Deelgebieden van de wiskunde Een veel gemaakt onderscheid in de wiskunde is dat tussen



Dovnload 216.48 Kb.
Pagina1/3
Datum17.08.2016
Grootte216.48 Kb.
  1   2   3
Deelgebieden van de wiskunde
Een veel gemaakt onderscheid in de wiskunde is dat tussen zuivere, of theoretische, en toegepaste wiskunde. Een strikte scheiding tussen deze gebieden is moeilijk aan te geven. De theoretische wiskunde wordt verondersteld deelgebieden als algebra, getaltheorie en topologie te omvatten, terwijl de toegepaste wiskunde bestaat uit onder andere numerieke wiskunde, cryptografie en de studie van differentiaalvergelijkingen.

Hieronder volgt een lijst met deelgebieden van de wiskunde.



Abstractie en Deductie:
Abstractie: komt van het Latijnse woord abstrahere, weglaten. Abstractie is het weglaten van alle niet essentiële informatie of aspecten om meer fundamentele structuren zichtbaar te maken. Bijvoorbeeld voor het natuurkundig beschrijven van de baan van een planeet beschouw je de planeet als een puntmassa; je abstraheert alle eigenschappen van de planeet behalve de massa.
Deductie: een methode in de filosofie en in de logica, waarbij een gevolgtrekking wordt afgeleid vanuit of volgt uit het algemene naar het bijzondere - van de algemene regel (major-premisse) naar de bijzondere regel (minor-premisse) of waar de verzameling van premissen en de negatie van de conclusie inconsistent zijn.


voorbeeld:




Major-premisse (algemene regel)

Alle mensen zijn sterfelijk.

Minor-premisse (bijzondere regel)  

Socrates is een mens.

Conclusie:

Socrates is sterfelijk.

Een deductieve redenering noemt men ook een syllogisme. Tegenover deductie staat inductie.



Algebra
(van het Arabische woord al-djabr dat hereniging, verbinding of vervollediging betekent) is dat deel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden. Het Nederlands stelkunde dat Simon Stevin probeerde in te voeren, werd nooit helemaal aanvaard. Het vakgebied is een veralgemening van wat als rekenen bekend staat.

De algebra kan worden onderverdeeld in:


Elementaire algebra: bestudeert de eigenschappen van reële getallen, en gebruikt symbolen om constanten en variabelen aan te duiden. Ook de regels die gelden voor uitdrukkingen en vergelijkingen met deze symbolen worden bestudeerd.
Abstracte algebra: bestudeert algebraïsche structuren zoals lichamen (Ned. term; in België: velden), groepen en ringen.
Lineaire algebra: bestudeert vectorruimtes.
Universele algebra: bestudeert de algebra die van toepassing is op alle deelgebieden.
Computeralgebra: bestudeert algoritmen voor symbolische manipulatie van wiskundige objecten.
Daarnaast wordt het woord algebra ook gebruikt om sommige soorten wiskundige objecten te benoemen: zie algebra (structuur).

Algoritmen
Een algoritme is een eindige reeks instructies om vanuit een gegeven begintoestand het daarbij behorende doel te bereiken. Dat doel kan van alles zijn met een herkenbare eindsituatie, eindpunt of resultaat. De instructies kunnen in het algemeen omgaan met eventualiteiten die bij het uitvoeren kunnen optreden. Algoritmen hebben in het algemeen stappen die zich herhalen (iteratie) of die beslissingen (logica of vergelijkingen) vereisen om de taak te voltooien.

Onderdelen: Turingmachines, Lambdacalculus, complexiteitstheorie, …



Analyse
Een tak van de wiskunde, ontwikkeld uit de rekenkunde en de meetkunde. De analyse houdt zich bezig met het bestuderen van functies van reële en complexe getallen. Met name gaat het hierbij om de mate van verandering binnen functies, zoals versnellingen, curves en hellingen. De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven. Ook Barrow, Descartes, de Fermat en Huygens hebben eraan gewerkt. Het middelpunt van de analyse vormen de afgeleiden, integralen en limieten. Een van de belangrijkste redenen om analyse te ontwikkelen was om het raaklijnprobleem op te lossen.

"Analyse" wordt ook wel aangeduid met de Engelse term "calculus" of met de term "differentiaal- en integraalrekening".

Deelgebieden:

De wiskundige analyse wordt tegenwoordig onderverdeeld in de volgende deelgebieden:


Reële analyse: die betrekking heeft op eigenschappen, afgeleiden en integralen van reële functies. Hieronder valt het bestuderen van limieten, machtreeksen en de theorie van maten.
Complexe analyse: die zich bezighoudt met functies van het complexe vlak naar zichzelf die complex differentieerbaar zijn.
Analyse van differentiaalvergelijkingen: die zich bezighoudt met de relatie tussen (vergelijkingen met) afgeleiden van functies en de functies zelf.
Functionaalanalyse: die ruimten van functies bestudeert en waarin gebruik gemaakt wordt van onder andere Banach- en Hilbertruimten.
Harmonische analyse: het bestuderen van Fourierreeksen en generalisaties daarvan.

Niet-standaard analyse, die de hyperreële getallen en functies daarvan bestudeert en een formele definitie geeft van oneindig kleine en oneindig grote getallen.

Asymptoten en Limieten
Asymptoten: betekent eigenlijk niet samengevallen en is afgeleid uit het Grieks. Een asymptoot van een functie is in het algemeen een eenvoudige kromme (vaak een rechte) die de beeldlijn van deze functie willekeurig dicht nadert (dat betekent nog niet per se dat de functie en haar asymptoot geen enkel punt gemeen hebben). Zo is de vergelijking van de horizontale asymptoot van de orthogonale hyperbool y = 0. De meest voorkomende typen asymptoten:

de horizontale asymptoot: y = a

de verticale asymptoot: x = b

de schuine asymptoot: y = a*x + b


Hierbij zijn a en b constanten. Men kan dit uitbreiden tot een willekeurige functie met asymptotisch gedrag. Men noemt ze over het algemeen asymptotische krommen.
Limieten: Het woord limiet is afkomstig van het Latijnse "limes", dat "grens" betekent. Men kan de limiet berekenen van een rij, een reeks, een functie, …

Besliskunde
Operations Research (of Operationeel Onderzoek) (ook wel besliskunde, management science of OR genoemd) is een richting binnen het vakgebied van de econometrie, en vindt ook veel toepassingen binnen de ingenieurswetenschappen.

Het doel van Operations Research is het toepassen van wiskundige technieken en modellen om processen binnen organisaties te verbeteren of te optimaliseren. De meeste toepassingsgebieden zijn te vinden in het bedrijfsleven of binnen de non-profitsector.


Indeling van de wiskundige OR (niet volledig):
- Unicriteria technieken:

Lineaire programmering

Interior point technieken

Mixed Integer Lineair programmering

Branch and Bound

Kwadratisch programeren

Algemene niet-lineaire optimalisering

Concave optimalisering

- Multicriteria technieken:

Lexicografische technieken

Parametische techieken

Nutsfunctietechnieken

Wegingen

Interactieve technieken

Doelprogramering

Outranking

- Dynamisch programmeren

- Stochastisch programmeren (Martingales, Markov,...)

- Speltheorie

Spelen tegen de natuur

Spelen tegen tegenstander

- Netwerkanalyse

Overspanning

Hamiltoniaans pad

Euleriaans pad

Paringsproblemen

- Systeem dynamica

- Resource Allocation (Pert,...)



Booleaanse logica
In de wiskunde (in de abstracte algebra) en in de computerwetenschappen is een Booleaanse algebra of Boole-algebra een algebraische structuur, een formalisme met de logische operatoren AND (en), OR (of) en NOT (niet). Deze operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen doorsnede, vereniging en complement uit de verzamelingenleer.

Chaostheorie
Een theorie die de mogelijkheid biedt om een wiskundige vorm te geven aan schijnbaar onvoorspelbare gebeurtenissen. Vroeger dachten wetenschappers dat fysieke systemen die onvoorspelbaarheid vertoonden, alleen maar zo leken vanwege ofwel hun ingewikkeldheid, ofwel door de verscheidenheid van de factoren die veranderingen in die systemen teweegbrachten. Met de ontwikkeling van de systeemtheorie is men gaan beseffen dat dit niet waar is, vooral als de onderdelen van het stelsel elkaar op niet-lineaire wijze beïnvloeden.

Begin jaren 1990 was de theorie zover gevorderd dat men een wiskundige analyse van willekeurigheid kon bieden die kon worden gebruikt om de onvoorspelbaarheid te verklaren in allerlei stelsels, bijvoorbeeld fysieke of sociale systemen. Een voorbeeld van de verschijnselen waarmee de chaostheorie zich bezighoudt, is het feit dat het mogelijk is (weliswaar met een kleine kans) dat de vleugelslag van een vlinder de basis vormt van iets dat uitgroeit tot een orkaan. Zie ook het artikel vlindereffect.

Andere voorbeelden van deels "chaotische" structuren zijn fractalen en vreemde aantrekkers.
Fractalen: een meetkundig figuur dat op elke schaal onregelmatig is. Fractals hebben een oneindige hoeveelheid details, en bij sommige fractals komen motieven voor die zich op steeds kleinere schaal herhalen. Doorgaans kunnen fractals gegenereerd worden door het herhaald toepassen van een bepaalde bewerking. De term fractal werd gemunt in 1975 door Benoît Mandelbrot, afgeleid van het Latijnse fractus (gebroken).

Wiskundige objecten met fractale eigenschappen werden eind 19e en begin 20e eeuw ontdekt door wiskundigen als Karl Weierstrass, Helge von Koch, Georg Cantor, Henri Poincaré en Gaston Julia. De fractal meetkunde is de tak van wiskunde die zich bezig houdt met de eigenschappen van fractals. Het is een aanvulling op de klassieke meetkunde, met toepassingen in wetenschap, technologie en computerkunst.



De bekendste fractals zijn de Mandelbrotverzameling en de Juliaverzameling.

Vreemde aantrekkers: Eng: strange attractor) is een wiskundig begrip dat voor het eerst genoemd werd in een publicatie van 1971 van de wiskundigen David Ruelle en Floris Takens. Het begrip wordt gebruikt bij de beschrijving van deterministische niet-periodieke bewegingen van een chaotisch systeem en is daarmee een belangrijk begrip in de systeemtheorie.

Coderingstheorie
Niet te verwarren met cryptografie, is een onderdeel van de informatietheorie dat zich richt op het toevoegen van redundantie aan gecodeerde informatie, waardoor het beter beschermd is tegen mogelijke fouten die kunnen optreden tijdens transport over een onbetrouwbaar kanaal.

Combinatoriek: Combinatie - Permutatie - Variatie - Magische vierkanten
Een tak van de wiskunde. In de combinatoriek bestudeert men eindige verzamelingen van objecten die aan gespecificeerde eigenschappen voldoen. In het bijzonder houdt men zich bezig met het "tellen" van objecten in deze verzamelingen en het bepalen of er zekere "optimale" objecten in een verzameling aanwezig zijn.

Complexe getallen en Complexe functies
Complexe getallen: zijn ontstaan uit de behoefte oplossingen te hebben van alle (algebraïsche) vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm x² = c voor negatieve getallen c. Het bleek voldoende een denkbeeldige (imaginaire) oplossing, aangeduid met i (van "impossibele", onmogelijk) te definiëren van de vergelijking x² = − 1. Men stelde dus: deze vergelijking heeft per definitie een oplossing, en deze oplossing wordt i genoemd. Door de reële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal i, waarmee verder op de normale manier gerekend wordt, ontstaat de verzameling van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met i vanzelf ook alle veelvouden bi van i en bestaat daarmee uit alle uitdrukkingen van de vorm a + bi waarin a en b reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.
Complexe functies: complexwaardige functie van een complexe variabele, dus een functie


waarvan het definitiegebied D een deelverzameling is van de complexe getallen (). Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd:
,
waarin u en v reëelwaardige functies zijn van twee reële variabelen. Bij complexe functies hoort complexe analyse, zoals reële analyse hoort bij reële functies.

Cryptografie
Houdt zich bezig met technieken voor het zodanig versleutelen van te verzenden informatie, dat het voor een cryptoanalist, een persoon die toegang heeft tot het kanaal tussen zender en ontvanger, en dus als het ware 'mee kan luisteren', onmogelijk is om tegen aanvaardbare inspanning uit de getransporteerde data af te leiden welke informatie er door de zender was verzonden. Cryptografie wordt voornamelijk gebruikt om gegevens over te dragen die onderweg niet leesbaar mogen zijn door andere partijen. Enkel de zender en ontvanger beschikken over de juiste sleutel om de gegevens terug om te zetten in hun originele vorm. De term 'Cryptografie' is afgeleid van het Griekse kruptos (verborgen) en graphein (schrijven).
Indeling cryptografische algoritmen

In de cryptografie kan men de volgende indeling maken:



  • Steganografie: het verbergen van de boodschap (geen echte cryptografie)

  • Cryptografie

    • Handcijfers

      • Transpositiecijfer: het verwisselen van letters of lettergroepen

      • Substitutiecijfer: het vervangen van letters of lettergroepen

        • Monoalfabetische substitutie

          • Rotatievercijfering van Caesar: alfabetrotatie en het speciaal geval Rot13

          • Homofone substitutiecijfer

          • Playfair

          • Double Playfair

        • Polyalfabetische substitutie

          • Vigenèrecijfer

      • Combinaties van substitutie en transpositie

        • ADFGVX

        • Bifid

        • Trifid

    • Elektromechanische cijfers

      • Enigma

      • Lacida

      • Lorenz-machine

    • Computercijfers

      • DES, zie ook Data Encryption Standard

      • 3DES-encryptiealgoritme (triple DES)

      • Diffie-Hellman-encryptiealgoritme

      • RSA-algoritme

      • IDEA-algoritme

      • Twofish-encryptiealgoritme

      • Blowfish-encryptiealgoritme

      • Rijndael-encryptiealgoritme (een beperking van Rijndael staat bekend als Advanced Encryption Standard)

Moderne versleutelingmethodes (met de computer) zijn verder in te delen in twee groepen:

  1. Symmetrische cryptografie heeft als voordeel dat deze relatief snel kan worden uitgevoerd, maar als nadeel dat beide eindpunten in het bezit moeten zijn van de zelfde sleutel. Deze sleutel wordt zowel voor de encryptie als decryptie gebruikt. Het grote probleem van deze methode is de vraag hoe deze sleutel op een veilige manier kan worden uitgewisseld.

  2. Asymmetrische cryptografie heeft als voordeel dat met een geheime en een publieke sleutel wordt gewerkt. De geheime sleutel hoeft niet uitgewisseld te worden, terwijl de publieke sleutel algemeen bekend is. Het nadeel is echter dat deze methode (rekentechnisch) relatief traag is, en dat voor het gebruik dus een computer onontbeerlijk is.

In de praktijk wordt veelal een hybride systeem toegepast. De bulk van de communicatie wordt uitgevoerd met symmetrische encryptie. De sleutel die daarvoor benodigd is wordt uitgewisseld met asymmetrische encryptie.

Differentiaalmeetkunde
Een tak van de wiskunde die gekromde ruimten onderzoekt. Daarbij gaat de meeste aandacht naar het begrip afstand. Oorspronkelijk bestudeerde men differentieerbare krommen en oppervlakken in de driedimensionale reële ruimte.

Differentiaaltopologie
Differentiaaltopologie onderzoekt eigenschappen van "gladde" ruimten die ongewijzigd blijven bij "gladde" (d.w.z. onbeperkt differentieerbare) vervormingen. Ze onderscheidt zich daarmee enerzijds van de differentiaalmeetkunde, die slechts afstandbewarende transformaties (isometrieën) toelaat, en anderzijds de topologie, die willekeurige continue vervormingen toelaat.

Differentiaalrekening - Differentiaalvergelijkingen
Differentiaalrekening: Differentiaalrekening is een wiskundige rekenmethode voor het vaststellen van de veranderingen die grootheden ondergaan als er bij samenhangende grootheden oneindig kleine veranderingen (differenties) optreden. Integraalrekening en differentiaalrekening worden samen wel omschreven als hogere wiskunde.
Differentiaalvergelijkingen: Een differentiaalvergelijking (afk.: DV) is een wiskundige vergelijking voor een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen. Betreft het een functie van meer dan een veranderlijke, dan zijn het de partiële afgeleiden die in de vergelijking voorkomen en spreken we van een partiële differentiaalvergelijking.

Een oplossing van een differentiaalvergelijking is een functie die aan deze relatie voldoet. In het algemeen is een oplossing niet uniek.

In de natuurkunde en de toepassingen daarvan in de techniek komen verschijnselen voor die niet expliciet beschreven worden door een functie, maar impliciet door een relatie tussen een functie en een of meer van z'n afgeleiden, dus door een differentiaalvergelijking.

Discrete wiskunde
Discrete wiskunde is de studie van wiskundige structuren die au fond discreet zijn, dat wil zeggen dat er gehele, los van elkaar staande zaken bekeken worden. Hiermee onderscheidt de discrete wiskunde zich van de continue wiskunde, zoals analyse. De meeste objecten die bestudeerd worden binnen de discrete wiskunde zijn aftelbare verzamelingen, zoals de natuurlijke getallen.

De afgelopen decennia is de discrete wiskunde vooral opgekomen binnen de informatica omdat onderwerpen uit de discrete wiskunde en de daarbijbehorende notaties erg nuttig zijn om zaken en concepten uit te drukken met betrekking tot computeralgoritmes en programmeertalen. Daarom wordt in de meeste informaticaopleidingen ook de nodige aandacht besteed aan discrete wiskunde.



Elementaire rekenkundige bewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, etc.

Functies en Functieanalyse
In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie f is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde f(x) is van het argument x.

Speciale functies (bv. de Betafunctie)
Binnen de wiskunde zijn er diverse speciale functies die veelal gedefinieerd zijn als de ontbrekende schakel in de oplossing van een bepaald analytisch vraagstuk. Dit vraagstuk vindt vaak zijn oorsprong in de techniek; om die reden is het van belang dat een technicus behalve de mathematische definitie van een dergelijke functie, ook concrete functiewaarden ter beschikking heeft. Daarom zijn vele speciale functies ook nauwkeurig getabelleerd (x versus f(x)).

De belangrijkste speciale functies zijn:

Betafunctie

Besselfunctie

Elliptische functies

Errorfuncties

Gammafunctie

Hypergeometrische functie

Legendrefunctie

Riemann-zetafunctie

 
Functionaalanalyse
Oorspronkelijk is functionaalanalyse: de wiskundige analyse (meer bepaald de differentiaalrekening) toegepast op functies van functies. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen van de variatierekening. Het gaat er daarbij om, een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt.
In de hedendaagse wiskunde betekent de term functionaalanalyse: studie van topologische vectorruimten. Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, meestal oneindigdimensionaal, voorzien van een topologie die voldoet aan de Hausdorff-eigenschap (zie ook scheidingsaxioma) en die compatibel is met de gewone vectorbewerkingen; dat wil zeggen dat de optelling van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging van een getal met een vector, continue functies zijn. De meeste "natuurlijke" functieverzamelingen kunnen worden opgevat als topologische vectorruimten. Het begrip distributie, uitgevonden door Paul Dirac en geformaliseerd door Laurent Schwartz, geeft aanleiding tot een topologische vectorruimte die geen functieruimte is (waarvan de vectoren geen gewone functies zijn).

De systematische studie van topologische vectorruimten nam een hoge vlucht sinds de jaren 1930, mede onder invloed van een groep wiskundigen onder leiding van Stefan Banach. Belangrijke begrippen zijn Banachruimte (een vectorruimte met een volledige norm) en Hilbertruimte (een Banachruimte waarvan de norm afkomstig is van een scalair product).

Thans is een goed begrip van onder meer de kwantummechanica onmogelijk zonder een grondige studie van de eigenschappen van topologische vectorruimten.



  1   2   3


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina