigenschappen van de natuurlijke getallen

Natuurlijke getallen kun je een plaats geven langs een lijn, de getallenlijn. De getallenlijn begint bij 0 maar gaat – in gedachten – eindeloos door want er is geen grootste getal. De ruimtes tussen twee opeenvolgende getallen doen nog niet mee.

Je kunt twee natuurlijke getallen optellen en vermenigvuldigen en je krijgt weer een natuurlijk getal. Je kunt bepalen of een getal deler is of een veelvoud van een ander getal. Je kunt zien of een getal een priemgetal is. Elk natuurlijk getal, groter dan 1, kun je op maar één manier schrijven als het product van priemgetallen.
8.2 Gehele getallen
Getallen kunnen negatief zijn. Negatieve getallen worden wel eens tekortgetallen genoemd. Als je € 57 op je rekening hebt staan en je geeft tachtig euro uit, dan wordt je saldo – € 23, je staat ‘in de min’. Als het vier graden Celsius is en het wordt zes graden kouder, dan wijst de thermometer –2 °C aan.

Het min-teken werd pas aan het eind van de Middeleeuwen voor het eerst gebruikt, daarvoor gebruikte men wel de letters m (min, negatief) en p (plus, positief). Ook tegenwoordig wordt het teken van een getal wel eens aangeduid met letters, bijvoorbeeld CR (credit) voor positieve en DB (debet) voor negatieve bedragen.

De negatieve getallen staan ‘aan de andere kant’ van de getallenlijn, die dus nu aan beide zijden eindeloos is. De natuurlijke getallen samen met de negatieve (gehele) getallen heten de gehele getallen.

Je kunt twee gehele getallen optellen en aftrekken en vermenigvuldigen en je krijgt weer een geheel getal.



8.3 Rationale en irrationale getallen
Breuken worden rationale getallen genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven tussen twee getallen (de teller en de noemer). Elk geheel getal is een rationaal getal omdat het als een breuk geschreven kan worden.

De rationale getallen kun je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (maar niet door 0) en je krijgt weer een rationaal getal.


De rationale getallen liggen dicht op de getallenlijn. Dat noemt men zo omdat tussen elk willekeurig paar rationale getallen, hoe dicht ze ook bij elkaar liggen, een ander rationaal getal ligt (bijvoorbeeld, het gemiddelde).
Je weet dat in een rechthoekige, gelijkbenige driehoek (de vorm van een geodriehoek) verhouden de lengtes van de schuine en een korte zijde zich als √2 : 1. Dat kun je aantonen met de beroemde Stelling van Pythagoras, die overigens al ver vóór Pythagoras bij de Babyloniërs bekend was.

Een stelling, wel van Pythagoras en zijn volgelingen (hij was een sekteleider) afkomstig, is dat alle getallen rationaal zijn. De Pythagoreërs hebben veel moeite gedaan om aan te tonen dat √2 als breuk is te schrijven, maar dat bleek onmogelijk! De Pythagoreërs hielden dit bewijs angstvallig geheim. Volgens de overlevering is zelfs iemand die dit toch bekendmaakte om het leven gebracht.

Aan Pythagoras zijn meer opmerkelijke stellingen toegeschreven. “De hemel is harmonie en getal”. “Vriendschap is gelijkheid, gelijkheid vriendschap”. “Jongens moeten voor hun twintigste geen seks hebben”.
Elke wortel uit een natuurlijk getal dat niet een kwadraat is, is irrationaal en er zijn meer irrationale getallen. Het meest bekend is π, de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Ook hiervoor hebben de Grieken tevergeefs veel moeite gedaan om aan te tonen dat het rationaal was.
De rationale en irrationale getallen samen noemen we de reële getallen. Elk reëel getal heeft een plek op de getallenlijn en andersom, bij elk punt van de getallenlijn hoort een reëel getal. De reële getallen zijn niet alleen dicht maar ook volledig.
8.4 √2 is niet als breuk te schrijven (keuze/extra)
Euclides heeft een mooi bewijs uit het ongerijmde gegeven van de stelling dat √2 irrationaal is. Veronderstel dat √2 wel als breuk is te schrijven, dus . Je mag ervan uit gaan dat deze breuk vereenvoudigd is, dus p en q zijn niet allebei even (want dan had je teller en noemer door 2 kunnen delen). Omdat is en dus .

Nu geldt. Het kwadraat van p is even (heeft ten minste één factor 2), dan moet p zelf even zijn.



Welnu, als p even is, dan is p te schrijven als 2r met r een natuurlijk getal (de helft van p). Omdat we net hebben gezien dat , is , en dus is , dus . Het kwadraat van q is even, dan moet q zelf even zijn. Maar, p en q allebei even, dat klopt niet, dus √2 is niet als breuk te schrijven.

Opgaven




Opgave. In welk jaar is dit huis gebouwd? Let op de bijzondere schrijfwijze van een M: CIƆ en een D: IƆ. Wat is tegenwoordig de functie van Romeinse getallen?
Opgave. Ken je meer voorbeelden van getallen waarmee niet gerekend wordt en die personen of dingen identificeren? Zijn de getallen gegroepeerd?
Opgave. In een straat staat een huis nr. 164 heel ver van nr. 167. Wat kan hiervan de oorzaak zijn?
Opgave. Noem enkele voorbeelden van het gebruik van getallen als volgnummers.
Opgave. Wat zij de delers van 150? Welke daarvan zijn priemdelers? Schrijf 150 als product van priemfactoren.
Opgave. Bereken de ggd en het kgv van 14 en 21. Ga na dat het product van de ggd en het kgv, gelijk is aan het product van de twee getallen.
Opgave. Natuurlijke getallen kun je optellen en vermenigvuldigen en het resultaat is weer een natuurlijk getal. Dit geldt ook voor kwadrateren. Laat zien dat het resultaat van aftrekken, delen en worteltrekken niet altijd een natuurlijk getal is. In welke gevallen is de uitkomst wel een natuurlijk getal?
Opgave. Hieronder zie je een getallenlijn. Neem deze over met het schema van de soorten getallen. Een paar getallen zie je al staan. Schrijf er de getallen -3, -2, 0, 2, 3 bij op de juiste hoogte, dus bij de juiste soort. Voeg er de getallen , ,, , aan toe.



Meten en getallen 3 Notatie en nauwkeurigheid 30 juni 2009





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina