Errata en wijzigingen Relativiteitstheorie



Dovnload 43.92 Kb.
Datum27.08.2016
Grootte43.92 Kb.

Errata en wijzigingen Relativiteitstheorie




Toelichting


De oplettende lezers zullen ontdekt hebben dat er in het katern dat in mei 2015 als beoordelings­materiaal is toegestuurd enkele fouten zitten. Het gaat om tikfouten en ook een paar principiële fouten.

Bij het repareren hebben we tevens een paar teksten gewijzigd.

In de boekjes die als klassensets zijn besteld en naar de scholen gaan, zijn de errata verwerkt.
Scholen die met de boekjes in de klas gaan werken, krijgen voor de lesgevende docenten gratis gecorrigeerde boekjes.

Tikfouten en kleinigheden


p. 11 r 9 v.o.

16,3 jaar moet 16,6 jaar zijn.





p. 19 opgave 14

De hele opgave heeft een • gekregen.





p. 20 einde eerste blok inmiddelste kolom

langer moet korter zijn.





p. 22 opgave 23

c vervalt; d wordt:

c Welke passeertijd denkt W dat W meet?



p. 22 opgave 28 b

5,7c moet 7,2c zijn.





p. 23 opgave 33 wordt:

33 De afstand LL in de grafieken van p. 18 stelt cΔt voor.

- Leid daarvoor af: cΔt = x.



p. 2 rechts

Gelijktijdigheid


Bij schaatswedstrijden sprint zouden de luid­sprekers die het startschot laten horen, bóven de banen van 5 m breed moeten hangen. Nu staan ze langs de kant, maar 5 m extra bij −4 C levert al gauw 5/328 = 0,015 s verschil op ten nadele van de rijder op de binnenbaan. Twee knallen op twéé plekken worden alleen simultaan gehoord als de waarnemer W precies in het midden staat.
Deze figuur is een variant op een gedachte-experiment dat Einstein beschrijft in een boekje uit 1916: stel W zit in het midden van een rijdende trein en W staat op een perron. Beiden zien lichtflitsen van twee lampen die tegelijk flitsen, één vóórin en één achterin de trein.

Als W de flitsen tegelijk ziet, is hij van mening dat W ze niet tegelijk gezien kan hebben, want W beweegt immers vóór de lichtstraal van links uit en zal de lichtstraal van rechts dus eerder waarnemen. Bedenk dat de lichtsnelheid zich niets aantrekt van de snelheid van de trein.

W heeft echter evenveel recht om te beweren dat hij stilstaat en dat W naar links beweegt. Als W de flitsen tegelijk ziet, kan W ze niet tegelijk gezien hebben. Met andere woorden:
Gelijktijdigheid bestaat niet voor waarnemers in verschillende inertiaalsystemen.
p. 7

Klokken en linialen


Newton gaat in zijn mechanicaboek Principia uit van een ‘absolute ruimte’ en een ‘absolute tijd’: alle natuurwetten zijn hetzelfde voor waarnemers die in rust zijn of eenparig bewegen ten opzichte van de absolute ruimte. Een vliegtuig gedraagt zich hetzelfde of het nou stilstaat in een wind­tunnel of dat het beweegt in stilstaande lucht.

Trage klokken


W aan boord van een ruimteschip, passeert W met snelheid v. Allebei laten ze een lichtflits op-en-neer gaan. Ze vatten de opstelling op als een klok die tikt met periode T. W is de waarnemer die zich als stilstaand beschouwt. Hij bekijkt wat er bij aan boord bij W gebeurt en ziet de licht­straal scheef naar het plafond gaan.

Volgens W en W geldt voor de verticale baan naar het plafond:



h = c∙½T.

W is echter van mening dat het licht bij W een scheve baan aflegt − wel met de lichtsnelheid c natuurlijk. De tijd ½T* die daarvoor nodig is, moet dus volgens W groter zijn dan ½T.

Gebruik Pythagoras en elimineer h:

cT*)2 = h2 + (½vT*)2 = (½cT)2 + (½vT*)2



ofwel:

W is dus van mening dat de proef aan boord bij W langer duurt: de klok van W tikt te langzaam en loopt dus achter. Maar op grond van net zo’n redenering kan W hetzelfde beweren: W beweegt en zelf staat hij stil.



Beiden beweren van elkaar dat de klok van de ander te langzaam loopt.

Verkorte linialen


Als de lichtklokken horizontaal worden gezet, zijn W en W het ook niet eens.



De stilstaande W beweert dat heen en terug even lang duren.

De hele periode kost volgens hem:



(1)

Volgens W geldt bij W aan boord:

voor de heenweg: ct1 = L*+ vt1 dus

voor de terugweg: ct2 = L*vt2 dus

De totale tijd wordt dan:



(2)

Bovendien hangen T en T* samen volgens:



(3)

Combineren van (1), (2) en (3) levert (reken na!):



W is dus van mening dat de liniaal van W in de bewegingsrichting gekrompen is. Overigens beweert W van W hetzelfde.



Beiden beweren dat de liniaal van de ander korter is.

Voor v/c wordt vaak geschreven en de breuk heet de lorentzfactor .

Voor een waarnemer die vindt dat hij in rust is, lijken klokken in een bewegend systeem achter te lopen en linialen te zijn gekrompen.
T* = T ( ≥ 1) tijdrek

L* = L/ lengtekrimp



p.8

Voorbeeld 3 Op-en-neer bij = 0,6


 W ziet dat een lichtstraal bij W één keer op-en-neer gaat naar een spiegel die 2 nls boven de flitslamp staat.

a Hoe lang duurt dat volgens W en volgens W?

b Schets de banen die de straal volgens W en volgens W aflegt.
Oplossing

a W denkt dat hij stilstaat en meet 4 ns. W ziet W bewegen en vindt T*= ∙4 = 5 ns.

b





Voorbeeld 4 Weet u misschien hoe laat het is?


 B staat op 10 m afstand van A en vraagt “weet u misschien hoe laat het is”. A roept: “het is nu 12:05:17 uur ”.

a Zoek vgeluid op bij 20 °C en bereken de correctie die B zou moeten toepassen.

In een stilstaande treinwagon flitst in het midden een lamp. Na 20 ns komen flitsen tegelijk aan bij voor- en achterkant.

b Bereken de echte lengte van de wagon.

►De trein gaat met constante snelheid naar rechts rijden. Als de lamp een waarnemer W langs de kant passeert, flitst die weer.



c Welke flits komt volgens W als eerste aan?
Oplossing

a vgeluid = 343 m/s  Δt = 10/343 = 0,03 s. Deze correctie is nauwelijks zinvol te noemen.

b = 23.108∙20∙10−9 = 12 m.

c W ziet dat de rechterkant voor de flits weg rijdt en dat de linkerkant naar de flits toe rijdt. Het licht is dus volgens W eerder bij links.

Voorbeeld 5 Liniaal L = 1,00 m bij = 0,60


 W bepaalt de lengte L* aan boord bij W.

a Bereken L*.

b Is L of L* de echte lengte? En zijn W en W het daarover eens?
Oplossing

a L* = L/ = 1,00/1,25 = 80 cm lang.

b Hier zijn ze het over eens: de eigen liniaal is 1,00 m lang en bij de ander is die 80 cm.
p. 13 rechts

De correctie voor de tijd

Stel dat de klokken van W en W zich in de oor­sprongen van S en S bevinden. De klok van W loopt volgens W te traag. Maar dan hebben we nog het probleem van de ongelijktijdigheid. Het gaat niet om t in de oorsprong van stelsel S, maar om t bij P.

Op het tijdstip nul valt de oorsprong van stelsel S samen met de oorsprong van stelsel S en wordt er een lichtstraal in de x richting gestuurd. Volgens het tweede postulaat geldt:

x = ct en x = ct

Combineer dit met de formule voor x die hierboven staat. Dan vind je:



ct = ∙(ctx) lorentz-transformatie voor t

Of zonder en :



Ook zonder afleiding zie je dat deze correctie logisch is: hoe groter de snelheid v en hoe groter de afstand x, hoe groter de ongelijktijdigheid moet zijn. De dimensie van vx/c2 is tijd.





p. 16 eerste figuur


p. 16 bovenste deel

Gelijktijdigheid


Het verhaal over de (on)gelijktijdigheid van p. 5 kan ook kwantitatief worden gemaakt. Op het tijdstip nul bevindt de achterste flitslamp van de trein zich in beide oorsprongen van de stelsels S en S en de voorste bij x en x. De afstand tussen de lampen is L of L − dus x of x. W langs de kant in M ziet de lichtflitsen 1 en 2 tegelijk. In grafiek:

Volgens W kan W de lichtflitsen uit L niet tegelijk in M gezien hebben, want W heeft zich na de flitsen verplaatst.




Het licht van de lamp rechts komt na de tijd t1 in M en het licht van de lamp links pas na t2.

Als W beweert dat hij de flitsen tegelijk gezien heeft, dan heeft hij volgens W niet de lichtflitsen 1 en 2 gezien, maar 1 en 3; waarbij 3 volgens W te laat uit L is vertrokken.





p. 21

20 De klokken K0, K1, ... staan op een perron; ze lopen allemaal gelijk. Op t = 0 s en t = 0 s passeert een treinreiziger met zijn horloge de waarnemer W0 bij K0 op weg naar K1.



a1 Loopt volgens W0 de secondewijzer van het horloge sneller of langzamer dan die van de klokken?

a2 En als de trein de andere kant uit rijdt?

►De reiziger passeert K1 op t = 60 s. W1 naast K1 ziet op het horloge dat  = 2 moet zijn.



b1 Bereken de snelheid van de trein.

b2 Bereken de x van de trein op t = 60 s.

c Wat wijzen het horloge en de klokken K1 en K0 dan aan volgens W1 en de reiziger?

►Aan boord van de trein en naast K0 bevinden zich bordlinialen van 1,00 m.



d1 Welke lengtes neemt W0 op t = 0 s waar?

d2 En de reiziger op t = 0 s?
p. 24 nieuwe tekst linker kolom:

De inverse lorentz-transformatie


Dit is de lorentz-transformatie:

x = (x∙ct) en ct = (ct∙x) (1)

Als W ten opzichte van W met de snelheid v naar rechts gaat, dan mag je ook zeggen dat W ten opzichte van W met de snelheid −v naar links gaat. Dan moet dus ook gelden:



x = (x + ct) en ct = (ct + x) (2)

Dit is de inverse lorentz-transformatie.



a Leg uit dat dit rechtstreeks uit de postulaten van Einstein volgt.

►We kunnen het ook bewijzen.



b1 Toon eerst aan: 2∙(1 − 2) = 1.

b2 Maak x en ct los uit de formules bij (1), vul ze bij elkaar in en bewijs de formules bij (2).

Lorentz-transformatie en grafiek


Gebruik de eerste grafiek van p. 16. (Hij staat bij de werkbladen op www.stevin.info.)

a Bereken bij het zwarte punt Z (x =5; ct =5) de bijbehorende x en ct met behulp van de lorentz-transformatie.

b Bepaal d.m.v. constructie die waarden op de x as en de ct as.

c Bereken bij het rode punt R (x =5; ct =5) de bijbehorende x en ct met behulp van de inverse lorentz-transformatie.

d Bepaal d.m.v. constructie die waarden op de x as en de ct as.





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina