Functies en krommen



Dovnload 44.23 Kb.
Datum27.08.2016
Grootte44.23 Kb.

Functies en krommen




Inleiding

Ook functies en krommen teken je in een assenstelsel, net als meetkundige objecten. Vandaar dat deze mogelijkheden in het programma zijn ingebouwd. Je treft de hoofdfunctionaliteit aan onder bewerken, onderhoud functies en krommen. Hier kun je tot 10 functies of krommen invoeren, wijzigen of verwijderen. Bij bewerken, speciale bewerkingen, tref je een aantal aardige mogelijkheden aan die je met functies of krommen kunt uitvoeren. Bij afbeeldingen, verschuiven tref je de mogelijkheid aan, een functie of kromme te verschuiven. Wanneer je daarbij het origineel laat staan, wordt de verschoven formule aan de rij functies/krommen toegevoegd.


Laten we eens een eerste functie maken.




Voorbeeld 1 een parabool

We maken de parabool y = x2 op domein [-3, 3]. Allereerst vragen we ruitjespapier op om te tekenen: Kies bestand, nieuw, vlakke meetkunde, alleen oorsprong.

Kies bewerken, onderhoud functies en krommen, en je krijgt een lijst met beschikbare functies te zien.

Er zijn vaak nog geen functies of krommen aanwezig. Wel kun je dan het eerste knopje aanklikken om de functie in te voeren. Doe je dit, dan verschijnt het dialoogvenster waarin je de functiegegevens kunt invoeren:

Linksboven kun je kiezen voor het invoeren van een functie of kromme. Hier laten we de keuze op functievoorschrift staan.

We veranderen het domein in [-3, 3] en we voeren achter y = het functievoorschrift x^2 in. het dakje ^ staat voor “in de macht”.

We laten de lijndikte op 1 staan, veranderen de kleur van de grafiek in blauw en we wijzigen de schuifbalk boven de OK-knop niet. Deze staat meestal optimaal ingesteld wanneer de wijzer in het midden staat. Wanneer je dit allemaal hebt gedaan, ziet het dialoogvenster er als volgt uit:



Wanneer je op de OK-knop klikt, keer je terug naar de functieknopjesbalk. Hier kun je meer functies invoeren, maar nu sluiten we af door op de knop afsluiten te klikken.

De grafiek van de functie verschijnt nu in beeld.


Je kunt de oorsprong wat lager zetten via beeld, verschuif figuur. Wellicht wil je de tekening ietwat verkleinen, tot 70% bijvoorbeeld.

Het resultaat staat hiernaast.


Opmerking: Bij een functie kan de naam van de variabele vrij gekozen worden. Deze wordt dan automatisch langs de horizontale as geplaatst.
Voorbeeld 2 Een kromme
We willen nu een kromme tekenen.

Hiervoor moet je van de kromme een parametervoorstelling hebben.

Bijvoorbeeld: x = sin (2t), y = cos t (0 ≤ t ≤ 2π)

Dit is een zogenaamde figuur van Lissajoux. Je leraar wiskunde of natuurkunde kan je er meer over vertellen.

We gaan als volgt te werk. Kies bestand, nieuw, vlakke meetkunde, alleen oorsprong. Er verschijnt het assenstelsel.

Kies bewerken, onderhoud functies en krommen, en het functie / kromme dialoog verschijnt. Vul dit in zoals hiernaast staat afgedrukt.

Klik op OK en de grafiek wordt getekend.
Pas het vergrotingspercentage aan opdat de grafiek het beeldscherm goed vult.

Enkele opmerkingen bij dit voorbeeld.



  • Als naam van de variabele is hier gekozen voor t. Het domein heeft dus op t betrekking.

  • Je kunt zelf de naam van de variabele kiezen. Het moet wel een éénletternaam zijn.

  • Bij de formule voor x moeten haakjes om (2t), anders ziet het programma dit als (sin 2)*t. Bij de formule voor y mag dit ook , maar het is er niet verplicht. Algemeen advies: gebruik haakjes bij functies.

Je kunt de grafiek ook als een ruimtelijk object beschouwen. Klik op de gereedschapsbalk maar eens op de tekenmethode ingenieursprojectie. Je krijgt dan het XOY assenstelsel te zien met hierin de grafiek, maar ook de Z-as.


Maar het blijft een vlakke-meetkunde-figuur. Wil je er een echt ruimtelijk object van maken, kies dan bewerken, converteer vlakke naar ruimtefiguur. Nu kun je ook de z-coördinaat op de kromme manipuleren. Kies bewerken, onderhoud functies en krommen en selecteer de eerste kromme. Je ziet, dat er nu ook een z-veld is bijgekomen. Vul bijvoorbeeld z = t in. Je krijgt de nevenstaande figuur.

Je moet er wel even aan wennen. Maar in het bovenaanzicht (de z-coördinaat doet dan niet mee) krijg je weer de originele figuur.




Zo kun je bijvoorbeeld een wenteltrap maken door de bovenstaande truc op een cirkel toe te passen. Je kunt hiervoor bijvoorbeeld de volgende formules gebruiken:


x = sin t

y = cos t

z = t
Probeer nu zelf eens een grafiek in de vorm van een schroefdraad te maken.

Een grafiek verschuiven
Stel je hebt de functie y = sin (πx) gegeven. Je vraagt je af, wat de formule is wanneer je de grafiek één hokje naar rechts schuift en twee omhoog.

Dit kan het programma voor jou doen. Begin een nieuwe tekening met bestand, nieuw, vlakke meetkunde, alleen oorsprong. Kies bewerken, onderhoud functies en krommen en voer de eerste functie in:

y = sin ( pi x)
Sluit dit dialoog af, stel een andere tekenkleur in en kies afbeeldingen, verschuiving.


Vul de gegevens in zoals hiernaast staat afgebeeld.

Hierna verschijnt de functiebalk. Klik op de eerste (en enige geactiveerde) functieknop.

De verschuiving wordt toegepast.


Omdat in het verschuifdialoog onderaan de optie origineel laten staan is aangevinkt, blijft de eerste functie behouden, en wordt de verschoven functie aan de rij functies toegevoegd. Desgewenst kun je nu de tweede functie selecteren, waardoor deze weer wordt verschoven, enzovoort.

Sluit af, kies bewerken, onderhoud functies en krommen, en kies functie 2. Je ziet het functievoorschrift staan:


y = sin(3.14159265*(x-2))+1
Hierin is pi vervangen door een decimale benadering, x door x-2 en is bij de functiewaarde één opgeteld.
Je kunt niet alleen functies verschuiven. Je kunt dit ook met krommen doen. Zowel vlakke als ruimtelijke.

Spelregels
Bij het invoeren van een functie of kromme kun je niet zomaar een tekst invoeren. Wanneer het programma je niet begrijpt, krijg je een melding hierover. Pas wanneer de formules zinvol zijn en het domein niet leeg, wordt een klik op de OK knop geaccepteerd. Houd je aan de wiskundige afspraken, en de ingevoerde formules zullen meestal geaccepteerd worden.
Het programma zal de grafiek kunnen tekenen, ook als het functievoorschrift niet gedefinieerd is voor alle getallen binnen het opgegeven domein.
Voor getallen gebruik je de decimale notatie, met een decimale punt of komma wanneer je dit wilt.

Ook haakjes mag je gebruiken zoals je in de wiskunde gewend bent.


De meeste wiskundige notatieafspraken worden herkend. Zo is 3(x-4) gelijkwaardig met 3*(x-4). En wordt sin x opgevat als sin(x). De laatste vorm is wel beter.
Een gebroken functie voer je in met haken. Bijvoorbeeld (x^2-4) / (x+2).
Spaties in een formule worden genegeerd.
De volgende bewerkingen worden herkend:
betekenis voorbeeld resultaat

+ de som 3 + 4 7

- het verschil 3 - 4 -1

* het product 3 * 4 12

/ het quotiënt 3/4 0.75

^ de machtsverheffing 2^3 8



| | absoluutstrepen | 5 - 6 | 1
Verder gaat machtsverheffen vòòr vermenigvuldigen en delen, wat weer voorrang heeft op optellen en aftrekken. Met haakjes kun je deze volgorde van de bewerkingen beïnvloeden.
Het programma herkent het woord pi, dat wordt vertaald in de waarde van π. Zo wordt de letter e ook herkend en vertaald in een benadering van het getal e van de natuurlijke logaritme.
De volgende functies zijn beschikbaar (zie volgende pagina)



sin

sinusfunctie, gedefinieerd voor x in radialen

sin (1,5pi) geeft -1

cos

cosinusfunctie, gedefinieerd voor x in radialen

cos(pi) geeft -1

tan

tangensfunctie, gedefinieerd voor x in radialen

tan(pi/4) geeft 1

exp

exp(x) geeft hetzelfde als e^x

exp(0) geeft 1

log

de 10-logaritme

log(100) geeft 2

ln

de logaritme met e als grondtal

ln(e) geeft 1

Abs

de absolute waarde functie; abs(-3) geeft hetzelfde als |-3|

abs(4-7) geeft 3

Sqr

de wortelfunctie; sqr(x) geeft hetzelfde als x½

sqr(9) geeft 3

Arcsin

de arcsinus functie, gedefinieerd op [-1, 1]

acsin(1) geeft ongeveer ½π

Arccos

de arccosinus functie, gedefinieerd op [-1, 1]

arccos(-1) geeft ongeveer π

Arctan

de arctangens functie

arctan(1) geeft ongeveer ¼π

Sinh

de sinus hyperbolicus, ½(ex - e-x)




Cosh

de cosinus hyperbolicus, ½(ex + e-x)




Tanh

de tangens hyperbolicus






Arceringen bij functies en krommen
Bij functies en krommen is nu de mogelijkheid geschapen, er een arcering bij te halen.

Het idee hierachter is, de mogelijkheid te bieden, een gebied, ingesloten door een gesloten kromme, te arceren.


Hiernaast staat een scherm, waarin een kromme is ingevoerd. Vooraf is een nieuwe, lege figuur gestart (nieuw, ruimtemeetkunde, alleen oorsprong).

Nieuw is het veld arceren. Indien aangevinkt, wordt er gearceerd. Hierbij wordt de volgende methode toegepast:



  • Het programma berekent punten op de grafiek.

  • De veelhoek, gevormd door deze punten, wordt gearceerd.

Indien de grafiek een gesloten kromme voorstelt, wordt dus het binnengebied ervan gearceerd.

Indien echter het begin- en eindpunt van de grafiek verschillen, doe het programma alsof het lijnstuk tussen begin- en eindpunt erbij hoort, waardoor een gesloten kromme ontstaat.


De tekening hiernaast is gemaakt door twee functies in te voeren:
functie domein gearceerd tot X-as

-x2+2x+4 [-1, 2] ja nee

-x2+2x+4 [-2,5] nee
Dit kan aardige resultaten geven. Het is ook mogelijk, het deel onder een grafiek gearceerd te krijgen. Vink hiertoe bij de eerste van bovenstaande twee functieregels, na gearceerd te hebben aangevinkt, ook tot X-as aan. Het resultaat staat hieronder.

Het binnengebied van een gesloten Lissajoux figuur arceren gaat prima een parametervoorstelling.

Bijvoorbeeld:
x = 3 sin 2t

y = 3 cos t
De tekening staat rechts hiernaast.
Indien je aan beide formules hierboven ook een z-coördinaat toevoegt door

z = 5 + 4 cos 2t

ontstaat er een ruimtelijke arcering, die niet in een vlak ligt. De tekening staat hieronder. Het is aan jou om te bepalen, wat je ermee wilt doen.

Er kunnen vreemde tekeningen ontstaan wanneer je ook asymptoten toestaat.

Bijvoorbeeld bij de functie

kun je, afhankelijk van de tekennauwkeurigheid, iets krijgen zoals hiernaast rechts.
Zolang de grafiek geen onderbrekingen vertoont, en bijvoorbeeld het begin- en eindpunt op geschikte plaatsen (bijvoorbeeld op de x-as) liggen, krijg je tekeningen die geschikt zijn bij bijvoorbeeld integreren.

(Ook de omwentelingslichamen zijn mooi te maken met dit programma.)


Algemeen advies: bedenk goed, wat je met een arcering wilt laten zien. Soms is het effect wellicht ongewenst, of juist wel van toepassing.
Nog iets over de gebruikte kleuren en arceerstijl.

In het functiescherm kun je de kleur van de grafiek zelf instellen, evenals de dikte. Voor de arcering wordt echter de kleur en arcering gebruikt, zoals die zijn ingesteld zodra je op de OK-knop klikt in het functiescherm. Daarom is de gereedschapsbalk gewoon beschikbaar om, tijdens de invoer van de functie, deze instellingen te kiezen.

Wanneer een eenmaal ingevoerde functie met OK is afgesloten, kun je deze later weer wijzigen. Door dan te letten op de gereedschapsbalk voordat je op OK klikt, kun je ook achteraf de arceerkleur en -stijl wijzigen.

Alle functie instellingen worden opgeslagen bij het wegschrijven op schijf.





Het tekenen van functies van twee variabelen

Het programma kan ook functies tekenen van twee variabelen. Aldus kunnen golvende grafieken worden verkregen.

Voorbereidingen: start een nieuwe figuur en kies ruimtemeetkunde, alleen oorsprong.

Kies hiertoe in het onderhoud functie venster voor het derde type, functie (2 variabelen).

Voor deze variabelen moeten de letters x en y worden gebruikt.
Indien de checkbox doorzichtig wordt aangevinkt, kun je door de grafiek heen kijken. Soms is dat niet echt fraai. Aan de andere kant zie je anders niet wat erachter ligt.

D
e tekening bij de hiernaast ingevulde functie staat hieronder. In perspectief.


Hiernaast staat de grafiek van de functie

Z = a2 - c2

doorzichtig getekend in militaire projectie.

Een handigheidje

Zodra er tenminste één functie is gedefinieerd, verschijnt er rechtsboven op het beeldscherm een functie-snel-menu:

Het vinkje voor de 1 betekent, dat de eerste functie/kromme is getekend, enzovoort.

In bovenstaand snelmenu zie je, dat er 2 functies en/of krommen gedefinieerd zijn.


Dit snelmenu heeft drie mogelijkheden:

  • Klik je met de linker muisknop het vinkje weg, dan verdwijnt de grafiek van de desbetreffende functie van het beeldscherm. Toepassing: Stel je wilt meerdere functies (afzonderlijk) bespreken. Definieer ze vooraf, en laat telkens alleen dat vinkje staan, waarvan je de grafiek wilt gebruiken.

  • Klik je met de rechter muisknop op een van de functienummers, dan verschijnt een pulldown-menu. Op de eerste regel staat de functieformule, daaronder de keuzemogelijkheden. Je kunt dan kiezen wat je met de functie wilt doen: onderhoud, bewegend onderzoek of analyse.








  • Ga je met de muis op een functienummer staan zonder te klikken, dan verschijnt het functievoorschrift als hint.





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina