Eenheden: voorvoegsels



Dovnload 377 Kb.
Pagina1/4
Datum21.08.2016
Grootte377 Kb.
  1   2   3   4
Hoofdstuk 1: inleiding

------------------------------------------------------------------------------------------


Eenheden: voorvoegsels

yotta Y 1024 yocto y 1024

zetta Z 1021 zepto z 1021

exa E 1018 atto a 1018

peta P 1015 femto f 1015

tera T 1012 pico p 1012

giga G 109 nano n 109

mega M 106 micro μ 106

kilo k 103 milli m 103

hecto h 102 centi c 102

deca da 101 deci d 101
Basiseenheden

SI-stelsel:



grootheid eenheid afkorting

Lengte meter m

Tijd seconde s

Massa kilogram kg

Elektrische stroom ampère A

Temperatuur kelvin K

Hoeveelheid stof mol mol

Lichtsterkte candela cd



Hoofdstuk 2: kinematica in 1 dimensie

----------------------------------------------------------------------------------------


algemeen

* referentiestelsel vastleggen

* afstand: totaal afgelegde weg

verplaatsing: afstand vh voorwerp tov zijn beginpunt


Snelheid

*gemiddelde snelheid: afgelegde afstand

verstreken tijd

*gemiddelde vectoriële snelheid: verplaatsing

verstreken tijd

v = Δx

Δt

*momentane snelheid v = lim Δx v = dx



Δt -> 0 Δt dt
Versnelling

*gemiddelde snelheidsvector: verandering snelheidsvector

verstreken tijd

ā = Δv

Δt

*momentane versnelling a = lim Δv a = dv



Δt -> 0 Δt dt
Eenparig versnelde beweging

*Zoek verband(en) tussen x, v, a, t

*Begintijd: t0(= 0) ~> x0, v0

*Gemiddelde snelheid tussen t0 en t: v

v = dx/dt = (x − x0)/(t − t0) = (x − x0)/t

*Versnelling a

a = (v − v0)/t

~> v = v0 + at ~> x = x0 + vt

*Snelheid neemt gelijkmatig toe:

~> ¯v = v + v0

2
Eenparig versnelde beweging

*Zoek verband(en) tussen x, v, a, t

v = v0 + at x = x0 + ¯vt

*Snelheid neemt gelijkmatig toe:

¯v = (v0 + v)/ 2

~> x = x0 + ¯vt ~> x = x0 + ((v0+v)/2) . t ~> x = x0 + ((v0+v0+at)/2) . t

~> x = x0 + v0t + ½ at2

*t elimineren ~> x = x0 + ¯vt ~> x = x0 + ((v + v0)/2) . t

~> x = x0 + ((v + v0)/2) . ((v − v0)/a) ~> x = x0 +(v2 − v02)/2a

~> v2 = v02 + 2a(x − x0)


Algemene formules

  • v = v0 + at

  • x = x0 + v0 t + ½at²

  • v²= v0² + 2a(x – x0)

  • v = v + v0

2

  • x = x0 + ¯vt


Valbeweging/ omhooggegooide beweging

* g = 9.8m/s²

* oppassen met het teken van g (definieer assenstelsel (y) !!!)

Hoofdstuk 3: kinematica in 2 en 3 dimensies

Vectoren

-----------------------------------------------------------------------------


Scalairen

*grootte (bv. massa, tijd temperatuur … )


Vectoren

*grootte en richting (bv. Snelheid, versnelling, krachten …)

* Dr = D1 + D2

* |D1 - D2| ≤ Dr ≤ D1 + D2

*opsplitsen in componenten langs de assen

componentsgewijsoptellen : V = V1 + V2

Vx = V1x + V2x & Vy = V1y + V2y

*eenheidsvectoren: ex ey ez

V = Vx ex + Vy ey + Vz ez

V = (Vx)ex + (Vy)ey = V1 + V2 = (V1xex + V1yey) + (V2xex + V2yey)

= (V1x + V2x)ex + (V1y + V2y)ey
Inwendig product: A.B = A B cos θ (=scalair!!!)

* A.B = B.A

* A.(B + C) = A.B + A.C

* A.B = 0 A = 0 ; B = 0 ; A | B

* ex ex = 1

* ex ey = 0 ; exez = 0 ; eyez = 0

* A · B = (Axex + Ayey + Azez) · (Bxex + Byey + Bzez) = AxBx + AyBy + AzBz
Uitwendig product: C = A × B (=vector!!!)

* Grootte: C = |A × B| = AB sin θ

* Richting: Loodrecht op vlak A B ; Volgens rechterhandregel

* A × A = 0

* A × B = −B × A

* A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

* A = Axex + Ayey + Azez

B = Bxex + Byey + Bzez



A × B = ex ey ez

Ax Ay Az

Bx By Bz

= (AyBz − AzBy)ex + (AzBx − AxBz)ey + (AxBy − AyBx)ez


Kogelbaan

t = 0 : x0 = y0 = 0 & vx = vx0; vy0 = 0

ay = −g ~> vy = −gt

y = −½gt2

ax = 0 ~> vx = vx0

x = x0 + vx0t

Onafhankelijke beweging in x en y

Bereikt de grond op zelfde tijdstip als verticale val

*Kogelbaanvraagstukken

ax = 0 & ay = −g

vx0 = v0 cos θ0

vy0 = v0 sin θ0


op de top:

ay = −g

vy = 0 & vx = vx0
Horizontaal Verticaal

vx = vx0 + axt vy = vy0 + ayt

x = x0 + vx0t + ½axt2 y = y0 + vy0t + ½ay

vx² = vx0² + 2ax(x − x0) vy² = vy0² + 2ay(y − y0)

~~~~~> ~~~~>

vx = vx0 vy = vy0 - gt

x = x0 + vx0t y = y0 + vy0t - ½gt²

vx² = vx0² vy² = vy0² - 2g(y − y0)

* Bepaal het horizontaal bereik R van de kogel

y = y0 + vy0t + ½ay

0 = 0 + vy0t − ½gt²

~> t = 0 t = 2vy0/g

R = vx0t = vx0 (2vy0/g) = (2v0² sin θ0 cos θ0)/g = (v0²sin 2θ0)/g

* Maximale dracht: sin 2θ0 = 1

~> θ0 = 45°

Rm = v0²/g

* sin 2θ0 = (Rg)/v0²

Meestal 2 hoeken voor zelfde R

* Vorm van de baan

x = vx0t & y = vy0t − ½gt²

~> t = x/vx0

y = (vy0/vx0) x − (g/2vx0²)/x²

= Ax − Bx² ~> Parabool
Relatieve snelheid

Voorwerp beweegt t.o.v. referentiestelsel 1

Referentiestelsel 2 beweegt t.o.v. referentiestelsel 1

vvoorwerp.referentiestelsel

~>voorwerp t.o.v. referentiestelsel 2?

vBW & vWS & vBS (B=boot; W=water; S=stroming)

vBS = vBW + vWS

Hoofdstuk 4: dynamica: bewegingswetten van Newton

-----------------------------------------------------------------------------
Verband tussen krachten en beweging ~> Samengevat in wetten van Newton


  • Traagheidswet

  • F = ma

  • Actie = reactie


Traagheidswet

* Elk voorwerp blijft in rust, of blijft in rechte lijn bewegen met constante snelheid, zolang er geen kracht op inwerkt

~> geldt enkel in een inertiaalstelsel (meestal: aarde = inertiaalstelsel)

* Gevolg 1ste wet: het kost “moeite” een voorwerp in beweging te brengen

een Voorwerp heeft traagheid tegen verandering van toestand

“Hoeveelheid traagheid” = Massa

Massa ≠ gewicht

2de wet van Newton

* a = ∑F /m

∑F: nettokracht / resulterende kracht:


  • Som van alle inwerkende krachten

  • Vector

  • Eenheid: N (newton) ; 1 N= 1 kg·m/s2

m: massa & Eenheid: kg

~> Enkel geldig in inertiaalstelsels

~> Laat bepaling van massa toe t.o.v. standaardkilogram
Actie = reactie

*Als voorwerp een kracht uitoefent op tweede voorwerp dan oefent tweede voorwerp een gelijke, tegengestelde kracht uit op eerste voorwerp


2de + 3de wet van Newton


Som van alle krachten = 0 ~> Hoe in beweging?

Werken op verschillende voorwerpen!

Assistent versnelt voorwaarts als FAG > FAS

Slede versnelt als FSA > FSG

Gewicht

*Zwaartekracht veroorzaakt g : FG = mg



  • mg: gewicht (N)

  • m: massa (kg)

Voorwerp in rust: zwaartekracht tegengewerkt door contactkracht

Als | : normaalkracht FN ;FN is niet reactiekracht

*Normaalkracht


Doos in rust: ∑Fy = 0 FN = gewicht + 40, 0 N FN = gewicht + 40, 0 N

FN = gewicht



Krachtendiagram

  • Teken alle krachten die op het voorwerp inwerken

  • Enkel translatie: alle krachten grijpen aan in middelpunt voorwerp (niet bij rotatie, statica)

* Helling


Kies x-as langs helling

y-richting: Fy = may

FN − mg cos θ = 0 ~> FN = mg cos θ

x-richting: Fx = max

mg sin θ = ma ~> a = g sin θ


Hoofdstuk 5: wetten van newton: wrijving, cirkelvormige beweging,

weerstandskrachten

-----------------------------------------------------------------------------




Wrijving

* Bij beweging: kinetische wrijving

Fwr = μkFN

Fwr | FN

* Geen beweging: statische wrijving

Fwr ≤ μSFN

|Fwr| = |FA|

* Gemakkelijker iets in beweging te houden dan te krijgen

* vb. : skiër ~> Skiër daalt af met constante snelheid

FGx = mg sin θ

FGy = mg cos θ

∑Fy = FN − mg cos θ = 0

∑Fx = mg sin θ − μkFN = 0

~> mg sin θ − μkmg cos θ = 0

~> μk = tan θ
Cirkelvormige beweging


  • Rechtlijnige baan als:

geen (netto)kracht op voorwerp

(netto)kracht || bewegingsrichting



  • Anders: gekromde baan:

Kogelbaan (parabool)

cirkelvormige baan


Eenparig cirkelvormige beweging

* Constante grootte van snelheid

a = lim Δv/Δt = dv/dt

Δt->0


centripetale (radiale) versnelling aR

* Centripetale versnelling

Gelijkvormige driehoeken

~> Δv/v ≈ Δl/r

~> Δv ≈ (v/r) Δl

aR = lim Δv/Δt

t->0

= lim (v/r)(Δl/Δt) = (v/r) v = v²/r



t->0

aR = v²/r

Periode T, frequentie f : T = 1/f

v = 2πr / T


Dynamica cirkelbeweging

Centripetale kracht: ∑FR = maR = mv² / r

Kracht op voorwerp

Geen centrifugale kracht


Voorbeelden

* Horizontale cirkelbeweging



  • Bal met massa m = 0, 150 kg

  • aan touw r = 0, 600 m

  • 2, 00 omwentelingen/s (T = 0, 500 s)

  • Verwaarloos mg

horizontale kracht op bal ?

v = 2πr / T = (2π)(0, 600 m) / 0, 500 s = 7, 54 m/s

FT = m . v²/r = (0, 150 kg) . (7, 54 m/s)²/(0, 600 m) ≈ 14 N

* Verticale cirkelbeweging



  • Bal met massa m = 0, 150 kg

  • aan touw r = 1, 10 m

minimumsnelheid v1 ?

trekkracht als v2 = 2v1 ?

(∑F)R = maR

FT1 + mg = m . v1²/r

FT1 = 0

v1 = √(gr) = √((9, 80 m/s²)(1, 10 m)) = 3, 283 m/s

FT2 + mg = m . v2²/r

FT2 = m . v2²/r + mg = (0, 150 kg) ((6, 566 m/s)²/(1, 10 m) + 9, 80 m/s²) = 7, 35N

* Conische slinger


  • Bal met massa m

  • slingert rond r = l sin

versnelling ?

snelheid en periode ?

Krachten op bal:

mg en FT = FT sin θex + FT cos θey

Geen verticale beweging: ~> FT cos θ = mg

Versnelling = aR = FT sin θ/m

FT cos θ − mg = 0 FT sin θ = m . v²/r

v = √(rFT sin θ /m) = √(lg sin² θ /cos θ)

T = 2πl sin θ /v = 2π √(l cos θ /g)




Bochten nemen

Centripetale kracht: wrijving tussen



banden en wegdek

Normaal: statische wrijving

Slippen: kinetische wrijving


  • m = 1000 kg

  • r = 50 m

  • v = 15 m/s = 54 km/u

  • μs = 0, 60

FN = mg = (1000 kg)(9, 80 m/s2) = 9800 N

(∑F)R = m . v ²/r = (1000 kg) . (15 m/s)²/(50 m) = 4500 N

(Fwr)max = μsFN = (0,60)(9800 N) = 5880 N
Komhoek

Wanneer wrijvingsloos ?

Geen verticale beweging: FN cos θ = mg

FN sin θ = m . v²/r

(mg/cos θ) . sin θ= m . v²/r

~> tan θ = v²/(rg)

Hoofdstuk 6: De zwaartekracht & de synthese van Newton

-----------------------------------------------------------------------------


Zwaartekracht: Newton

* Zwaartekracht overal verticaal

~> uitgeoefend door aarde zelf

Zwaartekracht op maan: aR = 1/3600g

Maan 60× verder dan straal aarde

~> F ~ 1/r²

Zwaartekracht ~ m

Actie = reactie

~> symmetrisch in beide massa’s

F ~ (mAmB) /r²

* Zwaartekracht ook tussen zon en planeten?!

~> universele kracht: F = G m1m2 /r²

Werkt in de richting van kortste afstand tussen m1 en m2

G = 6, 67 · 10−11 N·m2/kg2

Voor puntvoorwerpen

Voor grote voorwerpen: integreren

Bol: alsof alles in middelpunt




Aarde, zon en maan

Aantrekkingskracht op maan?

FME = G MM . 5, 98 · 1024 kg = 1, 99 · 1020 N

(3, 84 · 108 m)2

FMS = G MM . 1, 99 · 1030 kg = 4, 34 · 1020 N

(1, 50 · 1011 m)²






Universele zwaartekracht

Kracht van 2 op 1

F12 = −G m1m2 ^r21

r21²




ˆr21 =r21 / r21

F21 = −F12 = G m1m2 ˆr21 = −G m1m2 ˆr12

r21² r12²

* “Vlak bij” aardoppervlak: mg = G mmA ~> g = G . mA

rA² rA²

~> Massa aarde: mA = grA² /G = (9, 80 m/s2)(6, 38 · 106 m)² = 5, 98 · 1024 kg

6, 67 · 10−11 N · m²/kg²


* Lokale verschillen: Hoogte , Rotatie aarde , Ondergrond (rotsen, olie, zoutkoepels …)




g: rotatie aarde

pool: mg − w = 0 ~> w = mg

evenaar: mg − w’ = m . v²/rA

g’ = w’/m = g − v²/rA

v = 2πrA /1 dag = 2π(6, 38 · 106 m) /(24 × 60 × 60 s)

= 464, 0 m/s = 1670 km/u

g’ = g − 0, 0337 m/s²

~> gevolg: afplatting van de aarde


Satellieten

*Centripetale kracht = zwaartekracht door aarde

~> G mmA = m

r² r


~> G mA = v²

(rA + h)

* “Geostationaire” baan:

Hoogte ? , Snelheid ? , Snelheid op 200 km hoogte ?

G mA /r² = v²/r = (2πr)² / rT²

~> r³ = GmAT² / 4π² = G(5, 98 · 1024 kg)(86 400 s)² / 4π² = (42 300 km)³

~> h = 36 000 km

v = √(GmA /r) = √(G(5, 98 · 1024 kg) /(4, 23 · 107 m)) = 3070 m/s

v ~ √(1/r)

v’ = v . √(r/r’) = (3070 m/s) . √((42 300 km)/(6380+200) km) = 7780 m/s






Schijnbare gewichtloosheid

(1) w − mg = 0 ~> w = mg

(2) in inertiaalstelsel (buiten lift)

w − mg = ma ~> w = mg + ma

(3) Lift in vrije val

w = mg − ma = 0

* Satelliet is voortdurend in vrije val “rond" aarde
Kepler

Wetten van Kepler: Experimenteel bepaald



  • Baan van planeet om zon is ellips

  • “Wet der perken" : In gelijke tijden, gelijke oppervlakken bestreken door lijn naar zon

  • Periode vs. afstand :

(T1/T2)²= (s1/s2)³ ~> s1³/T1² = s2³/T2² = = cte
Kepler en Newton

Aangetoond: wetten van Kepler volgen uit: wetten van Newton & universele zwaartekrachtwet

Alleen mogelijk als

F ~ 1/r²


G m1MS = m1 v1²

r1² r1

v1 = 2πr1 /T1

~> G m1MS = m1 4π²r1

r1² T1²

~> T1²/r1³ = 4π² / GMS = cte

*Massa zon: MS = 4π²rAZ³ = 2, 0 · 1030 kg

GTA²

* Kleine afwijkingen in baan planeten:

Saturnus: bewijs onderlinge aantrekking planeten

Uranus: ~> voorspelling/ontdekking Neptunus

Neptunus: ~> suggestie Pluto

Mercurius: algemene relativiteitstheorie

* Extrasolaire planeten


Lagrange-punt 1

J-L.Lagrange : 5 punten rond aarde waarbij T = 1 jaar

* L1: tussen aarde en zon

G MAMZ = MA = MA (2πRAZ)²

RAZ² RAZ RAZ

~> GMZ = 4π2RAZ

RAZ² T²

G MZ - GMA = 4π²(RAZ − d)

(RAZ − d)² d² T²

~> GMZ (1 − d )-2 - GMA = 4π²RAZ (1 − d )

RAZ² RAZ d² T² RAZ Reeksontwikkeling:

~> GMZ (1 + 2 d ) - GMA = 4π²RAZ (1 - d ) (1+x)n ≈ 1+nx (x << 1)

RAZ² RAZ RAZ

~> GMZ (1 + 2 d ) - GMA = GMZ (1 - d )

RAZ² RAZ d² RAZ² RAZ

GMZ + (3 d ) = GMA

RAZ² RAZ


~> d = ( MA )1/3 RAZ = 1, 5 · 106 km

3MZ



  1   2   3   4


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina