Algebra èn didactiek



Dovnload 34.18 Kb.
Datum27.08.2016
Grootte34.18 Kb.
De nieuwe wiskundeprogramma’s

Algebra èn didactiek
0 Samenvatting

Graag mengen wij ons in de discussie over de toekomst van ons wiskundeonderwijs.

We willen een lans breken voor een indeling in kern, middenring, middenring, buitenring en het gebied buiten deze ringen van de wiskunde (§ 1). Maar dan met een volledig andere invulling dan die van OCW, die gekenmerkt wordt door een logische opbouw in moeilijkheidsgraad, toegelicht in § 2.

We willen pleiten voor handhaving van het huidige programma voor de onderbouw. Wat betreft de opbouw in onderwerpen evenzeer als de wijze van aanbieding van begrippen en vaardigheden in contexten, zoals dat in de huidige methodes gebeurt (§ 3).

Daarnaast pleiten we voor een aantal herhaalmomenten om de nodige vaardigheden uit de kern van de schoolwiskunde te automatiseren, zodat ze tot de parate kennis van de leerlingen gaan behoren (§ 4).

En we willen ons sterk maken voor een afgebakende rol van de rekenmachine in de basisvorming en van de grafische rekenmachine in de Tweede fase (§ 5).

En ten slotte willen we wijzen op het grote belang van het bewijzen en het denken in structuren binnen het vwo-programma van wiskunde B en D (§ 6).

Dan volgt nog een opmerking over het aantal contacturen voor het vak wiskunde (§ 7).


Daarbij kiezen we geen partij voor de ‘algebra-lobby’ of voor de ‘didactici’. Maar hebben we een wiskundeonderwijs voor ogen, waarin de algebra weer de aandacht krijgt die nodig is voor een goede vervolgopleiding. Maar waarin ook het plezier in wiskunde wordt behouden voor de grote groep leerlingen die aan het abstractieniveau van de algebra in de eerste jaren nog niet toe is. En waarin begaafde leerlingen worden uitgedaagd en geënthousiasmeerd voor het vak wiskunde.

Overigens beperken we ons tot de wiskunde op het havo en het vwo. Met wiskunde op het vmbo hebben we te weinig ervaring.


1. Onderscheid in kern, binnenring, middenring en buitenring

In de voorstellen onderscheidt de Minister een kern, een binnenring, een middenring en een buitenring 1). Een onderscheid dat ons op zich wel aanspreekt. Alleen zijn we niet gelukkig met de invulling van die ringen naar deelgebieden van de wiskunde. Onze ervaring leert dat je het programma en de keuzes die moeten worden gemaakt doorzichtiger maakt als je een onderscheid maakt naar soorten vaardigheden, zoals Gagné dat bijvoorbeeld hanteert 2).

Dan denken we aan het volgende onderscheid:
A. Kern = basisvaardigheden, waaronder begrepen:


  1. rekenvaardigheden: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met getallen, met procenten en met breuken, volgorde van bewerkingen (basisschoolstof) en rekenen met wortels, machten en logaritmen (klas 2 t/m 4)

  2. meetkundige vaardigheden: rekenen met maten, oppervlakte, inhoud (basisschoolstof) en stelling van Pythagoras, sinusregel en cosinusregel (klas 2 t/m 4)

  3. rekenvaardigheden - als in 1., uitgezonderd rekenen met procenten - met variabelen in de uitdrukkingen (klas 1 t/m 4)

  4. oplossen van lineaire vergelijkingen, gebroken vergelijkingen, kwadratische vergelijkingen, wortelvergelijkingen, hogere machtsvergelijkingen, exponentiële vergelijkingen en logaritmische vergelijkingen door middel van terugrekenen (bordjesmethode), met de balansmethode, door middel van ontbinden in factoren of met de abc-formule.(klas 1 t/m 4)

  5. oplossen van meer vergelijkingen met meer onbekenden (klas 5vwo)

  6. differentieerregels toepassen, vergelijking aan raaklijn opstellen (klas 4 en 5)

  7. primitiveren en berekenen bepaalde integraal (klas 5 en 6 vwo)

B. Binnenring = Toepassen van die vaardigheden binnen de wiskunde

Als de basisvaardigheden goed beheerst worden (tot de parate kennis zijn gaan behoren) kun je die toepassen in ingewikkelder wiskundige vraagstukken. Bijvoorbeeld bij het berekenen van de snijpunten van grafieken, het berekenen van een lengte in een driedimensionale figuur, het bepalen of grafieken elkaar raken, bepalen van extremen, het bepalen van een raaklijn met gegeven hellingsgetal of het berekenen van een inhoud m.b.v. een bepaalde integraal.
C. Middenring = Toepassen van de wiskunde in contexten

Als de basisvaardigheden en de toepassingen daarvan binnen de wiskunde goed beheerst worden – tot de parate kennis van de leerlingen zijn gaan behoren - kun je die ook toepassen in complexere problemen in andere disciplines: natuurkunde, scheikunde, techniek, economie en sociale wetenschappen. Waarbij er als extra moeilijkheidsgraad bij komt, dat je de vertaalslag moet maken van de context naar de wiskunde en - na het toepassen van de nodige wiskundige vaardigheden - het weer terugvertalen van het rekenresultaat naar de context. De wiskunde is hier hulpwetenschap voor allerlei andere disciplines en een stuk gereedschap om meer of minder complexe problemen uit het dagelijkse leven op te lossen.


D. Buitenring = Wiskundig redeneren

Als je de nodige basisvaardigheden tot je beschikking hebt, kun je je ook gaan wijden aan het leren volgen en zelf leren vinden van een bewijs. Het daarbij leren (kennen en) hanteren van de regels van de formele logica, het herkennen en benoemen van wiskundige structuren (Lineaire algebra: groepen, ringen en lichamen). Het bewijzen begon al in klas 1 bij de vlakke meetkunde in de tijd van de HBS. In de wiskunde uit het begin van de mammoetwet kreeg het denken in structuren ook al een plaats in klas 1 bij de verzamelingenleer en mondde uit bij de lineaire algebra in wiskunde II. Bij deze onderdelen van de wiskunde leer je genieten van de schoonheid van de wiskunde, ervaar je de verbazing en de verwondering over de eenheid van structuur binnen de wiskunde en de pracht en vaak de eenvoud van het wiskundige bewijs. Eerlijk gezegd zijn we door dit soort ervaringen met de wiskunde gewonnen voor het vak en gestimuleerd om voor de studie wiskunde te kiezen. Dat dit onderdeel een eigen plaats krijgt binnen het wiskundeprogramma vinden we essentieel. Vooral ook om de extra uitdaging te bieden voor de meer bekwame leerlingen. En om leerlingen te interesseren voor het vak en de studie wiskunde. We vinden het wel een goede keuze om het een plaats te geven in wiskunde B en wiskunde D, waarbij de aard van de vwo-opleiding zich er meer voor leent dan die van het havo-programma.


E. Buiten de ring van de wiskunde: onderzoeksvaardigheden

In bijna elk examenvak is sinds de invoering van de Tweede Fase als eindterm de aanduiding ‘onderzoeksvaardigheden’ opgenomen. Dat zal mettertijd wellicht als de mode van de jaren rond de eeuwwisseling gezien worden. Bij ons rijst dan de vraag waarom niet expliciet als eindterm: ‘leren presenteren’, ‘leren samenwerken in een team’ of ‘zelfstandig een (voor de leerling) nieuw stuk wiskunde leren bestuderen’ worden vermeld. Vaardigheden die minstens zo belangrijk zijn als de onderzoeksvaardigheden als het gaat om de voorbereiding op verdere studie en het later functioneren in de maatschappij en die evenzeer buiten het vakgebied van de wiskunde liggen.

Onze ervaring is dat bij vakken als aardrijkskunde, geschiedenis en de binasvakken al veel aandacht wordt besteed aan het opzetten en uitvoeren van een onderzoek en het rapporteren in de vorm van een verslag. Dat hoeft binnen de wiskunde niet nog eens overgedaan te worden. Besteed dan liever aandacht aan die andere genoemde vaardigheden2) .
2. Waarom deze ringen?

Er is een aantal redenen te geven voor deze indeling in basisvaardigheden, toepassen binnen de wiskunde, toegepaste wiskunde en wiskundig redeneren. Waarbij binnen de basisvaardigheden een nader onderscheid wordt gemaakt tussen rekenen, meetkunde, letterrekenen, vergelijkingen, differentiëren en integreren.


Hiërarchie

In de eerste plaats is er binnen de basisvaardigheden een sterke hiërarchie te herkennen. Aan de basis staat het rekenen, daarna het rekenen met letters. Als je niet kunt rekenen met getallen (zonder rekenmachine) dan is het leren van rekenen met letters tot mislukken gedoemd. Als je niet kunt reken met letters dan kun je het leren oplossen van vergelijkingen (zonder GRM) wel vergeten. En als je niet kunt rekenen met letters kun je niets beginnen (zonder rekenmachine) bij het herleiden van een afgeleide functie. Zonder vergelijkingsoplossingsvaardigheden kom je nergens bij het berekenen van extremen. Om enkele ordeningskenmerken aan te geven.


In de tweede plaats zit er een hiërarchie tussen de verschillende vaardigheden A, B, C, D en E onderling. Je kunt vaardigheden niet toepassen (B) als je die vaardigheden niet beheerst en wiskunde toepassen in complexere problemen (C), kom je ook niet ver mee als je de wiskunde die je moet toepassen (A en B) niet onder de knie hebt. Voor wiskundig redeneren (D) heb je tenminste enkele basisvaardigheden (A) nodig en als je wat verder komt ook de hogere basisvaardigheden en de toepassingen binnen de wiskunde (B).

Deze indeling van de wiskunde naar vaardigheden maakt de structuur van het vak niet alleen doorzichtig, de indeling naar vaardigheden sluit bovendien goed aan op leerdoeltaxonomieën zoals die van Bloom en van Gagné 3).


Hanteerbaarheid bij formulering eindtermen wiskunde A en B, wiskunde C en D

Het indelen naar vaardigheden is goed hanteerbaar bij de formulering van eindtermen. Je kunt er scherp mee aangeven wat je bedoelt. Naast deze vaardigheden moet per vak wiskunde A, wiskunde B en wiskunde C en wiskunde D voor havo en voor vwo ook aangeven worden welke toepassingsgebieden tot de stof van dat vak behoren.


Bij wiskunde A ligt dan de kansrekening en de statistiek voor de hand. Daarvoor dien je vooral te beschikken over goede rekenvaardigheid (A-1). Pas later bij het Binomium van Newton heb je wat letterrekenen nodig (A-3) en weer later, bij bestudering van de normale verdeling kan kennis van de integraalrekening (A-7) nuttig zijn. En de rekenregels voor het rekenen met kansen vormen binnen dit toepassingsvak weer een basisvaardigheid. Verder heb je bij wiskunde A de vaardigheid nodig om lineaire en exponentiële vergelijkingen op te lossen(A-4) voor veel toepassingen in de economie en mogelijk in de biologie. Op het vwo komt daar het differentiëren van lineaire, machtsfuncties en exponentiële functies (A-6) bij voor het gebruik bij toepassingen in deze vakken van een wat hogere moeilijkheidsgraad. Als je ervoor kiest om wiskunde A ook toe te staan voor leerlingen met een N&G-profiel, dan ligt het voor de hand om in wiskunde A ook enig differentiëren op te nemen., hoewel dat voor een opleiding in de gezondheidszorg weinig relevant is. Voor leerlingen die economische wetenschappen gaan studeren is dit differentiëren essentiëler, maar dat kan zeer beperkt om toch een goede aansluiting te verzorgen. Belangrijker voor deze leerlingen (die in de gezondheidszorg willen werken of een sociale wetenschap gaan studeren) is dat ze een degelijk stuk kansrekening en statistiek krijgen aangeboden. En een stuk matrixrekening.
Voor wiskunde B in de havo ligt de nadruk vooral op toepassingen in de binasvakken en de techniek, waarvoor alle genoemde basisvaardigheden tot en met A-6 nodig zijn. En een stuk ruimtemeetkunde. Voor het vwo komt daar de vaardigheid in het integreren bij (A-7) en het redeneren en bewijzen met het herkennen en benoemen van de eigenschappen binnen wiskundige structuren (buitenring D), waarbij we de ruimtemeetkunde meer met redeneren dan met berekenen zouden willen behandelen.
Wiskunde C en D vragen op dezelfde manier om hun eigen afbakening. Wiskunde D kan voortbouwen op de kennis van wiskunde B en een aantal toepassingsgebieden uit de bètawetenschappen liggen dan voor de hand. Ook is goed verdedigbaar dat je bij wiskunde D verder gaat met het redeneren en bewijzen en het benoemen en herkennen van structuren binnen de verschillende wiskundevakken.

De indeling in vaardigheden helpt om helder weer te geven wat je moet beheersen.


Inzicht in de historie van de eindtermen voor wiskunde

Het hanteren van de verschillende vaardigheden geeft ook een helder inzicht in de ontwikkeling van de wiskunde sinds de invoering van de HBS. In het HBS-programma dat weliswaar enkele malen is aangepast, ging het vooral om de basisvaardigheden (A) in het vak algebra en het bewijzen (D) in het vak meetkunde. In de hogere leerjaren was er veel aandacht voor het toepassen van de basisvaardigheden binnen de wiskunde (B), maar besteedde je geen aandacht aan toegepaste wiskunde (C). Opvallend is, dat het bewijzen al begon in klas 1 van de HBS bij de vlakke meetkunde. En dat liep door in de stereometrie in de hoogste klassen.


Met de invoering van de mammoetwet in 1968 werd met name in buitenring D de aandacht verlegd van bewijzen (meetkunde is verdwenen en vectormeetkunde met veel rekenwerk kreeg haar plaats) naar het denken in structuren door invoering van de verzamelingenleer (vanaf klas 1) en de lineaire algebra (wiskunde II). Veel aandacht voor de didactiek van het zelfontdekkend leren, maar nog nauwelijks toepassingen (C). Pas bij de invoering van de basisvorming in 1993 kwam er aandacht voor het realistisch wiskundeonderwijs (C). Helaas grotendeels ten koste van het bewijzen en de structuren (D) die naar de achtergrond verdwenen (5 en 6 vwo wb12 in plaats vanaf de brugklas). En nu staan we voor nieuwe keuzes. Zoals we reeds hebben aangeprezen zouden we graag meer aandacht en tijd ingeruimd zien voor het bewijzen en het denken in structuren, onzes inziens voor de zuivere wiskunde.

Kortom, de indeling in vaardigheden blijkt een goed stuk gereedschap om het zeer gecompliceerde vakgebied van de wiskunde uiteen te leggen.


Havo en vwo

Het onderscheid tussen havo en vwo voor wiskunde wordt met de indeling in vaardigheden mogelijk ook doorzichtiger (hetgeen ook geldt voor het onderscheid tussen wiskunde A en wiskunde B). Wat ons betreft hoef je op de HAVO niet of nauwelijks tijd te bestreden aan redeneren en bewijzen en wiskundige structuren (D) en des te meer aan onderdeel de toepassingen buiten de wiskunde (C). Daarbij moet worden opgemerkt dat het aantal basisvaardigheden bij wiskunde B veel uitgebreider is dan bij wiskunde A, zowel op de havo als op het vwo. Bij de Havo gaat het steeds meer om het toepassen, het berekenen in praktische situaties als voorbereiding op studies in het HBO. En in het vwo willen we meer een theoretische onderbouwing, waarbij leerlingen naast de praktijk ook oog krijgen voor de noodzaak om bepaalde stellingen en eigenschappen te bewijzen, een wiskundig bouwwerk op te zetten en inzicht in de structuur van de verschillende onderdelen van de wiskunde. Een vectorruimte heeft een aantal eigenschappen die je ook herkent bij de verzameling getallen. En een functieruimte heeft een aantal wezenlijk andere eigenschappen. Het toepassen van de vier hoofdbewerkingen van het rekenen op rationale getallen kent andere regels dan het rekenen met rekenen met wortels of het rekenen met goniometrische verhoudingen. Dat wil je VWO-leerlingen bijbrengen en je wilt ze leren vragen waarom dat zo is.


Herhaalmomenten

  1. rekenvaardigheden van de basisschool ophalen en vasthouden in klas 1 en 2.en rekenen met wortels, machten en logaritmen kort herhalen en inoefenen voordat de desbetreffende functies worden behandeld in klas 4.

  2. meetkundige vaardigheden van de basisschool herhalen en blijven oefenen in klas 1 en 2 en stelling van Pythagoras, sinusregel en cosinusregel herhalen in klas 4 voordat je die daar nodig hebt.

  3. rekenvaardigheden met variabelen in de uitdrukkingen herhalen voordat je gaat differentiëren. Daarbij moet je vaak lastige vormen herleiden, waarbij de rekenregels onontbeerlijk zijn.

  4. oplossen van lineaire vergelijkingen, gebroken vergelijkingen, kwadratische vergelijkingen, wortelvergelijkingen, hogere machtsvergelijkingen, exponentiële vergelijkingen en logaritmische vergelijkingen herhalen en inoefenen als je die nodig hebt in klas 4.

  5. oplossen van meer vergelijkingen met meer onbekenden (klas 5vwo) nog een keer gericht herhalen voor het examen.

  6. differentieerregels toepassen, vergelijking aan raaklijn opstellen herhalen voordat je gaat integreren in klas 5 of 6.

  7. primitiveren en berekenen bepaalde integraal inoefenen en herhalen voor het examen.


3. Nieuwe verworvenheden wiskunde-onderwijs behouden

Voor de goede orde merken we op dat we moeten oppassen de verworvenheden van de laatste veertig jaar niet weg te gooien. De realistische wiskunde maakt de wiskunde voor een veel grotere groep leerlingen – ook voor leerlingen met minder aanleg voor wiskunde – veel aantrekkelijker. De intrinsieke motivatie bij leerlingen is enorm toegenomen als je de huidige situatie vergelijkt met de wiskunde die we moesten onderwijzen in de tijd vóór 1968!


En de manier waarop de wiskunde in de huidige methodes meestal wordt aangeboden moet niet worden teruggebracht naar de situatie van voor 1968! Het zelfontdekkend leren dat een eigen plaats heeft verworden, maakt de wiskunde ook interessanter en de resultaten zijn goed als het gaat om de vraag of leerlingen de stof goed begrijpen. Aan het onderbouwprogramma hoeft niets te veranderen. Het enige is, dat je enkele herhaalmomenten moet inbouwen. Zodat de basisvaardigheden geautomatiseerd worden. De wijze waarop de leerlingen indertijd werden geplaagd met abstracte wiskundige vaardigheden die tot vervelens toe moesten worden herhaald en ingeoefend, veroorzaakten voor een te groot aantal leerlingen dat wiskunde een onaangenaam, vervelend en vooral onbegrijpelijk vak was. Daar is in de huidige opzet van de methoden gelukkig geen sprake meer van.
Ten derde zouden we de GRM niet meer willen missen. Door die goed in te zetten leren de leerlingen interessantere en vaak ook veel complexere problemen beheersen dankzij de hulp van de GRM die een aantal anders zeer tijdrovende stappen van hen overneemt . En de GRM helpt een aantal probleemgebieden inzichtelijk maken die zonder GRM zeer moeilijk toegankelijk zijn. Denk bijvoorbeeld aan de web-grafieken.
4. Leren beheersen basisvaardigheden

Voor een goede beheersing van de basisvaardigheden is herhalen en inoefenen essentieel.

En dan op een moment dat de leerling daaraan toe is. Niet al in klas 1 en 2, maar vooral in klas 4, bij de start van de tweede fase. Je hebt dan niet alleen leerlingen die gemiddeld genomen veel ontvankelijker zijn voor wat meer abstract denken, je hebt ook een selecter gezelschap. Bij wiskunde B kun je heel andere zaken inoefenen dan bij wiskunde A.. De leerlingen die voor wiskunde A kiezen hoef je niet meer lastig te vallen met de regels voor wortelrekenen of goniometrische vergelijkingen.

Nee, we pleiten alleen voor het inbouwen van herhaalmomenten van vaardigheden die de leerlingen al zelfontdekkend of geïnstrueerd door hun docent hebben opgedaan. Het automatiseren van die vaardigheden is nodig om een volgende stap in de wiskunde te kunnen maken. En het automatiseren van het rekenen (klas 1 en 2) en van de algebra (klas 4 en 5) op een later tijdstip van de schoolloopbaan van de leerling veel minder tijdrovend. Het is een kwestie van didactiek. En extra tijd kost het nauwelijks..

Als school bouwen we goede ervaringen op met deze herhaalmomenten 4).
5. Rekenmachine

De basisvaardigheden onderscheiden zich van de andere vaardigheden in die zin, dat je de basisvaardigheden moet beheersen zonder gebruik te hoeven maken van de rekenmachine. Optellen van breuken moet je kunnen door ze gelijknamig te maken en dan op te tellen uit het hoofd. Als je dat niet kunt loop je vast bij het rekenen met breuken als daar variabelen in voorkomen. Formules met wortels moet je kunnen herleiden zonder rekenmachine, anders loop je vast als je een afgeleide van een wortelfunctie moet vereenvoudigen. En zo zijn er veel meer voorbeelden te noemen. Bij het inoefenen van die vaardigheden (zie onder 3. Herhaalmomenten) kies je dan ook niet voor onhandige getallen. Als je de vaardigheden wilt oefenen moet de aandacht op het toepassen van de rekenregels liggen en niet op de vaardigheid om in ingewikkelde toegepaste situaties met getallen die zich niet lenen voor hoofdrekenen te kunnen werken .

Bij het toepassen in binnenring B en vooral bij middenring C krijgt de rekenmachine zijn onmisbare plaats. Zonder de rekenmachine kosten de realistische vraagstukken veel te veel onnodige tijd!

Doordat realistische situaties meestal getallen opleveren die zich niet lenen voor hoofdrekenen, kun je hier de rekenmachine nuttig inzetten. Dat geldt in klas 1, 2 en 3 en ook voor de GRM in klas 4, 5 en 6. Daarom de rekenmachine veel gebruiken en toepassen met de vele mogelijkheden die de GRM biedt, maar ook het hoofdrekenen en het oplossen van vergelijkingen zonder rekenmachine blijven oefenen.



6. Aantrekkelijkheid van wiskunde voor begaafde leerlingen

Zorgelijk is de ontwikkeling van de afgelopen twintig (?) jaar, waarbij het aantal leerlingen dat ervoor kiest wiskunde te gaan studeren, sterk is afgenomen. Onzes inziens is een belangrijk aspect daarvan de aantrekkelijkheid van het vak wiskunde voor meer begaafde leerlingen, of liever het gebrek aan aantrekkelijkheid. De toegepaste wiskunde is in feite niet meer dan een hulpwetenschap. De (zuivere) wiskunde, zoals die wordt (werd?) onderwezen aan de universiteit bestaat toch vooral uit redeneren, bewijzen, denken in structuren. Die aspecten van het vak maken wiskunde aantrekkelijk voor de wiskundig begaafde leerling, zoals we al aangaven bij de omschrijving van de buitenring D. Die leerling wordt in het huidige programma onvoldoende bediend! Het zou ons niet verbazen als dat een van de oorzaken zou zijn dat zo weinig eerstejaarsstudenten de laatste jaren voor een studie met wiskunde kiezen.



7. Contacturen

Een opmerking willen we graag nog kwijt over het aantal contacturen. Het karakter van het vak wiskunde vraagt veel overleg tussen leerlingen en docent of leraar. Of je nu de leerlingen individueel begeleidt bij het zelfontdekkend leren of dat je veel klassikaal behandelt, in beide gevallen durven we de stelling aan dat wiskunde een vak is dat meer contacturen vraagt om de beoogde studielasturen nuttig te kunnen besteden, dan een vak als geschiedenis, aardrijkskunde, biologie, ckv, talen, om er enkele te noemen. Bij wiskunde kunnen te weinig leerlingen zich zelfstandig nieuwe vaardigheden eigen maken zonder hulp van een docent. En dat ligt bij andere vakken genuanceerder. Een en ander pleit voor een factor om de studielasturen om te rekenen in lesuren, die voor wiskunde groter is dan voor de genoemde vakken. Overigens hoeft - zoals vermeld in § 4 - het extra inoefenen van de basisvaardigheden niet te leiden tot meer contacttijd. De tijd die het kost om extra te oefenen verdien je royaal terug in de Tweede Fase, omdat veel opgaven sneller gaan. Je hoeft allerlei rekenvaardigheden niet weer opnieuw en weer opnieuw uit te leggen. Ook bij uitleg van de theorie hebben veel stappen geen uitleg nodig, omdat leerlingen de nodige kennis meer paraat hebben en het verhaal zo beter kunnen volgen.


Woerden, September 2008

Namens de sectie wiskunde van het Kalsbeek College



Rens Houtman

1) In ‘Wiskunde: beslissing over het voorstel examenprogramma na de commentaren van de resonansgroep wiskunde en de lerarenvereniging;’ geven we hier enkele kernzinnen ter vergelijking met de door ons gehanteerde indeling in vaardigheden:
Kern:. . . traditionele algebraïsche vaardigheden, enige elementaire meetkunde en ‘functies en grafieken. . .’

Binnenring:’. . . direct voortbouwen op de kern en die ook behoren tot de stof die in de laatste decennia steeds behoorden tot ‘de vwo/havo’-stof, in elk geval voor wiskunde B: analyse, goniometrie……’

Middenring: ‘. . .bij de binnenring aansluitende onderdelen van meetkunde, via een bij de buitenring aansluitend onderdeel als kansrekening tot een als het ware virtueel onderdeel als getaltheorie, dat nooit tot de schoolstof heeft behoord. Het gaat hier om ‘echte wiskunde’, met nuttige, maar toch wat beperktere toepassingen dan de onderdelen van kern en binnenring. . .’

Buitenring:’. . . onderdelen die het verst liggen van de traditionele kern van het wiskundige vakgebied en waarin als het ware de wiskunde grenst aan ‘de buitenwereld’ en waarin dus contexten en (maatschappelijke, natuurwetenschappelijke) toepassingen heel belangrijk zijn. Daarbij gaat het dus in de eerste plaats om statistiek, maar ook om onderdelen als lineair programmeren, grafen en matrices, geschiedenis van de wiskunde, wiskunde in kunst. En bij wiskunde B ook om onderzoeksvaardigheden in relatie tot andere exacte vakken. Statistiek moet een goede plaats hebben in wiskunde A en C. . .’
2) Deze vaardigheden – leren presenteren, leren samenwerken en leren zelfstandig een stuk nieuwe wiskunde bestuderen - zijn met minstens zo veel nadruk in ons vakwerkplan vermeld als de onderzoeksvaardigheden en we besteden daar ook gericht de nodige tijd en aandacht aan binnen ons wiskundeonderwijs.

3) Zie b.v. Robert M. Gagné, ‘Essentials of Learning for Instruction’, Hinsdale, Illinois, 1975

4) Voor de meeste van deze herhaalmomenten hebben we inmiddels werkbladen ontwikkeld, die de leerlingen doornemen in telkens 2, 3 of 4 lessen op de momenten zoals aangegeven

De nieuwe wiskundeprogramma’s




De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina