Afstanden en koersen



Dovnload 69.93 Kb.
Datum24.08.2016
Grootte69.93 Kb.
Afstanden en koersen
Navigeren gaat over het weten waar je je op een bepaald moment bevindt, waar je naar toe wilt en hoe je dat op de beste manier kunt bereiken. Daar spelen natuurlijk ook zaken als weer en natuurlijke obstakels een rol, maar die vallen buiten de context van dit verhaal. We zullen eerst kijken naar hoe we een bepaalde plaats op het aardoppervlak vastleggen, en vervolgens naar verschillende manieren om van het ene punt naar het andere punt te komen. Daarna bekijken we verschillende manieren om kaarten te maken. Tenslotte wordt ingegaan op hoe we kunnen bepalen op welke plaats we zijn.

1Een punt op aarde


De aarde is bolvormig en kan door een ellipsoïde worden benaderd. E
Binnen WGS-84 wordt de aarde benaderd door een ellipsoïde (1999 update) met een lange as van a=6378.1370 km in het equator vlak en een korte as van b=6356.7523 km. Dit betekent dat de afvlakking (f=(a-b)/a ) gelijk is aan 0.003353. In de officiële definitie staat 1/f = 298.257223563. Verder zijn de hoeksnelheid van de aarde (belangrijk voor de centrifugale component van de gravitatie) en de gravitatieconstante (GM) gedefinieerd.
en van die modellen is WGS-84 (World Geodetic System 1984) dat sinds de invoering van de GPS veel toepassingen heeft gekregen. Het model benadert het aardoppervlak door een ellipsoïde die ongeveer op het gemiddeld zee niveau ligt. In het vervolg zullen we echter vaak doen alsof de aarde een bol is met straal R=6367 km.
De aarde draait in 23 uur, 56 minuten en 4 seconden eenmaal om een lijn, die de aardas heet. De aardas snijdt de aardoppervlakte in twee punten, die de Noordpool en Zuidpool van de aarde worden genoemd.
Het vlak door het middelpunt van de aarde, loodrecht op de aardas, snijdt de aardbol volgens een grootcirkel, die de evenaar of equator wordt genoemd. De evenaar verdeelt het aardoppervlak in twee helften, die men het Noordelijk en het Zuidelijk halfrond noemt.
Een vlak door de aardas heet een meridiaanvlak. Een meridiaanvlak snijdt het aardoppervlak volgens een grootcirkel die door beide polen gaat. Onder de meridiaan van een plaats op aarde verstaan we de boog van de grootcirkel die de beide polen verbindt en door de bedoelde plaats gaat.
De normaal van een punt is de loodlijn in een punt op de aardbol. De normaal wijst altijd naar het middelpunt en staat loodrecht op het aardoppervlak. De hoek tussen de normaal van een plaats op aarde en het equatorvlak heet de (geografische) breedte van die plaats. De breedte is Noord (NB of N) voor punten op het Noordelijk halfrond en Zuid (ZB of Z) voor punten op het Zuidelijk halfrond. Punten op de evenaar hebben 0 breedte, de Noordpool heeft 90 Noord, de Zuidpool heeft 90 Zuid.

Alle plaatsen met dezelfde breedte liggen op een klein-cirkel, die we (breedte) parallel noemen.

De verhouding van de straal van een parallel met breedte  tot die van de evenaar is cos  : 1.

De parallel op 23.5 NB heet Kreeftskeerkring, die op 23.5 ZB Steenbokskeerkring. De parallel op 66.5 NB heet Noordpoolcirkel, op 66.5 ZB heet Zuidpoolcirkel.


De meridiaan die gaat door de plaats van de sterrenwacht in Greenwich in Engeland heet de nulmeridiaan. De hoek tussen het vlak van de nulmeridiaan en dat van de meridiaan van een willekeurige plaats heet de lengte van die plaats. De lengte is een hoek tussen 0 en 180. Plaatsen oostelijk van Greenwich krijgen de toevoeging Oosterlengte (OL of E), plaatsen westelijk van Greenwich de toevoeging Westerlengte (WL of W).
Iedere plaats op aarde wordt nu gekenmerkt door zijn lengte en zijn breedte.
Om posities van objecten boven het aardoppervlak te bepalen, voeren we ook de volgende begrippen in:

Als we naar de sterren kijken lijkt het net of ook de hemel beweegt om een as gelijk aan de aardas. Deze as wordt wel de hemelas genoemd. Het punt van de hemel dat niet van plaats verandert heet hemelpool. Er is nog een tweede pool, die in het niet zichtbare gedeelte van de hemel ligt. Beide polen liggen op de aardas. Het vlak van de horizon is een vlak door het oog van de waarnemer loodrecht op de normaal van de plaats van de waarnemer. De hoek tussen de hemelas en het vlak van de horizon heet poolshoogte. Het is duidelijk dat de poolshoogte gelijk is aan de geografische breedte.


I

n het vervolg wordt de aarde voorgesteld als een bol met straal R. Ieder punt op de bol kan worden gekarakteriseerd door twee hoeken (,), met -180    180 en -90   90.

Zoals boven beschreven, heet  de lengte (positief heet oosterlengte, negatief heeft westerlengte) en  de breedte (positief heet noorderbreedte, negatief heet zuiderbreedte).


Een zeemijl is zo gedefinieerd dat:

2R = 360  60 zeemijl, wat een zeemijl 1.852 km maakt, gegeven de werkelijke omtrek van de aarde van ruim 40.000 km Deze definitie maakt dat 1 minuut (1/60e graad) op een meridiaan gemiddeld precies gelijk is aan 1 zeemijl.


Een punt (x,y,z) op de aardbol is nu bepaald met:

x = R cos  cos , y = R cos  sin , z = R sin 




2De afstand en ware koers tussen twee punten


De afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd als de lengte van het boogsegment langs een grootcirkel dat deze twee punten verbindt.
De ware koers van een bepaald punt x0 naar een punt x1 wordt gedefinieerd als de hoek tussen de bewegingsvector om langs het boloppervlak van x0 naar x1 te gaan en de bewegingsvector om van x0 naar de noordpool n ( = 90) te gaan.
De bovenbeschreven afstand is de afstand volgens een grootcirkel. Een grootcirkel maakt met de opvolgende meridianen ongelijke hoeken: de koers zal dus steeds aangepast moeten worden. Wanneer men steeds eenzelfde koers volgt, is de weg die iemand daarbij op aarde volgt, een lijn die alle meridianen onder dezelfde hoek snijdt. Die lijn heet een loxodroom. De afstand langs een loxodroom is langer dan de afstand volgens een grootcirkel. De punten van een loxodroom liggen in het algemeen niet alle in één plat vlak (het is een lijn van dubbele kromming). Een loxodroom (niet pal Noord of Zuid) kan niet door de polen gaan: zij draait om de polen heen in steeds kleinere windingen, zonder deze ooit te bereiken. Immers, vlak voor het bereiken van de polen moet de koers Noord of Zuid zijn, terwijl de koers constant is. De loxodromen met koers Noord, Zuid, Oost of West liggen wel in een plat vlak. Loxodromen met koers Oost of West vallen samen met parallelcirkels, koersen Noord en Zuid met meridianen.
In de zeevaart noemen we de afstand, die een schip in een bepaalde koers heeft afgelegd, de verheid. De verheid per uur heet de vaart van het schip. Verheden worden uitgedrukt in zeemijlen, zeemijlen per uur zijn knopen.

Op zee kan men de verheid ook bepalen door de vaart te bepalen en dit met de tijd te vermenigvuldigen. De vaart kan men bepalen met een handlog: een plankje dat overboord wordt gezet. De aan het handlog verbonden lijn wordt meegegeven, en er wordt gemeten hoeveel lijn overboord gaat in een gegeven tijdsperiode. Op de lijn worden vaak afstands-kenmerken (knopen) aangebracht om dit proces te vergemakkelijken. De verheid kan ook bepaald worden door middel van een log (meedraaiend schoepbladen). Dit instrument is vaak standaard op een schip aanwezig.


We zullen nu de verheid en de ware koers op verschillende manieren gaan berekenen:

  1. grootcirkel methode

  2. loxodroom methode

  3. methode met gemiddelde breedte



2.1De grootcirkel methode


D

e afstand tussen twee punten is gedefinieerd als de lengte van het boogsegment dat deze twee punten verbindt. Bekijken we de driehoek NPQ. P heeft lengte 0 en breedte 0, Q respectievelijk 1 en 1. PQ is de verheid v (in zeemijlen). De lengte NP is in zeemijlen 60*(90-o), de lengte NQ is 60*(90-1). In nevenstaande figuur zijn alle zijden door 60 gedeeld. We zien eenvoudig met de 1e cosinusregel (zie appendix) :
cos (v/60) = cos(90-0) cos(90-1)+sin(90-0) sin(90-1) cos(1-1) =

sin0 sin1 +cos0 cos1 cos(1-1)


Dus:


De afstand tussen twee punten (0 , 0) en (1 , 1)in zeemijlen is:


60  arccos (cos 0 cos 1 cos (0 - 1) + sin 0 sin 1 )

De ware koers K van een bepaald punt P (0 , 0) naar een punt Q (1 , 1) is gedefinieerd als de hoek tussen de bewegingsvector om langs het boloppervlak van P naar Q te gaan en de bewegingsvector om van P naar de noordpool N ( = 90) te gaan. Dit is dus de eerste koers die gevaren wordt. Bij het volgen van een grootcirkel moet de koers voortdurend worden aangepast.


Opmerkingen:

  • In zeevaart termen: de koers is de hoek die de richting van de kiellijn van het schip heeft met de Noord-Zuid lijn

  • In luchtvaart termen: de koers is de hoek die de richting van de langsas van het vliegtuig maakt met de Noord-Zuid lijn

  • De koers is een hoek tussen 0 en 180

  • De kompasroos (360) is vaak verdeeld in 32 streken, zodat iedere streek 11¼ is

  • De koers is 0 of 180 als 0 = 1

  • Als 1 < 0 dan is de koers 360 – de hoek tussen de vectoren. Dit geldt ook als 1 - 0 > 180 . In het algemeen geldt dat de koers 360- de hoek tussen de vectoren is, als sin(1 - 0) < 0 .

Weer met de 1e cosinusregel:

cos(90-1)=cos(90-0)cos(v/60)+sin(90-0)sin(v/60)cos K

Ofwel:


Cos K = ( sin 1 – sin 0 cos (afstand/60) ) / (cos 0 sin (afstand / 60) )

De ware (initiële) koers van punt (0 , 0) naar (1 , 1) is:

K = arccos ( sin 1 – sin 0 cos (afstand/60) ) / (cos 0 sin (afstand / 60) )
Als sin(1 - 0) < 0 dan is de ware koers 360 - 

Opmerkingen:


  • Als 0 = 1 , dan is de afstand gelijk aan 60  (0 - 1). Dit klopt volgends de definitie van de zeemijl. De afstand heet ook wel veranderende breedte, ook wel aangeduid met b.

  • De arccos wordt geacht een bereik te hebben van 0 tot 180. De maximale afstand wordt hiermee 180  60 zeemijlen, wat een halve aardbol is.

2.2De loxodroom metode


Als we een constante koers K varen, maken we een hoek K met iedere meridiaan. Als we met deze koers vertrekken in punt (0 , 0), willen we graag weten waar we met een bepaalde snelheid uitkomen. Met behulp van de snelheidscomponent langs de meridiaan, kunnen we heel eenvoudig de nieuwe breedte berekenen. De nieuwe lengte is echter iets gecompliceerder.
Beschouwen we een klein stukje ter breedte . De veranderende breedte ter plekke is d, de veranderende lengte d. Zoals eerder vermeld is de afstand langs de parallel (dit wordt de afwijking genoemd) gelijk aan 60  d  cos , en de afstand langs de meridiaan 60  d. Het is verder duidelijk dat tan K = 60  d  cos  /(60  d) = d  cos  /d, ofwel

d = tan K  d/cos 


De totale veranderende lengte is


VB() wordt de vergrotende breedte genoemd en werd vroeger in de zeevaart uitgebreid in nautische tabellen opgenomen. Tafel 1 van de Zeevaartkundige tafels geeft voor alle koersen 0-45 en 45-90 en 0 tot 8 streken, en voor verheden van 0 tot 450, 500, 600, 700, 800 en 900 mijl de veranderende breedte en de afwijking. Deze tabel bevat verder de tan K en 1/cos K. Met de veranderende breedte kan snel de nieuwe breedte worden gevonden. Tafel 2 geeft de veranderde lengte bij gemiddelde breedte. Tafel 4 geeft de vergrotende breedte voor verschillende breedten (in minuten nauwkeurig).
Opmerking:

  • Liggen afgevaren en bekomen plaats aan verschillende zijden van de equator, moet de som van de vergrotende breedtes worden genomen.

  • De veranderende breedte is eenvoudig te berekenen door het verschil van de breedtes te nemen.

  • Bij koersen Oost of West is de veranderde lengte eenvoudig te berekenen afstand = 60  d  cos . Bijvoorbeeld:

Van 5612’ NB, 1214’ WL stoomt men 364 mijl West. Gevraagd de bekomen plaats.

Afwijking is 364 zeemijl, dus de veranderende lengte is 364 /cos (5612’) = 364 / 0.556 = 655 minuten = 1055’, veranderende breedte is 0. Dus bekomen plaats: 5612’ NB, 239’ WL.



  • Het is ook duidelijk dat de verheid gelijk is aan:

60 * de veranderende breedte / cos (K).

  • Als we een constante koers (loxodroom) varen tussen punten met gelijke breedte, is de afgelegde afstand de lengte van de kleincirkel (en dus groter dan de afstand langs de grootcirkel). Deze afstand hebben we de afwijking genoemd. Het is duidelijk dat de afwijking gelijk is aan 60  (0 - 1)  cos , voor willekeurige  . In oude Zeevaartkundige tafels wordt voor verschillende waarden van , waarden van 60  n  cos  gegeven, voor n = 1,2, .., 9 .Met herhaalde optelling kan zo snel de waarde van de afwijking worden berekend uit de veranderende lengte.

Samengevat hebben we de volgende formules:




Om gegeven koers en verheid, de bekomen plaats te berekenen:

Veranderende breedte = verheid * cos K /60

Veranderende lengte = VB * tan K
Om gegeven plaats en bestemming, koers en verheid te berekenen:

tan K = veranderende lengte / VB

verheid = 60*veranderende breedte / cos K


Voorbeeld:

We geven een voorbeeld voor het berekenen van koersen en afstanden volgens een grootcirkel en volgens een loxodroom:

We willen van A (3612’.0 N, 00550’.0 W), naar B(4250’.0 N, 07340’.0 W)

Volgens de grootcirkel:

Afstand = 60  arccos (cos A cos B cos (B - A)) + sin A sin B ) = 3079.9 nm

Initiële koers =

arccos ( sin B – sin A cos (afstand/60) ) / (cos A sin (afstand / 60) ) = 299º.6
Volgens een loxodroom:

Veranderende lengte: -67.8

Veranderende breedte: 6.6

Vergrotende breedte: 8.6100

Koers = arctan (veranderende lengte / vergrotende breedte) = 277º.2

Verheid = 60*veranderende breedte / cos(koers) = 3160.8 nm


We noemen het verschil in afstand volgens het loxodroom en de grootcirkel de bekorting, in dit geval 3079.9-3160.8 = 80.9 nm

2.3De methode met de gemiddelde breedte


Zoals boven beschreven, is de afwijking bij koersen met 0 = 1 gelijk aan 60  (0 - 1)  cos . Wanneer we bij ongelijke  voor  de gemiddelde breedte (0 + 1 )/2 nemen, geldt:


afwijking = 60  (0 - 1)  cos ( gem ) (60*veranderende lengte * cos(gemiddelde breedte),

tan(Koers) = afwijking / (60  (0 - 1)) (afwijking / 60*veranderende breedte)

en vervolgens

verheid = (60  (0 - 1)) / cos(Koers) (60*veranderende breedte / cos (K) )



Voor het eerder gebruikte voorbeeld:

De afwijking: 60*67.8/cos(39º31') = 3139.8

De koers: arctan (-3139.8 / (60*6.6)) = 277º.2

De verheid: 60*6.6/cos(277º.2) = 3164.9 nm

De verschillen in berekende verheden zijn klein in vergelijking met de loxodroom methode.


2.4Speciale gevallen van groot cirkel varen


Bij het volgen van een grootcirkel moet voortdurend de koers worden aangepast. Met grote regelmaat zal bovenstaande berekening opnieuw worden uitgevoerd en een nieuwe koers berekend.
Vanwege weersomstandigheden is het soms plezierig te weten wat de grootste breedte van een bepaalde grootcirkel route is. Dit uiterste punt noemen we de vertex.

O


mdat de vertex V het uiterste punt is maakt de raaklijn aan de grootcirkel ter plekke een hoek van 90º met de meridiaan door de vertex. Bekijken we boldriehoek NPV, met hoek NPV de grootcirkel koers K, hoek PVN 90º en hoek VNP het lengteverschil tussen P en V. Verder geldt dat NP gelijk is aan 90º-breedte van P. Nu kunnen we met de formules uit de appendix afleiden dat:


Hieruit volgt eenvoudig de lengte van de vertex. En verder volgt de breedte uit:





Met dezelfde formules is eenvoudig het snijpunt van de grootcirkel met een willekeurige meridiaan met lengte L of parallel met breedte B te berekenen:

Voor de meridiaan gebruiken we bovenstaande formules in driehoek NXV, waarbij

N
X=90º-bx, NV is 90º-bv, hoek VNX = het lengteverschil tussen de meridiaan en de vertex, hoek XVN = 90º (de vertex). Dan geldt:

Voor de parallel volgt de lengte in dezelfde driehoek uit:




Op deze manier kunnen we eenvoudig tussenliggende punten van de grootcirkel berekenen en in de kaart uitzetten.


T
enslotte zijn we geïnteresseerd in de berekening van de route die zoveel mogelijk lijkt op een grootcirkel, maar een bepaalde breedte niet te boven gaat. We volgen dan vanuit P een grootcirkel die raakt aan die breedte, volgen een tijdje de parallel van die breedte en pikken weer de grootcirkel op die vanuit Q raakt aan die breedte. De lengte van het raakpunt is als volgt te berekenen (we laten alleen het stuk vanuit P zien): de breedte bV = bmax is gegeven. In dezelfde driehoek geldt nu:
En hieruit volgt snel de lengte van het raakpunt.

3De route


Onder de ware noordrichting in een punt verstaan we de richting van de raaklijn in dat punt aan de meridiaan van dat punt, in de richting van de Noordpool. Bij het navigeren gebruiken we vaak een kompas. Dit kompas wijst ongeveer naar de magnetische Noordpool, een plek in de buurt van de Noordpool, maar niet precies erop en ook in de loop van de jaren bewegend. Onder de magnetische noordrichting in een punt verstaan we de richting van de horizontale component van het aardmagnetisch veld in dat punt. Het kompas wijst niet precies naar het magnetisch noorden: we definiëren als de kompas-noordrichting de noordrichting die door het kompas wordt aangegeven. Op dezelfde manier de gyro-noordrichting de noordrichting van het gyro-kompas.
De hoek tussen de ware noordrichting en de magnetische noordrichting (gerekend vanaf de ware noordrichting) heet de variatie. De variatie is voor alle punten op aarde bekend en ook de verwachte veranderingen over de jaren. In plaats van -3º variatie wordt vaak -3ºW genoteerd. Onder de deviatie verstaan we de hoek tussen de magnetische noordrichting en de kompas noordrichting (gerekend vanaf de magnetische noordrichting). Ieder kompas behoort een deviatietabel te hebben, die de deviatie aangeeft voor verschillende voorliggende koersen. De miswijzing is gedefinieerd als de som van variatie en deviatie. Al deze begrippen zijn zodanig gedefinieerd dat de afgelezen waarde + correctie = juiste waarde

Onder de totale correctie verstaan we de hoek tussen de ware noordrichting en de gyro-noordrichting (gerekend vanaf de ware noordrichting). De totale correctie is de som van de instrument correctie(gegeven voor het instrument) en de vaartcorrectie. Deze laatste wordt veroorzaakt door de afwijking van de tolas van de gyro vanwege de vaart

van het schip. Deze correctie is (zonder afleiding):



Een schip kan nog worden weggezet door wind (drift) en stroom. Bij een vliegtuig werkt de wind als stroom bij een schip, omdat in die gevallen de gehele omgeving van het voertuig wordt verplaatst (water om ons heen dan wel lucht om ons heen).
We definiëren:

Grondkoers GrK: richting ten opzichte van de grond

Behouden ware koers BWK: richting van het schip door het water

Ware koers WK: hoek tussen ware noordrichting en de langsas

Magnetische koers MK: hoek tussen magnetische noordrichting en de langsas

Kompas koers KK: hoek tussen kompas-noordrichting en de langsas

Gyrokoers GK: hoek tussen gyro-noordrichting en de langsas
Het is duidelijk dat:

MK = KK + deviatie

WK = MK + variatie = GK + totale correctie

BWK = WK + drift

GrK = BWK +stroom
Zoals je ziet geldt het ezelsbruggetje:

Van de kwaje naar de goeje, niet aan het teken knoeien. Van de goeje naar de kwaje moet het teken draaien.
Bij de zeevaart wordt de drift experimentaal bepaald voor een bepaalde wind uit een bepaalde hoek voor een bepaald schip. We kunnen de drift gemakkelijk meten door een emmer aan een lijn achter het schip te hangen. De hoek die de lijn met de langsas maakt is de drift.
We kijken nu in het bijzonder nog even naar stroom (en zoals gezegd wind bij de luchtvaart).

D


e beweging van het schip is als een vector in de richting van de ware koers met een lengte gelijk aan de snelheid. De stroom (wind) is een kracht die als een andere vector op het schip werkt, met zijn eigen richting en snelheid. Deze twee vectoren moeten we optellen om de resulterende beweging over de grond te kennen.

Vaak moeten we bij gegeven grondkoers, stroomgegevens (stroom koers en snelheid vs) en ware snelheid vw, de ware koers en de snelheid vgr over de grond berekenen. De hoek α tussen de ware koers en de koers over de grond heet de opstuurkoers. De hoek β is het verschil van de stroomkoers en de gewenste grondkoers. Dan geldt de sinusregel in driehoek ACD:





En verder geldt: vgr = AD = AE+ED = vs cos β + vw cos α
E

xact deze driehoek ontstaat op de rekenschijf: We stellen de richting van de stroom (wind) in op de schijf en tekenen de stroomvector naar het centerpunt toe (met de goede lengte). Vervolgens stellen we de grond koers (true course genoemd) in op de schijf en schuiven zodat het begin van de stroomvector precies op de cirkel met de ware snelheid ligt. Op de centrale as staat dan de grondvector en we kunnen de grondsnelheid aflezen onder het centerpunt. Het begin punt van de stroomvector ligt nu op de lijn van de opstuurhoek.
Tenslotte nog een klein hulpmiddel om tijdens de vaart/ vlucht eenvoudig te corrigeren (voor kleine afwijkingen). Stel nadat we afstand l1 mijl hebben afgelegd (we moeten nog l2 mijl), merken we dat we een afwijking hebben van d mijl. We hebben in het eerste deel een afwijking opgelopen met een hoek α waarvoor geldt: tan α = d/ l1 . Voor graden geldt



tan α ≈ α • π/180 ≈ α / 60 en dus is de afwijking in graden ongeveer 60 • d/l1 in graden. We noemen dit de trekfout. Op dezelfde manier geldt om weer op de oorspronkelijk beoogde positie te komen een sluithoek in graden gelijk aan 60 • d/l2. De op te sturen hoek is de som van de trekfout en de sluithoek.

4De kaart


We kunnen om het aardoppervlak in beeld te brengen, kaarten en globes gebruiken. Een globe geeft het beste beeld, maar het is moeilijk details in kaart te brengen en het construeren van een loxodroom op een globe is erg moeilijk. Daarom kiezen we meestal voor een kaart. Een kaart is een afbeelding van het aardoppervlak op een plat vlak. Omdat een bol niet een ontwikkelbaar oppervlak is, kan de kaart nooit een volkomen getrouwe afbeelding van het aardoppervlak geven. Het compromis moet aan een aantal eisen voldoen:

  1. Lijnen op het aardoppervlak en hun afbeeldingen in de kaart snijden elkaar onder gelijke hoeken. Dit heet een conforme afbeelding

  2. Een loxodroom kan met voldoende nauwkeurigheid door een rechte lijn worden voorgesteld.

Deze twee eisen betekenen dat meridianen en parallellen rechten zijn en elkaar loodracht snijden. Het is duidelijk dat op zo’n kaart de pool niet kan worden afgebeeld.


Er zijn twee soorten kaarten die aan deze eisen voldoen:

  1. De wassende kaart

  2. De middelbreedte kaarte

4.1.1De wassende kaart


Bij een wassende kaart (ook wel Mercator projectie genoemd) worden parallellen parallel aan de evenaar getekend, en meridianen er loodrecht op. Dit betekent dat op de kaart een parallel altijd even lang is, terwijl die op het aardoppervlak steeds korter worden als we richting de polen gaan. De schaal (verhouding tussen afstand op de kaart en afstand op het aardoppervlak) neemt dus af richting polen, en wel, zoals eerder gezien, volgens:

Schaal op breedte b is schaal op evenaar / cos(b).

Omdat de schaal met de breedte toeneemt (wast), heet de kaart een wassende kaart.
De afstand van de parallel met breedtegraad b tot de evenaar is wederom 60   d/cos (), ofwel de vergrotende breedte.

Anders gezegd:

De vergrotende breedte van b is de afstand in de wassende kaart tussen de evenaar en de parallel met breedte b, gemeten in liggende randdelen (1 minuut op de staande rand).
Deze kaart ontstaat door een cilinder om de aarde te spannen (rakend in de evenaar) en vanuit het middelpunt ieder punt op de cilinder te projecteren.

4.1.2De middelkaart


De grootte van de staande randdelen op de wassende kaart nemen toe met toenemende breedtes. Bij niet te grote breedtes en niet al te groot breedte verschil zijn deze randdelen redelijk constant. In de middelbreedte kaart nemen we deze randdelen constant, en gelijk aan het randdeel dat past bij de gemiddelde breedte. Deze kaart is niet conform en loxodromen zijn geen rechte lijn, maar in de praktijk valt het mee.

4.1.3Stereografische projectie


Bij de stereografische projectie neemt men het raakvlak aan het aardoppervlak in een punt A op het aardoppervlak. Laat B het tegenpunt van A zijn (het andere einde van de bolmeridiaan door A). De projectie van een punt C op het aardoppervlak krijgt met door BC te snijden met het raakvlak.

Ligt A in één de polen, heet de projectie polair-stereografisch. Ligt A op de evenaar, heet de projectie equatoriaal-stereografisch.

De Nederlandse Rijksdriehoeksmeting gebruikt Amersfoort als punt A.
De stereografische projectie is conform: hoeken blijven dus gelijk.

4.1.4De gnomonische projectie


Bij de gnomonische projectie neemt men het raakvlak aan het aardoppervlak in een punt A op het aardoppervlak. Laat B het middelpunt van de aarde zijn. De projectie van een punt C op het aardoppervlak krijgt met door BC te snijden met het raakvlak.

Hier worden alle grootcirkels rechte lijnen. De kaart is dus belangrijk voor het grootcirkel varen.

De projectie is niet conform. Meridianen zijn grootcirkels en dus rechte lijnen, parallelen zijn gebogen lijnen (kegelsneden)

In de gnomonische kaart wordt één parallel een parabool, namelijk die waarvan de breedte gelijk is aan het complement van de breedte van het raakpunt. Parallellen op hogere breedten worden ellipsen, op lagere breedten hyperbolen.



5De huidige positie


De eenvoudigste manier om te bepalen waar je bent is uitgaan van een laatst bekende positie en daar de gegeven koers en afstand bij optellen (zie formules loxodroom). Dit heet een gegist bestek. Bij grote afstanden tussen de laatst bekende positie en het gegist bestek kunnen er grote onnauwkeurigheden in deze schatting zitten. Er zijn daarom andere methoden nodig. Vaak gebeurt dit door de relatieve positie ten opzichte van een andere bekende positie (vuurtoren, radiobaken, etc) te bepalen. Dit heet een kruispeiling. Natuurlijk geldt ook bij peilingen dat deze moeten worden gecorrigeerd voor variatie en deviatie: afgelezen waarde + correctie = juiste waarde.

5.1Peiling door richting en afstand


We zien een bekend punt op een bepaalde koers. Als we nu de afstand tot dat punt weten kunnen we met de gewone formules voor een loxodroom vanuit het bekend punt met de gegeven afstand en een koers 180º+ de gemeten koers de huidige positie bepalen.

Hoe bepalen we de afstand? We onderscheiden twee gevallen:




  1. Het object komt juist achter de horizon vandaan

  2. Het object heeft een bekende hoogte ten opzichte van de hoogte van het schip (waterhoogte)


Ad 1. Het object komt juist achter de horizon vandaan

Als het object juist achter de horizon vandaan komt kunnen we afstand als volgt bepalen. Voor driehoek APM geldt met d=AP , R=PM, en hA de hoogte van de waarnemer bij object A: R2+d2=(R+hA)2, ofwel omdat hA klein is ten opzichte van A:

d

= √2R √hA = 1.93 √hA. Hierbij is geen rekening gehouden met de straalbuiging. De straalbuiging is van temperatuur en luchtsamenstelling afhankelijk, maar gemiddeld in de buurt van de 0.92. Dit leidt tot de formule d = 2.1 √hA . het is nu eenvoudig te zien dat voor de totale afstand tussen A en B geldt:

afstand = 2.1 (√hA + √hB) .

Deze afstand heet de geografische dracht van bijvoorbeeld een lichttoren. De dracht van het licht van een lichttoren wordt natuurlijk ook bepaald door de sterkte van de lamp (nominale dracht = dracht van het licht bij een zicht van 10 nm) en de weersomstandigheden (de optische dracht, met tabellen te bepalen uit de visibility en de nominale dracht).
Ad 2. Het object heeft een bekende hoogte ten opzichte van de hoogte van het schip (waterhoogte)

Als het object een hoogte H heeft boven de waterlijn, en we meten een hoek α tussen het wateroppervlak en de top van het object, geldt eenvoudig in de rechthoekige driehoek: tan α = H / afstand tot object . Zoals eerder gezien is voor kleine α,

tan α ≈ α • π/180 . Dit betekend dat de afstand in zeemijl tot het object ongeveer gelijk is aan:

m
et α' = α uitgedrukt in minuten.


5.2Peiling door twee richtingen


W

e kunnen de huidige positie ook bepalen vanuit de twee koersen naar twee bekende punten A en B. Vanuit P ligt A op een koers α en B op koers β. Als we de verheid x zouden weten kunnen we P heel eenvoudig met de loxodroom methode bepalen. Immers vanuit A heeft punt P de koers 180º+α. We moeten x dus nog bepalen. Omdat A en B gegeven zijn, is met de loxodroom methode de koers γ van A naar B en de verheid d te bepalen. Nu volgt x eenvoudig uit de sinus regel:



Opmerking: vanwege de kleine afstanden hebben we de boldriehoek PAB door een gewone driehoek benaderd.


5.3Peiling door verzeiling


A

ls we koersen van punt A naar punt B en in beide punten een peiling nemen naar bekend punt P, kunnen we ook de huidige positie bepalen. Laat α de peiling zijn vanuit punt A en β de peiling vanuit punt B. Als d de afgelegde afstand is tussen A en B (geschat door snelheid en tijd), dan geldt met de sinusregel weer voor x, de afstand tussen P en A:
N
u kunnen we met de loxodroom methode vanuit P eenvoudig punt B berekenen met koers 180º+β en verheid x.

5.4De dubbelstreekspeiling


Als in de formule van 5.3 we zover doorgevaren zijn dat


(dus dat de relatieve peilingshoek twee keer zo groot geworden is), dan is eenvoudig te zien dat





6Appendix: een beetje wiskunde


Op een boloppervlak worden de normale formules voor goniometrie een klein beetje anders. We spreken dan ook van bolgoniometrie. Hieronder zonder afleiding enkele formules:
We bekijken een driehoek op een bol met zijden a,b en c tegenover de hoeken ,  en . Dan geldt:
De sinusregel:


De 1e cosinusregel:


De 2e cosinusregel:


A
ls γ=90º, dan geldt:

(Zie eventueel: P. Wijdenes, goniometrie en trigonometrie)




Afstanden en koersen, Han Schaminée of Version: 1.0




De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina