Exponentiële groei herken je in de tabel aan de vermenigvuldigingsfactor



Dovnload 138.83 Kb.
Datum24.07.2016
Grootte138.83 Kb.

Hoofdstuk 7


Exponentiële groei herken je in de tabel aan de vermenigvuldigingsfactor.

tijd

0

1

2

3

4

5

oppervlakte

2

2,48

3,08

3,81

4,73

5,86

2,48:2 = 1,24
3,08:2,48 = 1,24
3,81:3,08 = 1,24
4,73:3,81 = 1,24
5,86:4,73 = 1,24



Hoe maak je een exponentiële formule?
De exponentiële formule bij bovenstaande tabel is:
beginhoeveelheid x (groeifactor) tijd = oppervlakte
2 x (1,24)t = O

De beginhoeveelheid noemen we ook wel het startgetal (bij tijd is 0).


De groeifactor is het getal waarmee vermenigvuldigd wordt(hier bijvoorbeeld 1,24). De groeifactor is groter dan 1, dus de grafiek is een stijgende lijn.
Als de oppervlakte met 26% afneemt per tijdseenheid, dan is de groeifactor 0,74. De groeifactor is kleiner dan 1, dus de grafiek is een dalende lijn.

Een exponentiële vergelijking los je op door middel van inklemmen.



Hoe werkt inklemmen?
Als je geen gebruik kunt maken van het oplossen van vergelijkingen door middel van de 'bordjesmethode', 'weegschaalmethode' of 'kwadratische vergelijking', dan maak je gebruik van inklemmen.
Hieronder staan de grafieken van y=3x²-x+1 (blauwe parabool) en y=-2x+3 (rode lijn) getekend. Er wordt gevraagd om door middel van inklemmen de x-waarde te berekenen in één decimaal nauwkeurig die hoort bij het rechter snijpunt.

Je maakt dan de volgende stappen:
(1) Lees uit de grafiek (of tabel) af tussen welke twee x-waarden het snijpunt ligt. In dit geval is dat tussen x=0 en x=1.
(2) Lees uit de grafiek (of tabel) af bij welke x-waarde het snijpunt het dichtst ligt. In dit geval is dat x=1.
(3) Maak een tabel en werk daarbij naar het snijpunt toe.

x

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

y=3x²-x+1

3

2,53

2,12

1,77

1,48

y=-2x+3

1

1,2

1,4

1,6

1,8

verschil

2

1,33

0,72

0,17

-0,32

De x-waarde waar het verschil het dichtst bij nul ligt, is het antwoord op de vraag. In dit geval is dat dus x=0,7.
In de tabel moet je altijd naast het eindantwoord (x=0,7) ook één x-waarde er voor (x=0,8) en één x-waarde er na (x=0,6) laten zien.

Hoe reken je een exponentiële groei om naar een groeifactor?
Een exponentiële groei van 4% wil zeggen: 100% + 4% = 104%.
De groeifactor is dan 104 : 100 = 1,04.
Een exponentiële afname van 8% wil zeggen: 100% - 8% = 92%.
De groeifactor is dan 92 : 100 = 0,92.

De halveringstijd en verdubbelingstijd.
De verdubbelingstijd is die tijd die nodig is om bijvoorbeeld een getal te laten verdubbelen. In het bovenstaande voorbeeld is bij t = 4 de oppervlakte 4.73, dus meer dan verdubbeld.
De halveringstijd is de tijd die nodig is om bijvoorbeeld een getal te laten halveren.

De volgende tabel geeft een exponentieel verband weer.



x

0

1

2

3

4

5

y

3

6

12

24

48

96

Iedere y-waarde wordt gevonden door de vorige y-waarde met factor 2 te vermenigvuldigen. De groeifactor is dan ook 2. De startwaarde is 3.
De bijbehorende formule is: y = 3 ·2x.
De grafiek ziet er zo uit:


Factor:
Bij procenten en BTW-sommen heb je te maken met een factor.
Als een trui bijvoorbeeld 80 euro kost en deze prijs wordt verhoogd met 6%, dan is de factor die daar bij hoort 1,06, namelijk:
100% (oude prijs) + 6% (prijsstijging) = 106%, dus 1,06 als factor (:100).
De trui gaat dus 80x1,06 = 84,80 euro kosten.
Als een fiets 800 euro kost en deze prijs wordt verlaagd met 13%, dan is de bijbehorende factor 0,87, namelijk:
100% (oude prijs) - 13% (prijsvermindering) = 87%, dus als factor 0,87.
De fiets gaat dus 800x0,87 = 696 euro kosten.

Factoren kun je ook met elkaar vermenigvuldigen.


Als je op een tafel van 600 euro eerst een korting krijgt van 10% en daarna nog eens een korting van 10%, dan is de factor 0,90x0,90 = 0,81. Je krijgt dus NIET 20% korting, maar uiteindelijk maar 19%.
De tafel gaat dus 600x0,90x0,90 = 486 euro kosten.

Rente-op-rente-sommen:
Bij rente-op-rente-sommen reken je ook met een factor.
Als je bij een bank 500 euro hebt staan tegen 4% rente per jaar, dan is de factor 1,04.
Na één jaar: 500x1,04 = 520 euro.
Na twee jaar: 500x1,042 = 540,80 euro.
Na tien jaar: 500x1,0410 = 740,12 euro.

Procenten en groei, alles op een rij.


Een percentage van een bedrag.
Hoeveel is 8,2% van € 225?
8,2% betekent letterlijk 8,2 per honderd, als breuk is dat 8,2:100 = 82:1000 en in decimalen is dat 0,082.
Antwoord: 0,082x225 = € 18,45.

Verhogen met een percentage.


Wat krijg je als een bedrag van € 225 wordt verhoogd met 19%?
Eigenlijk zou je eerst 19% van € 225 moeten uitrekenen en dit dan optellen bij het beginbedrag, die € 225.
Dus : 100% (oude prijs) + 19% (verhoging) = 119%. De factor is dan 1,19.
Antwoord: 1,19x225 = € 267,75.

Verminderen met een percentage.


Wat krijg je als een bedrag van € 225,- wordt verminderd met 30%?
Het lijkt op het voorbeeld hierboven, maar nu is de groeifactor 0,70.
1 voor het oude bedrag en 0,3 voor wat er af moet, geeft een groeifactor van 0,7.
Antwoord: 0,7x225 = € 157,50.

Groeipercentage uitrekenen.


Een bedrag van € 225,- wordt vermeerderd tot € 325,-. Hoeveel procent toename is dat?
Makkelijk te onthouden is de formule: groeifactor = nieuw:oud.
Hier is de groeifactor 325:225 = 1,44.
Het bedrag neemt toe met ongeveer 44%.

Een bedrag wordt verminderd van € 225,- tot € 125,-. Hoeveel procent afname is dat?


De groeifactor is 125:225 = 0,56.
Dus het bedrag neemt af met 44%.

Van percentage naar groeifactor en andersom.


Als je dit laatste moeilijk vindt, kun je misschien de volgende rekenschema's gebruiken:
100% + 12% = 112%, dus de groeifactor is 1,12.
100% - 23% = 77%, dus de groeifactor is 0,77.

Groei.
Het voordeel van het gebruik van groeifactoren is dat het niet zo veel uitmaakt of je nu de rente berekent over 1 jaar of over 10 of zelfs over 100 jaar.

Je zet € 225,- op de bank tegen 4,5% rente per jaar. Hoeveel heb je na 10 jaar?
Antwoord: 225x1,04510 = € 349,42.

Op een bouwterrein ligt een berg zand van 4 m3. Elke dag waait er ongeveer 1,3% zand weg. Hoeveel zand heb je na één jaar?


Antwoord: 4 m3x0,987365 = 0,034 m3.

Groeifactoren kun je ook gebruiken om bijvoorbeeld de procentuele toename of afname per jaar uit te rekenen.

Je zet € 225,- op de bank. Na 8 jaar heb je € 448,33 op de bank staan. Hoeveel rente krijg je (gemiddeld) per jaar?
De groeifactor is 448,33:225 = 1,993.
1,9931/8 = 1,09.
Antwoord: je krijgt gemiddeld 9% rente per jaar.

Afname.
Het aantal mensen in Nederland met konijnen neemt in 12 jaar tijd af met 54%. Met hoeveel procent neemt dit aantal (gemiddeld) per jaar af?


Groeifactor per 12 jaar is 0,46.
De groeifactor per jaar is 0,461/12 = 0,937.
Antwoord: gemiddeld neemt het aantal af met 6,3%.


Opgave


1.
In de tabellen hieronder is sprake van exponentiële groei.
A.  Geef bij iedere tabel de groeifactor en vul de ontbrekende getallen in
B.  Geef bij iedere tabel de bijbehorende formule.

tabel 1:


x

0

1

2

3

4

y

5

15

45

 

 

tabel 2:

x

0

1

2

3

4

y

0,6

1,5

3,75

 

 

tabel 3:

x

0

1

2

3

4

y

8

8,8

9,68

 

 

tabel 4:

x

1

2

3

4

5

y

0,5

8

128

 

 

C.  Welke van de tabellen hieronder kunnen bij een exponentiële groei horen.
D.  Geef bij iedere tabel de bijbehorende formule.
tabel 5:

x

0

1

2

4

8

y

8

12

16

24

40

tabel 6:

x

0

5

6

8

11

y

0,5

16

32

128

1024

tabel 7:

x

0

1

3

6

7

y

12

14,4

20,74

35,83

43

tabel 8:

x

2

3

8

10

y

1

5

15625

390625

2.
Een boswachter bestudeert de konijnenpopulatie in een duingebied. Het aantal konijnen in het gebied sinds 1995 staat in de onderstaande tabel.



jaar

1995

1996

1997

1998

1999

aantal konijnen

500

525

551

579

608

A.  Is hier sprake van exponentiële groei? Zo ja, wat is de groeifactor.
B.  Geef de bijbehorende formule.
C.  Neem aan dat de groei zo doorgaat. Bereken hoeveel konijnen er dan in 2004 zullen zijn.

3.
Hieronder zijn vier grafieken getekend.


A.  Onderzoek voor elke grafiek of er sprake is van exponentiële groei.
B.  Geef bij de grafieken F, G, H en I de bijbehorende formules als er sprake is van exponentiële groei.

4.
Sommige stoffen zijn niet stabiel, maar vallen uiteen. Van een hoeveelheid


GA72 is na 20 min nog maar de helft over. Op een gegeven moment (t = 0) is 576 gram GA72 aanwezig.
A.  Neem als tijdseenheid 20 min en geeft de formule waarmee je de hoeveelheid GA72 kunt berekenen.
B.  Bereken de groeifactor per 40 minuten.
C.  Bereken de groeifactor per uur.
D.  Bereken de groeifactor per 2 uur.
E.  Na hoeveel uur is de hoeveelheid GA72 minder dan 1 gram geworden?

Van de stof CS137 neemt de hoeveelheid af met 2,3% per jaar. Op een zeker moment (t = 0) is er 86 gram CS137 aanwezig.


F.  Schrijf een formule op waarmee je de hoeveelheid CS137 na t jaar kunt berekenen.
G.  Bereken in één decimaal nauwkeurig de hoeveelheid CS137 na 7 jaar.
H.  Bereken in twee decimalen nauwkeurig de groeifactor per 20 jaar.
I.  Na hoeveel jaar is er nog minder dan 5 gram CS137 over?

5.
In een bos staan op een gegeven moment 6000 bomen. Door luchtvervuiling sterft per jaar 10% van deze bomen.


A.  Met welk getal wordt het aantal bomen elk jaar vermenigvuldigd?
B.  Hoeveel bomen zijn er na één jaar nog over?
C.  Hoeveel bomen zijn er na 10 jaar nog over?
D.  Hoeveel bomen waren er 4 jaar geleden ?

Door een bepaald bestrijdingsmiddel te spuiten wordt per uur 60% van de bladluizen op een plant gedood. Voor het spuiten zijn er op de plant 5000 bladluizen.


E.  Hoeveel bladluizen gaan er het eerste uur dood?
F.  Met welk getal wordt het aantal bladluizen ieder uur vermenigvuldigd?
G.  Hoeveel bladluizen zijn er nog na 8 uur?

Van een bepaald soort bacterie zijn er 250. Het aantal neemt met 8% per minuut toe.


H.  Met welk getal wordt het aantal bacteriën elke minuut vermenigvuldigd?
I.  Hoeveel bacteriën zijn er na 12 minuten?
J.  Hoeveel bacteriën waren er 6 minuten geleden?

6.
Een spaarbank geeft je 4,6% rente per jaar als je het bedrag vijftien jaar laat staan. Je begint met € 500,- en laat elk jaar de rente bijschrijven.


A.  Hoeveel staat er op de rekening na 15 jaar?

Een andere bank biedt twee soorten spaarvormen aan. Bij de ene vorm is de rente 3% en wordt per jaar bijgeschreven. Bij de andere vorm is de rente 0,25% en wordt maandelijks bijgeschreven.


B.  Welke van deze twee spaarvormen levert voor de spaarder het meest op?

7.
Op de inkoopprijs zet een winkelier eerst een winstmarge van 40%. Daarna berekent hij over de uitkomst nog eens 19% BTW.


A.  Hoe duur is een eyeliner met een inkoopprijs van € 7,80 bij hem in de winkel?
B.  Een set oogschaduw kost € 40,-. Bereken de inkoopprijs van deze set.

Op veel drogisterijartikelen zit een winstmarge van 80%. Dat wil zeggen dat de drogist boven op zijn inkoopprijs eerst een winstmarge rekent van 80%. Daarna berekent hij over de uitkomst nog eens 19% BTW.


C.  Hoe duur is een lippenstift met een inkoopprijs van € 7,00 in zijn winkel?
D.  Een flesje parfum kost bij de drogist € 86,-. Bereken de inkoopprijs van de parfum.

Dezelfde drogist besluit tijdens de uitverkoop zijn verkoopprijzen te verlagen met 15%.


E.  Hoeveel kost de lippenstift uit opdracht C dan?
F.  Bereken de prijs van de lippenstift exclusief BTW tijdens de uitverkoop.
G.  Hoeveel procent winst maakt hij dan op zo'n lippenstift?

8.
Jan heeft zijn auto van € 45.000,- verzekerd. De verzekeringsmaatschappij berekent de dagwaarde van de auto zo dat de waarde van de auto ieder jaar met 22% verlaagd wordt ten opzichte van het jaar ervoor.


A.  Met welke formule kun je de waarde van de auto na t jaar berekenen.
B.  Met hoeveel procent is de waarde na 3 jaar afgenomen volgens de verzekeringsmaatschappij?
C.  Na 4,5 jaar wordt de auto total loss gereden. Welk bedrag keert de verzekering uit?

9.
Van alle leerlingen op een school 75% wel eens afwezig. Van de groep afwezigen neemt de helft keurig een brief mee. Van de andere helft komt 65% later nog met een brief aanzetten. De groep die nog geen brief heeft meegenomen wordt thuis gebeld. Daarvan blijkt 30% wel een goede reden te bezitten, maar zijn de ouders gewoon vergeten een brief mee te geven.


Hoeveel procent van de leerlingen is onterecht afwezig?

10.
In een stad wordt elk jaar steeds meer afval geproduceerd. In de tabel hieronder staat hoeveel afval in welk jaar geproduceerd werd.



jaar

1996

1997

1998

1999

2000

hoeveelheid afval in tonnen

68435

71857

75450

79222

83183

A.  Laat zien dat de hoeveelheid afval exponentieel groeit.
B.  Hoe groot is de groeifactor per jaar?
C.  Met hoeveel procent groeit de hoeveelheid afval in 10 jaar?
D.  In welk jaar zal er voor het eerst meer dan 150000 ton afval geproduceerd zijn?
E.  Hoeveel ton afval werd er in 1995 geproduceerd?

11.
Hieronder is een tabel van een exponentiële formule gegeven. Geef de formule die bij deze exponentiële tabel hoort.



x

0

1

2

y

43

36

30

12.
Dit jaar hadden wij een rupsenplaag in onze tuin. De groei van het aantal rupsen was de eerste twee weken exponentieel. De formule die bij het aantal rupsen hoorde was:
N = 30 x (1,16)t.
In deze formule is N het aantal rupsen en t het aantal dagen na 12 mei.
A.  Maak een tabel bij deze formule voor de eerste 5 dagen.
B.  Hoeveel rupsen waren er op 21 mei?
C.  Hoeveel rupsen waren er op 1 juni?
D.  Met hoeveel procent groeide het aantal rupsen per week?
E.  Op welke dag waren er voor het eerst meer dan 200 rupsen?

13.
Een luchtballon verliest elk uur 6,5% van zijn hoeveelheid gas. Als de helft van de hoeveelheid gas uit de luchtballon verdwenen is, zal de luchtballon neerstorten.


A.  Hoe groot is de groeifactor per uur?
B.  Met hoeveel procent neemt de hoeveelheid gas per dag af?
C.  Na hoeveel uur zal de luchtballon neerstorten?

Uitwerkingen

1.
A.+B.


Tabel 1: De beginhoeveelheid is 5. De groeifactor is 15:5 = 3.
De formule is y = 5 . 3x.

x

0

1

2

3

4

y

5

15

45

135

405

Tabel 2: De beginhoeveelheid is 0,6. De groeifactor is 1,5:0,6 = 2,5.
De formule is y = 0,6 . 2,5x.

x

0

1

2

3

4

y

0,6

1,5

3,75

9,38

23,44

Tabel 3: De beginhoeveelheid is 8 De groeifactor is 8,8:8 = 1,1.
De formule is y = 8 . 1,1x.

x

0

1

2

3

4

y

8

8,8

9,68

10,64

11,71

Tabel 4: De groeifactor is 8:0,5 = 16. Het beginhoeveelheid is 0,5:16 = 0,03125.
De formule is y = 0,03125 . 16x.

x

1

2

3

4

5

y

0,5

8

128

2048

32768

C.+D.
Tabel 5:
12:8 = 1,5  en  16:12 = 1,33  dus GEEN exponentiële groei. Het is wel een lineaire formule met startgetal 8 en hellingsgetal 4. De formule is y = 4x + 8.
Tabel 6:
van x = 5 naar x = 6 is de groeifactor 32:16 = 2.
Bij x = 5 hoort dan 0,5.25 = 16. klopt.
Bij x = 8 hoort dan 0,5.28 = 128 klopt.
Bij x = 11 hoort dan 0,5.211 = 1024 klopt.
Er is dus WEL exponentiële groei. De formule is y = 0,5 . 2x
Tabel 7:
van x = 0 naar x = 1 is de groeifactor 14,4:12 = 1,2
Bij x = 3 hoort dan 12.1,23 = 20,74. klopt.
Bij x = 6 hoort dan 12.1,26 = 35,83. klopt.
Bij x = 7 hoort dan 12.1,27 = 43. klopt.
Er is dus WEL exponentiële groei. De formule is y = 12 . 1,2x.
Tabel 8:
van x = 2 naar x = 3 is de groeifactor 5:1 = 5
Bij x = 0 hoort dan 1:5:5 = 0,04.
Bij x = 8 hoort dan 0,04.58 = 15625. klopt.
Bij x = 10 hoort dan 0,04.510 = 390625. klopt.
Er is dus wel exponentiële groei. De formule is y = 0,04 . 5x

2.
A.  525:500 = 1,05  ;  551:525 = 1,05  ;  579:551 = 1,05  ;  608:579 = 1,05


Ja, er is sprake van een exponentiële groei en de groeifactor is 1,05
B.  y = 500 . 1.05t
C.  500.1,059 = 776 konijnen.

3.
A.+B.


Grafiek f:

x

0

1

2

3

4

y

3

3,5

5

7,5

11

3,5:3 = 1,17  ;  5:3,5 = 1,42.  Er is dus GEEN exponentiële groei.
Grafiek g:
Als de grafiek een rechte lijn is, is er geen sprake van exponentiële groei.
Extra: Het is wel een lineaire formule. Het startgetal is 10 en het hellingsgetal is 2/3. De formule is y = 2/3x+10.
Grafiek h:

x

0

1

2

3

4

y

0,5

0,8

1,1

1,8

2,5

0,8:0,5 = 1,6  ;  1,1:0,8 = 1,4  ;  1,8:1,1 = 1,6  ;  2,5:1,8 = 1,4.
Let op: Er is wel exponentiële groei en de groeifactor is ongeveer 1,5.
De formule is y = 0,5 . 1,5x.
Grafiek i:

x

0

1

2

3

4

y

10

5

2,5

1,25

0,625

5:10 = 0,5  ;  2,5:5 = 0,5  ;  1,25:2,5 = 0,5  ;  0,625:1,25 = 0,5.
Er is wel exponentiële groei en de groeifactor is 0,5.
De formule is y = 10 . 0,5x.

4.
A.  de formule is y = 576 . 0,5t


B.  0,52 = 0,25 (2x20 = 40 minuten)
C.  0,53 = 0,125 (3x20 minuten = 1 uur)
D.  0,56 = 0,015625 (6x20 minuten = 2 uur)
E.  na 1 uur: 576x0,125 = 72 gram, na 2 uur is er 9 gram, na 3 uur is er 1,13 gram en na 4 uur is er 0,14 gram over. Dus na 4 uur is er minder dan 1 gram.
F.  de formule is y = 86 . 0,977t
G.  86x0,9777 = 73,1 gram.
H.  0,99720 = 0,63.
I.  na 100 jaar is er nog 86x0,977100 = 8,39 gram over.
na 120 jaar is er nog 86x0,977120 = 5,27 gram over.
na 122 jaar is er nog 86x0,977122 = 5,03 gram over.
na 123 jaar is er nog 86x0,977123 = 4,91 gram over.
Dus na 123 jaar is er minder dan 5 gram over.

5.
A.  10% eraf, dus 90% over, dus de factor is 0,9.


B.  6000x0,9 = 5400 bomen.
C.  6000x0,910 = 2092 bomen.
D.  6000:0,94 = 9145 bomen.
E.  60% van 5000 = 3000.
F.  60% eraf, dus 40% over, dus de factor is dan 0,4.
G.  5000.0,48 = 3.
H.  8% erbij geeft 108%. De factor is dan 1,08.
I.  250x1,0812 = 2063.
J.  250:1,086 = 158.

6.
A.  4,6% erbij geeft 104,6%, dus de factor is dan 1,046.


500.1,04615 = € 981,62
B.  0,25% erbij geeft 100,25%, dus de factor is dan 1,0025 per maand.
Na 12 maanden is de factor 1,002512 = 1,0304. Dit is meer dan 3%.
0,25% per maand is dus beter.

7.


A.  7,80x1,40x1,19 = € 12,99

E.  14,99x0,85 = € 12,74

B.  40:1,19:1,40 = € 24,01

F.  12,74:1,19 = € 10,71

C.  7x1,80x1,19 = € 14,99

G.  10,71:7 = 1,53. Dus 53% winst.

D.  86:1,19:1,80 = € 40,15




8.
A.  de formule is y = 45000 . 0,78t
B.  0,783 = 0,4746. Er is dan 100-47,46 = 52,54% afgegaan.
C.  45000.0,784,5 = € 14.710,87.

9.
75% is afwezig, dat is keer 0,75. De helft, dat is keer 0,50.


35% geen briefje, dat is keer 0,35. 70% geen reden, dat is keer 0,70.
Van de 100% blijft over: 100x0,75x0,50x0,35x0,70 = 9,19%

10.
A.  71857:68435 = 1,05  ;  75450:71857 = 1,05  ;  79222:75450 = 1,05  ;  83183:79222 = 1,05


Dit is dus een exponentieel verband.
B.  Er komt steeds ongeveer 1,05 uit. De groeifactor per jaar is 1,05.
C.  De groeifactor per 10 jaar is (1,05)10 = 1,63. Dat is ongeveer 63% groei.
D.  2009 - 129044  ;  2010 - 135497  ;  2011 - 142271  ;  2012 - 149385  ;  2013 - 156854
In 2013 is er voor het eerst meer dan 150000 ton.
E.  68435:1,05 = 65176 ton.

11.
36:43 = 0,85  ;  30:36 = 0,85.  De groeifactor is 0,85. De beginhoeveelheid is 43.


De formule wordt:  y = 43 . (0,85)x.

12.
A.  



t

0

1

2

3

4

5

N

30

35

40

47

54

63

B.  Op 21 mei (t=9) waren er 114 rupsen.
C.  Op 1 juni (t=20) waren er 584 rupsen.
D.  De groeifactor per week is (1,16)7 = 2,83. Dit is een groei met 183%.
E.  Op de 13e dag, dus op 25 mei.

13.
A.  De groeifactor per uur is 1-0,065 = 0,935.


B.  De groeifactor per dag is (0,935)24 = 0,1993. Dat is een afname met 80,07%.
C.  (0,935)t = 0,5, dus t = 10,3. Na ruim 10 uur stort de luchtballon neer.




De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina