De stelling van pythagoras



Dovnload 23.59 Kb.
Datum24.07.2016
Grootte23.59 Kb.




Q.E.D.

DE STELLING

VAN PYTHAGORAS

Luc Gheysens

Geert Delaleeuw

Vakbegeleiding wiskunde

DPB-Brugge

2010

1 Inleiding





Pythagoras van Samos
(569-475 v. Chr.)

De stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek de oppervlakte van het vierkant op de zijde tegenover de rechte hoek gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de twee zijden die de rechte hoek insluiten.



Op de bovenstaande Griekse postzegel staat de stelling visueel voorgesteld: 5² = 4² + 3².


Er zijn aanwijzingen dat de stelling van Pythagoras werd ontdekt in China of Indië, maar het is moeilijk te achterhalen wanneer dat precies gebeurde. In elk geval dateren de oudste sporen van het feit dat men deze stelling kende en hiermee berekeningen kon uitvoeren van rond 1000 voor Christus. Op Babylonische kleitabletten werden immers figuren en tabellen met getallen teruggevonden die verwijzen naar deze beroemde stelling.
Opdracht 1.

Op de onderstaande Babylonische kleitablet staat een bewijs voor de stelling van Pythagoras in het speciaal geval dat de twee rechthoekszijden even lang zijn. Hiervoor gebruikte men figuur 1. Leg uit hoe hiermee de stelling kan bewezen worden.






Figuur 1



2 Bewijs van Bhaskara (1114 – 1185)
Over het leven en het werk van de Indische wiskundige Bhaskara vind je meer informatie op http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/BhaskaraIE.html
Hij gaf een eenvoudig bewijs voor de stelling van Pythagoras door figuur 2 om te vormen in figuur 3.





Figuur 2 Figuur 3


Opdracht 2.

Leg uit hoe je via algebraïsch rekenwerk aan de hand van figuur 2 vindt dat a² = b² + c².

3 Bewijs uit de Elementen van Euclides
De zogenaamde Elementen van Euclides zijn een verzamelwerk dat bestaat uit dertien boeken, geschreven door de Hellenistische wiskundige Euclides te Alexandrië in het begin van de derde eeuw voor Christus. Hierin verzamelde en formaliseerde hij 468 wiskundige bewijzen uit de meetkunde en de getallenleer die in de eeuwen daarvoor reeds door andere wiskundigen waren bewezen.
In stelling 47 uit boek I tekent Euclides een merkwaardig bewijs op voor de stelling van Pythagoras. Het is een typisch ‘Grieks’ bewijs waarbij hij gebruikt maakt van figuren die hij transformeert zonder dat de oppervlakte ervan verandert.
Op het internet kan je dit bewijs stap voor stap volgen via het applet van Jim Morey:

http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html .

Opdracht 3

Leg stap voor stap uit hoe het bewijs van Euclides in elkaar zit. Gebruik hiervoor figuur 4. Tip: toon aan dat de helft van de oppervlakte van het vierkant ABDF gelijk is aan de helft van de oppervlakte van de rechthoek BHIJ.

Figuur 4

Een dynamische versie hiervan is het zogenaamde ‘schuifbewijs’ waarvoor je op het internet een mooi applet vindt op http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythasx/pythasx.html.



4 Drie merkwaardige bewijzen
In de loop van de voorbije eeuwen vonden heel wat wiskundigen en ook enkele niet-wiskundigen mooie visuele bewijzen voor de stelling van Pythagoras. In de opdracht hieronder staan er drie vermeld: het bewijs van Leonardo da Vinci (1452 – 1519), van de Nederlandse letterkundige Multatuli, alias Eduard Douwes Dekker (1820 – 1887) en van James Garfield (1831 – 1881), de 20ste president van de Verenigde Staten van Amerika.
Opdracht 4a

Leg uit aan de hand van figuur 5 hoe het bewijs van Leonardo da Vinci in elkaar zit.



Figuur 5

Opdracht 4b

Leg uit aan de hand van figuur 6 hoe het bewijs van Multatuli in elkaar zit.

Figuur 6
Toon daarna via algebraïsch rekenwerk aan dat a² = b² + c². Gebruik hiervoor het vierkant met zijde b + c.

Opdracht 4c

Leg uit aan de hand van figuur 7 hoe het bewijs van James Garfield in elkaar zit, m.a.w. hoe bewijs je hiermee via algebraïsch rekenwerk dat a² = b² + c² ?



Figuur 7


5 Bewijs van Henry Perigal (1801 – 1898)
Henry Perigal was een Engelse amateur-wiskundige die een elegant ‘dissectiebewijs’ vond voor de stelling van Pythagoras. Hij slaagde erin met vijf puzzelstukjes een bewijs te geven dat je o.a. kan vinden is op http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml (figuur 8).

Figuur 8
Zoals je op figuur 8 ziet, wordt hiervoor het vierkant op de grootste rechthoekszijde in vier gelijke stukken verdeeld. Hiervoor tekent men de rechte die door het midden van dat vierkant gaat en evenwijdig is met de schuine zijde van de rechthoekige driehoek. Daarna tekent men ook de loodlijn op die rechte door het midden van het vierkant.


Precies wegens de symmetrie in de figuur wordt dit door heel wat wiskundigen als het mooiste bewijs van de stelling van Pythagoras aanzien.


  1. Het eenvoudigste bewijs?

We geven hieronder een heel eenvoudig bewijs dat steunt op de grondformule van de goniometrie.


Stel dat ΔABC een rechthoekige driehoek is met , .


90°

Dan is


Q.E.D.
Opdracht 5

Waarom is dit geen correct bewijs voor de stelling van Pythagoras?


7 Met de P van Pythagoras
In het tijdschrift Pythagoras (www.pythagoras.nu) verscheen in 2007 een prijsvraag i.v.m. een pygrampuzzel, een variante op de welbekende tangrampuzzel. Hiervoor wordt de letter P in negen stukjes verdeeld zoals op figuur 9 is aangegeven.

Figuur 9
We nemen aan dat de drie kleinste puzzelstukjes gelijkbenige rechthoekige driehoekjes zijn waarvan de rechthoekszijden lengte 1 hebben. Dan kan je met behulp van de negen puzzelstukjes de stelling van Pythagoras ‘bewijzen’ voor een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden lengte 1 en hebben. Het bewijs zie je op figuur 10.


Figuur 10

8 + 1 = 9

(met dank aan collega Odette De Meulemeester)



We danken collega Gino Houtekier voor het idee en de uitwerking van enkele figuren die in deze tekst zijn opgenomen.





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina