Driehoek Magie (meer dan zomaar leuk)



Dovnload 47.45 Kb.
Datum24.07.2016
Grootte47.45 Kb.


Driehoek Magie
(meer dan zomaar leuk)


Mijn leeftijd zit verstopt in de magische driehoeken.

Hoe oud ben ik ?


Leo Prinsen, januari 2006




Regelmatige wiskundige figuren en lichamen kunnen gecombineerd worden met reeksen getallen. Die combinatie levert een bijzonder soort wiskundig toverwerk op.

Naarmate de figuren en de reeksen in

bijzonderheid toenemen, neemt ook de

magische uitstraling toe. Soms is dat

historisch bepaald zoals bij het Magisch

Vierkant.




Bij Driehoek Magie draait het om

de basisfiguur hiernaast en om reeksen

van zes getallen die de plaatsen van

de kruisjes innemen.


Figuur en reeksen spelen samen een

magisch spel dat lijkt op dat wat er

plaatsvindt bij Magische Vierkanten.
Toch is er sprake van geheel eigen toverwerk dat past bij de bijzondere combinatie van driehoeken in de figuur.


Na verkenning van de basisfiguur kunnen complexere figuren leiden tot nog meer toverwerk.

De onderste figuur van het voorblad is daar een voorbeeld van.
In het volgende beschrijf ik enkele activiteiten die mogelijk zijn bij Driehoek Magie, zowel voor Wiskunde als voor Rekenen en ik beperk me tot de basisfiguur.

Het gaat dan in eerste instantie om de eigenschappen van de magische basisdriehoek en van de reeks getallen. Daarna krijgt het rekenaspect de overhand en vooral het oplossen van problemen met één, twee of drie onbekenden.


In drie proefreeksen heb ik voorbeelden gemaakt van opdrachten. Ze zijn moeiteloos te variëren en aan te passen. Het is mogelijk om een aangepaste selectie daarvan voor te schotelen aan de leerlingen. Er is dan wel sprake van duidelijke sturing.1

Magische Figuren lenen zich daarnaast ook goed voor een meer open, onderzoeksachtige benadering.


Driehoek Magie


De zes getallen en de figuur

vormen een magisch geheel.


Ze verbergen drie magische

getallen die horen bij de figuur


Probeer die getallen

te vinden.


A1

In beide gevallen is een groepsgewijze introductie van de basisfiguur noodzakelijk.

Het speurwerk naar de drie magische getallen kan het beste samen ondernomen worden.


Misschien wil je even zelf speuren voordat je doorleest !

Het eerste en meest traditionele magische getal in de figuur hierboven is 75. Dat is gekoppeld aan de zijden van de grote driehoek en komt driemaal voor. Ik noem het getal voor het gemak M-lijn.

Het tweede magische getal is 105, komt ook driemaal voor en is gekoppeld aan de kleine driehoeken die de punten vormen van de figuur. Ik geef het de naam M-Δ

Het derde magische getal is 30. Daarbij gaat het niet om een som maar om een verschil, namelijk het verschil tussen de getallenparen (5, 35) – (17, 47) – (23, 53). Bij het rekenwerk komt dit verschil positief of negatief naar voren. De naam is M-ver.



Driehoek Magie

Er is nog een getal dat bij

de figuur hoort.


Dat is de som van de zes

zichtbare getallen.


Bereken die zes-som.
A2




Daarnaast is er nog een vierde

getal dat verbonden is met de

magische driehoek, namelijk de

som van de zichtbare getallen.

Ik heb die som de naam zes-som

meegegeven.
De belangrijkste relaties tussen

de vier getallen zijn:

Zes-som = M-Δ + M-lijn,

M-ver = M-Δ – M-lijn,

(of M-ver = M-lijn - M-Δ).

Ik heb ervoor gekozen om in de proefreeksen deze formuletaal niet te gebruiken. Alleen het begrip zes-som komt erin voor. Leerlingen die het gewend zijn en/of het leuk vinden, kunnen natuurlijk altijd hun eigen formuletaal bij de basisfiguur ontwerpen.



Oriëntatie op de magie
De opdrachten A1 en A2 op blz. 3 vormen het begin van proefreeks A waarbij oriëntatie op de magische driehoek centraal staat. Ik verwacht dat leerlingen zelf of samen allerlei verbanden ontdekken en ook ‘handig’ leren kijken naar de figuur zodat ze in één oogopslag zien of er sprake is van magie of niet.

Driehoek Magie

Is deze figuur magisch?
Zo ja, wat zijn dan de drie

magische getallen en de

zes-som.

A5



Ook verwacht ik dat leerlingen ontdekken waarom een reeks wel of niet in het bezit is van magische kracht.


Driehoek Magie


De volgende zes getallen

bezitten helaas geen magische

kracht.
12, 20, 30, 38, 41, 60
Verander één getal en tover

de magische kracht

tevoorschijn.
A8





Bij proefreeks B staan de eigenschappen van deze magische reeksen centraal.

Het gaat dan speciaal om rekenkundige reeksen die supermagisch blijken te zijn.

Bij oriëntatie hoort ook het zelf bedenken van magische driehoeken, al dan niet via een systematische aanpak.


Driehoek Magie

Bedenk getallen die de figuur

magisch maken.


Verstop jouw leeftijd in

één van de magische

getallen.

A11






Eigenschappen en magische kracht van de reeksen van zes

In proefreeks B wordt dit uitgewerkt.

Het magische getal M-ver speelt hierbij een centrale rol. Elke reeks waarbij de zes getallen zijn te ordenen in drie getallenparen met hetzelfde verschil, bezit magische kracht. Dat is al bij proefreeks A naar voren gekomen. Het blijkt dat zo’n reeks genoeg magische kracht heeft voor in elk geval twee magische driehoeken. Die vormen een soort tweeling.
Voorbeeld: de reeks 5, 15, 25, 30, 40, 50 brengt de getallenparen (5, 30) – (15, 40) – (25, 50) voort. En die kunnen op twee manieren geplaatst worden. Zie de tweeling hieronder.


In het geval van een rekenkundige reeks leidt de magische kracht zelfs tot een vierling.



Driehoek Magie


De driehoek hiernaast is er een

van een magische vierling.


Probeer de andere drie te

vinden.
Bepaal hun magische getallen.

B6







Onderzoeksvragen:
Misschien zijn er leerlingen die liever zelf op speurtocht gaan nadat ze het magisch principe snappen. Die kunnen dat doen aan de hand van vragen zoals de volgende:


  1. Waar moeten reeksen aan voldoen om magische driehoeken te kunnen vormen ?

  2. Kunnen reeksen verschillen in magische kracht ?

  3. Wat is het kleinste magische getal dat je kunt maken, als je je beperkt tot de natuurlijke getallen ?

  4. Kun je met supermagische reeksen (rekenkundige reeksen) alle magische getallen tot 100 maken ?

  5. Kun je bij een gegeven getal, bijvoorbeeld jouw gewicht, een bijpassende supermagische reeks bedenken ?


Driehoek Magie en rekenen

In proefreeks C staat rekenen centraal. Rekenen binnen de verzameling natuurlijke getallen is al aan bod gekomen bij de proefreeksen A en B en kan uitgebreid worden naar negatieve – en gebroken getallen. Vooral voor rekenen met negatieve getallen lijkt Driehoek Magie een aardige context.


Driehoek Magie

Vervang het vraagteken

door het getal dat de

driehoek magisch maakt.
Bepaal de magische

getallen.

C2

De meeste aandacht gaat uit naar het achterhalen van één of meer onbekenden. Die kunnen ten tonele verschijnen in de vorm van een vraagteken of van een letter.


Driehoek Magie

Vervang de letters x en y door

de getallen die de driehoek

magisch maken.
Bepaal de magische

getallen.

C5



Deze letterproblemen kunnen op verschillende niveaus worden opgelost:



  1. Zomaar wat proberen,

  2. Iets proberen en de gevolgen van die actie doordenken,

  3. Rekenend redeneren en redenerend rekenen,

  4. Vergelijkingen in de strijd werpen.

Je mag zelf even aan de bak (op of onder eigen niveau) met de voorbeelden op de volgende bladzijde.


Driehoek Magie


Vervang de letters x en y door

de getallen die de driehoek



supermagisch maken.
Bepaal de supermagische

getallen.


C8



Driehoek Magie


De zes-som is gelijk aan 1500.
Vervang de letters x, y en z door

de getallen die de driehoek

magisch maken.
Bepaal de magische

getallen.


C10






Driehoek Magie


De zes-som is gelijk aan 179.
Vervang de letters x, y en z door

de getallen die de driehoek

magisch maken.
Bepaal de magische

getallen.


C15







1 Materiaal waarbij de leerlingen ook behoorlijk gestuurd worden, kun je vinden in een publicatie van Jantine Bloemhof voor de Stichting Vierkant. Het betreft hier Wisschrift 1: Magische figuren (2001). Mooi materiaal met een bredere insteek, voor de betere leerling!






De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina