Breuken zonder brokken



Dovnload 46.12 Kb.
Datum16.08.2016
Grootte46.12 Kb.

Breuken zonder brokken

Vele handen …





  1. Twee mensen zijn bezig met het schilderen van een schutting. De een – een ervaren schilder - kan dat karwei in z’n eentje in 5 uur klaren . De ander is nog onervaren, en heeft daar meer tijd voor nodig: 8 uur.

    1. Ga na hoe lang ze nodig hebben als ze het karwei samen doen (en elkaar niet beïnvloeden)

Wanneer vraag a) niet goed lukt, of je bent niet zeker van het antwoord maak je volgende vragen:

    1. Bedenk hoeveel m2 er geschilderd zou moeten worden ( neem een getal waarmee je makkelijk verder kan rekenen)

    2. Bereken hoeveel m2 ze samen per uur schilderen

    3. Bereken de tijd die nodig is

    4. Herhaal de berekening nog eens voor een schutting van 100 m2




  1. Een zwemband wordt eens per jaar leeggepompt. Dat duurt 24 uur met de pomp die men gebruikte. Met een nieuwe pomp gaat het 2 maal zo snel.

    1. Hoe lang duurt het wanneer men beide pompen tegelijk kan gebruiken ?

Bij nader inzien blijkt dat de nieuwe pomp meer dan twee maal zo snel is. In z’n eentje pompt hij het zwembad in 10 uur leeg.

    1. Bereken opnieuw hoe lang duurt het wanneer men beide pompen tegelijk kan gebruiken

Je kunt dit soort opgaven snel aanpakken via de omgekeerden.

Omdat je niet weet hoe groot de schutting is of hoeveel water er in het zwembad gaat , ga je gewoon uit van het getal 1. De snelle schilder doet per uur deel van de schutting. Zijn onervaren collega doet per uur deel, samen doen ze dus deel


x

1/x

8

 

5

 

 

 
Desnoods kun je gebruik maken van de breuktoets op je rekenmachine.

Om het beter te begrijpen kun je denken aan een schutting van 40 m2 .

Als je per uur 13 van de 40 m2 doet, ben je ruim 3 uur bezig, wat preciezer: 40/13 = 3 ≈ 3:05 ( 3 uur en 5 minuten)

Handig hierbij is wellicht een het schema als hiernaast ( lijkt op dat bij de stelling van Pythagoras, maar nu werk je met omgekeerden i.p.v. kwadraten)



Je kunt hierbij de omkeertoets op je rekenmachine gebruiken. Op deze knop staat meestal 1/x of x-1


  1. Los opgave 2b (nog eens) op

    1. Met bovenstaand “omkeerschema’

    2. Door uit te gaan van een handige inhoud ( bijv 120 m3)




  1. Anneke en haar broertje Bart brengen soms folders rond. Anneke doet daar ongeveer 90 minuten over. Haar broertje heeft langer tijd nodig: 120 minuten.

    1. In hoeveel minuten zouden ze het kunnen doen als ze de wijk samen doen ?

    2. Kun je redenen bedenken waarom dit in de praktijk niet altijd lukt ?




  1. Voor de deur van de familie Jansen ligt een berg aarde die op de tuin moet komen. De heer Jansen weet uit ervaring dat hij daar vier uur mee bezig is. Zijn buurman beweert dat hij het (in zijn eentje) binnen drie uur kan. Ze besluiten om het karwei samen aan te pakken

    1. Hoe lang zijn ze bezig als de schattingen kloppen, en ze elkaar niet beïnvloeden?

Achteraf blijken ze het werk gedaan te hebben in 1:50 (een uur en vijftig minuten).

    1. Hoelang zou de buurman in zijn eentje nodig gehad hebben?




  1. Bollen pellen is in sommige streken van Noord Holland een populaire bijverdienste

Karlijn, Leontien en Myrthe zijn ervaren pelsters. Ze worden betaald per mand. Karlijn doet 50 minuten over een mand, Leontien 55 en Myrthe 65 minuten. Aan het eind van de dag besluiten ze nog (‘even’) met z’n drieën samen een mand te doen.

    1. Hoelang doen ze daarover ( als ze elkaar niet beïnvloeden)

Ze doen er 17 minuten over, omdat Myrthe ineens heel hard ging werken, de andere werkten in hun normale tempo..

    1. Hoe lang zou Myrthe in haar eentje over de hele mand gedaan hebben bij dat tempo ?




  1. Wanneer twee weerstanden parallel worden geschakeld geldt voor de vervangingsweerstand

    1. Ga na waarom een vervangingsweerstand bij altijd kleiner is dan de kleinste van de parallel geschakelde weerstanden.

    2. Bereken de vervangingsweerstand van een weerstand van 100 ohm parallel geschakeld aan een van 500 ohm.

    3. Bereken de vervangingweerstand van 5 parallel geschakelde weerstanden van ieder 60 ohm

Op tafel liggen weerstanden van 50, 60, 80 en 100 ohm (van elk ‘soort’ zijn genoeg)

    1. Ga na hoe je door een parallelschakeling een vervangingsweerstand van 15 ohm kunt bereiken ( Je hoeft niet alle soorten weerstanden te gebruiken)



  1. We hebben eerder beweerd dat de het niet belangrijk is hoe groot de schutting is, hoeveel water er in het zwembad zit etc. Een manier om dat te zien is te werken met een onbekende/variabele. We noemen de oppervlakte van de schutting van vraag 1 bijv. a m2.

    1. Hoeveel m2 schildert de ervaren schilder per uur ?

    2. En de onervaren collega ?

    3. Hoeveel m2 schilderen ze samen per uur ?

    4. Hoelang doen ze samen over de schutting




  1. Een boot vaart met een constante snelheid van 12 km/u t.o.v. het water. Er staat echter een vrij sterke stroom, dat betekent dat de boot stroomafwaarts veel harder opschiet dan stroomopwaarts. De stroomsterkte is onbekend : x km/u

    1. Geef een formule voor de snelheid van de boot (t.o.v. de kant) als deze stroomafwaarts vaart.

    2. Doe het zelfde voor stroomopwaarts.

De boot vaart op en neer tussen Azorra en Brinzir. Brinzir ligt stroomopwaarts. De afstand tussen deze twee plaatsen is heel ruw geschat 60 km

    1. Geef een formule voor de tijd dat de heenreis (met de stroom mee) duurt.

    2. Doe het zelfde voor de terug reis

    3. Geef een formule voor de duur van de heen en terugreis samen

    4. Probeer deze formule te vereenvoudigen

    5. Laat zien dat het tijdverlies tijdens de heenreis nooit goedgemaakt kan worden door de tijdwinst tijdens de heenreis

De afstand tussen Azorra en Brinzir over water bedraagt in feite d km.

    1. Geef een zo eenvoudig mogelijke formule voor de duur van heen en terugreis samen.



  1. Een vliegtuig vliegt dagelijks op en neer van naar een populaire vakantiebestemming met een snelheid ( t.o.v. de lucht ) van 850 km/u. Op de heenweg moet het tegen de straalstroom invliegen, op de terugweg met de straalstroom mee.

De afstand tot de vakantiebestemming is ca. 2500 km, en de straalstroom heeft onbekende maar vrij constante snelheid.

    1. Geef een formule voor de reistijd tijdens de heenreis.

    2. Geef een formule voor de totale reistijd. ( heen en terug)

    3. De totale reistijd bedroeg 6 uur. Bereken de snelheid van de straalstroom

    4. Geef een formule voor de gemiddelde snelheid voor heen en terugreis samen., en schrijf die zo eenvoudig mogelijk.



Gemiddeld …


Let goed op het verschil tussen de volgende vragen:



  1. Tijdens een fietstrektocht wordt op maandag de eerste drie uur gereden met een snelheid van 20 km/u., Na de rustpauze van een uur heeft niemand veel zin om door te rijden. De snelheid daalt tot 15 km/u .Na nog een 3 uur rijden bereikt men de bestemming

    1. Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de 6 uur dat men fietst

    2. Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de fietstocht (incl. pauze)

De volgende dag (dinsdag) stond er een tocht van maar liefst 120 km op het programma De eerste 60 km werd flink doorgetrapt : 20 km/ u, maar de volgende 60 km gingen een stuk langzamer: 15 km/u

    1. Bereken de gemiddelde snelheid tijdens de tocht (zonder rekening te houden met eventuele pauzes)

Het verschil tussen a) en b) is een kwestie van afspraak. Bij fietscomputers wordt meestal geen rekening gehouden met rustpauzes, bij lange autoreizen vaak wel.

Het verschil tussen a en c is andere koek . Bij a) kun je gewoon precies tussen 15 en 20 in gaan zitten, bij vraag c) geeft dan een verkeerd antwoord.. Maar waarom is 17,5 km/u bij vraag a) eigenlijk goed en bij vraag c) niet?


  1. We gebruiken de gegevens van de vorige vraag.

    1. Welke afstand werd er maandag afgelegd ?

    2. Hoe lang deed men hierover ( afgezien van de rustpauze)

    3. Hoeveel reed men (dus) gemiddeld per uur

    4. Welke afstand werd dinsdag afgelegd

    5. Hoelang deed men erover

    6. Hoeveel reed men (dus) gemiddeld per uur ?

Bij de volgende vragen zijn de afstanden onbekend. Probeer daar wat op te vinden



  1. Tijdens een stormachtige dag reed Evert ’s morgens met een snelheid van 30 km/u naar school. ’s Middag had hij storm tegen, en bedroeg zijn snelheid slechts 10 km/u. Hoe hoog lag zijn snelheid gemiddeld ?




  1. Fabiënne reed ‘s morgens in haar auto met een gemiddelde snelheid van slechts 37 km/u naar haar werk. Toen zij ’s avonds terug reed was het lekker rustig en haalde ze (gemiddeld) 83 km/uur . Hoe hoog lag haar gemiddelde snelheid voor de hele reis ?

Een mogelijke aanpak van de laatste opgave is:



  • Neem als woon-werk afstand 25 km

  • De heenreis duurt dan uur

  • De terugreis uur

  • Totaal : uur ( dus bij na een uur)

  • Gemiddelde snelheid is dus (2×25)/0,977 ≈ 51 (km/u)






    1. Ga na dat de keuze voor en andere afstand niet uitmaakt voor het antwoord

    2. Maak de berekening nog eens met een woon-werk afstand van 1.

Het gemiddelde dat we op deze manier berekenen noemen we het harmonisch gemiddelde

Het harmonisch gemiddelde van 37 en 83 is dus ongeveer 51

Het ‘gewone’ gemiddelde van 37 en 83 is natuurlijk (37+83)/2= 120/2 =60



Dit noemen we het rekenkundige gemiddelde van 37 en 83.

x

1/x

37

 

83

 

 

 
Je kunt bij de berekening van het harmonisch gemiddelde gebruikmaken van een ‘omkeerschema’ Vergeet niet het ‘antwoord’ met 2 te vermenigvuldigen !


  1. Bepaal van de volgende getallen steeds het rekenkundig en het harmonisch gemiddelde.

    1. 15 en 25

    2. 2 en 98

    3. 154 en 156

    4. 17 en 17

    5. 4, 6 en 9




  1. Een leraar berekent altijd de rapportcijfers door het rekenkundige gemiddelde van de proefwerkcijfers (deze tellen allemaal even zwaar). Aan het begin van het nieuwe cursusjaar kondigt hij aan dat hij voortaan het harmonisch gemiddelde gaat gebruiken.

    1. Wat vind je van dit plan?

    2. Geef met behulp van een voorbeeld aan waarom je het een goed of slecht plan vindt.






    1. Geef een formule voor het rekenkundig gemiddelde van twee getallen a en b.

    2. Geef een formule voor het harmonisch gemiddelde van twee getallen a en b.

    3. Controleer de formules met behulp van een getallenvoorbeeld



  1. Een bollenteler heeft 5 pelsters in dienst. Sommige zijn er veel handiger in dan andere. Hieronder zien je hoeveel minuten ze over een mand doen:


D

E

F

G

H

40

45

70

70

75

De bollenteler had als snel berekend dat het (rekenkundig) gemiddelde (precies) 1 uur bedroeg. Op basis daarvan schatte hij dat het werk na 15 werkdagen (van 8 uur) af zou zijn.

    1. Hoeveel manden moeten er gepeld worden ?

    2. Bereken voor iedere pelster de dagproductie (aantal manden)

    3. Maak een betere schatting van het aantal dagen werk.

    4. Leg uit waarom het harmonisch gemiddelde in dit geval beter te gebruiken is dan het rekenkundig gemiddelde.




  1. Een auto rijdt op de snelweg 1:19 ( 19 km op 1 liter benzine), en de bebouwde kom 1:12,5. De rit naar de vakantiebestemming bestond uit 70 km door de bebouwde kom en 500 km over de snelweg.

    1. Bereken het gemiddeld benzineverbruik voor deze tocht.

    2. Officieel wordt het verbruik opgegeven als liters per 100 km. Laat zien dat voordelen heeft bij opgaven als deze.

Regels ontdekken [deels ontleend aan Oefeningen van Martin Kindt ]


  1. Maak de volgende opgaven, en let op de regelmaat:

    1. =














  1. En ook:

    1. =














  1. Nu met vermenigvuldigen:
















  1. En tenslotte met delen:



    1. =









Het optellen en aftrekken van breuken is soms lastig. Het mengen van breuken gaat heel eenvoudig:


  1. In een dorpje wonen 997 inwoners, waarvan slechts 143 jongeren ( t/m 18 jaar). In een nabijgelegen groter dorp wonen 19 835 inwoners, waarvan maar liefst 6359 jongeren.

    1. Schrijf het aandeel jongeren in het dorpje als breuk

    2. Schrijf het aandeel jongeren in het grotere dorp als breuk

Beide dorpen worden samengevoegd tot en nieuw dorp

    1. Schrijf het aandeel jongeren in het nieuwe dorp als breuk

    2. Twee dorpen worden samengevoegd. Het ene dorp heeft a inwoners, waarvan b jongeren. Het tweede dorp heeft c inwoners, waarvan d jongeren. Wat is het aandeel jongeren in het nieuwe dorp ?

Het ‘mengen’ van twee breuken geven we aan met het teken &

Dus


  1. Bepaal:












  1. Tijdens een fietstocht werd de eerste 3 uur 50 km afgelegd, en de volgende 2 uur 30 km

    1. Bepaal de gemiddelde snelheid voor de eerste 3 uur

    2. Bepaal de gemiddelde snelheid voor de laatste 2 uur

    3. Bepaal de gemiddelde snelheid voor de gehele tocht

Tijdens een fietstocht werd de eerste t1 uur s1 km afgelegd, en de volgende t2 uur s2 km

    1. Bepaal de gemiddelde snelheid voor de hele tocht in km/u



  1. De weg naar school (s km) kost op de heenweg t1 en op de terugweg t2 uur

    1. Bereken de gemiddelde snelheid voor s=7, t1=⅓ t2=½

    2. Geef een algemene formule voor de gemiddelde snelheid.




  1. Bepaal:









    1. Wat is het verband tussen het ‘gemengde’, en het rekenkundig en harmonische gemiddelde


  1. Bepaal:







    1. Verklaar de verschillen tussen de drie antwoorden

    2. Leg uit waarom ‘mengen’ eigenlijk niet zo’n geschikte bewerking is voor breuken.

------------

Algebra Anders breuken versie 0.9 [15-8-2016] pagina






De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina