Gebruik van een grafisch rekenmachine in de tweede graad



Dovnload 91.62 Kb.
Datum27.09.2016
Grootte91.62 Kb.
GEBRUIK VAN EEN GRAFISCH REKENMACHINE

IN DE TWEEDE GRAAD


Frequent gebruik van een grafische rekenmachine kan bijdragen tot het beter integreren van bepaalde deelgebieden van wiskunde.


Technieken voor het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden kunnen in een ander daglicht komen te staan. Vaardigheden zoals schattend rekenen, lezen van grafieken, schetsen van grafieken, grafisch benaderen van nulpunten, grafisch benaderen van snijpunten, van extreme waarden, … zullen aan belang winnen.
In de derde graad is het onderzoek van een reële functie nu vaak nodig om de grafiek zelf te kunnen tekenen. Met de beschikbare technologische hulpmiddelen zal men zich meer kunnen oriënteren op een probleem en een probleem verder analyseren zonder dat vooraf berekeningen moeten uitgevoerd worden om te komen tot de grafische voorstelling. De grafiek kan meer en meer het onderwerp zijn van een onderzoek.
In de tweede graad kunnen we de leerlingen met een GRM volgende vaardigheden aanleren bij de studie van reële functies :


  • de techniek en het nut van ‘inzoomen’ op grafieken ;

  • het kiezen van een relevant assenstelsel ;

  • het grafisch benaderen van nulpunten ;

  • het doorlopen van een grafiek ;

  • het aflezen van extreme waarden ;

  • het gebruiken en interpreteren van tabellen ;

  • een kritische ingesteldheid t.o.v. bekomen resultaten …

Het verwerven van deze vaardigheden kan geïntegreerd verlopen bij het oplossen van diverse oefeningen en toepassingen. Dit kan dan ook leiden tot meer inzicht in de begrippen.


Bij praktische problemen wordt er vaak met een beperkt domein en bereik gewerkt hoewel dit niet altijd geëxpliciteerd wordt. Het inzien van deze beperkingen is belangrijk voor het bepalen van de instellingen van het venster en het interpreteren van de grafiek.
Als leerlingen over een GRM beschikken kunnen ze er ook een gewoonte van maken de GRM zoveel mogelijk als controle-instrument te gebruiken.


Te verwerven basisvaardigheden met de GRM in de tweede graad


Formule

(voorschrift) invoeren

 Y = 

Tabel


Aanmaken

Verfijnen


TABLE


TBLSET

Grafiek

Laten tekenen

Venster kiezen/aanpassen

Volgen van punten op een grafiek

Inzoomen op een grafiek

GRAPH


WINDOW

TRACE


ZOOM ev. ZOOM IN

Snijpunten van grafieken


Grafisch (benaderend) aflezen

Numeriek bepalen

Vanuit tabel

TRACE ev. ZOOM, ZOOM BOX …

CALC optie : intersect

TABLE ev. TBLSET


Extreme waarden


Grafisch (benaderend) aflezen

Numeriek bepalen

Vanuit tabel

TRACE ev. ZOOM

CALC optie : minimum/maximum

TABLE ev. TBLSET



Nulpunten

Grafisch (benaderend) aflezen

Numeriek bepalen

Vanuit tabel


TRACE ev. ZOOM

CALC optie : zero

 TABLE ev. TBLSET




FUNCTIES VAN DE EERSTE GRAAD IN EEN VERANDERLIJKE


Leerplandoelstellingen (ASO/KSO/TSO) o.a.


  • De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.




  • De grafische betekenis van de coëfficiënten m en q in het voorschrift f(x) = mx + q uitleggen.




  • Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.




  • De tekenverandering van een eerstegraadsfunctie onderzoeken en interpreteren op de grafiek.




  • Een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende oplossen en het verband leggen tussen die oplossing en een passende grafische voorstelling.




  • Vraagstukken oplossen waarbij het verband beschreven wordt door een eerstegraadsfunctie.


STELSELS VAN TWEE VERGELIJKINGEN VAN DE EERSTE GRAAD

MET TWEE ONBEKENDEN
Leerplandoelstellingen (ASO/KSO/TSO) o.a.


  • Een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad met 2 onbekenden grafisch oplossen en interpreteren.




  • Het snijpunt van 2 rechten algebraïsch berekenen en grafisch interpreteren.



1 Betekenis van de coëfficiënten in y = mx + q
Onderzoeksactiviteit
a) Teken met de GRM (in één scherm) de grafieken van de functies :
y = 2x, y = 4 x, y = 6 x.
Opmerking
Voor het invoeren van de voorschriften zijn er meerdere mogelijkheden :


  • als afzonderlijke functies (en eventueel in verschillende lijnsoorten)




  • invoeren met behulp van een lijst al dan niet door gebruik te maken van accolades



Doe hetzelfde voor y = - 2 x, y = - 4 x, y = - 6 x.



De grafieken van deze functies zijn allemaal rechten die door de oorsprong gaan.
De rechte stijgt als m ……… en de rechte daalt als m ………
Wanneer is een rechte steiler dan een andere rechte?
b) Teken de grafiek van de functies y = 2 x - 5, y = 2 x – 1, y = 2x + 3
en y = 2x + 8 in één venster.
Wat stel je vast in vergelijking met de grafiek van y = 2x? …
Welke betekenis heeft q uit het voorschrift? …
c) Bepaal het functievoorschrift van 4 verschillende rechten, waarvan twee stijgend zijn en twee dalend zijn, en die allemaal door het punt (0,2) gaan. Controleer je antwoord door het maken van de grafieken.

2 Het nulpunt van een eerstegraadsfunctie bepalen


en grafisch interpreteren

De gekende techniek van het oplossen van eerstegraadsvergelijkingen kan hier gekoppeld worden aan het bepalen van het nulpunt van de overeenkomstige functie of aan het bepalen van het snijpunt van de rechte met de eerste coördinaatas (of de grafische interpretatie).

Bij een gegeven grafiek kan het nulpunt afgelezen worden. Dat is mogelijk voor gehele en afhankelijk van de eenheden voor een aantal rationale waarden. Aflezing in het algemeen kan maar benaderend zijn. Leerlingen worden op deze wijze geconfronteerd met een eerste vorm van benadering van een nulpunt.
Ze kunnen hier een voordeel ervaren van het werken met functievoorschriften en een algebraïsch algoritme voor het ‘exact’ oplossen van vergelijkingen.

Maar verder in hun studieloopbaan zullen ze geconfronteerd worden met situaties waarin een dergelijke werkwijze niet beschikbaar is en zullen ze hiervoor andere benaderingsmethoden gebruiken. Het grafisch benaderen van een oplossing is een eerste stap.


a) Zoek het nulpunt van eerst grafisch en daarna algebraïsch.

  1. Teken de functie en lees bij benadering het nulpunt af. Gebruik hiervoor [TRACE].



  2. Verifieer het resultaat in de tabel.
    Gebruik nu de tabel Table en 2nd [TblSet] om te verfijnen.



  3. Zoek nu algebraïsche het nulpunt en vergelijk de resultaten.




  1. Het nulpunt kan ook berekend worden als volgt 2nd [Calc] 2:zero
    Leftbound = …… Enter
    Rightbound = …… Enter
    Guess = …… Enter
    Antwoord : ……



  2. Ga nu naar het gewone venster en roep het antwoord terug op met 2nd [Ans] en zet het om naar een rationaal getal met Math 1:Frac ……



  3. Komt dit antwoord overeen met de algebraïsche oplossing?





3 Tekenverandering en ongelijkheden van de eerste graad

Probeer dit op twee verschillende manieren met grafische ondersteuning.
Mogelijkheid 1 Maak gebruik van [CALC] zero.
Mogelijkheid 2 Maak gebruik van [CALC] intersect.
Beschouw y = 2x + 3 en y = 7 en zoek het snijpunt van deze twee rechten.
Een schatting vinden we via Trace en eventueel gebruiken we Zoom 1: Zbox.
Voor een nauwkeuriger resultaat gebruiken we 2nd [Calc] 5:Intersect
First curve = …… Enter
Second curve = …… Enter
Guess = …… Enter
Intersection = het snijpunt heeft als coördinaten …………

4 Vraagstukken

CD’s ontlenen

Ann kan CD’s lenen in de bibliotheek. Hiervoor heeft ze jaarlijks een pasje nodig dat 6 EURO kost. Per geleende CD betaalt ze 0,5 EURO. In een platenzaak in haar buurt kan ze ook CD’s lenen. Een pasje voor een jaar kost daar slechts 2 EURO en per ontleende CD betaal je er 0,75 EURO.
Bepaal grafisch welke keuze je Ann zou aanbevelen : de bibliotheek of de platenzaak ? Waarom ?
Controleer door berekeningen.

Auto-onkosten


Voor de wagen van mijnheer Janssens bedragen de jaarlijkse kosten 1620 EUR (verzekering, belasting en afschrijving). Bovendien kost het rijden per km nog een 0,10 EUR voor benzine, olie en onderhoud.


  • Geef het verband tussen de totale kosten per jaar en het totaal aantal km dat per jaar gereden wordt.

  • Stel deze functie grafisch voor en bereken de functiewaarden van 5000 t.e.m. 50 000 met stappen van 5000.

  • Vorig jaar reed mijnheer Janssens 17 000 km. Wat was de kostprijs per km?

  • Mijnheer Janssens vermoedt dat hij dit jaar ongeveer 22 000 km zal rijden met zijn wagen. Hoe groot is de kostprijs per km nu?

  • Kun je een functievoorschrift bepalen die de kostprijs per kilometer weergeeft?

5 Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met 2 onbekenden grafisch oplossen en interpreteren


Los het volgende stelsel op in

Squash
In de gemeente waar Stijn woont zijn twee squash-centra. Nu Stijn een cursus squashen gevolgd heeft, denkt hij eraan om zich lid te maken van één van de twee sportclubs. In sportclub ‘Neverloes’ betaal je 86 EUR lidgeld per jaar en 7 EUR per squashbeurt. In sportclub ‘Alweiswin’ betaal je 134 EUR lidgeld per jaar en 5 EUR per squashbeurt.

Welke club raad jij Stijn aan als hij maandelijks één keer squasht?

En welke club als hij wekelijks één keer squasht?

Vanaf wanneer is de ene sprortclub te verkiezen boven de andere?

FUNCTIES VAN DE TWEEDE GRAAD IN EEN VERANDERLIJKE

Leerplandoelstellingen (ASO/KSO/TSO) o.a.


  • de grafiek van f(x) = a(x - )² +  (grafisch) opbouwen vanuit de parabool met vergelijking y = x² .




  • de nulpunten van een tweedegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.




  • het verloop onderzoeken van een tweedegraadsfunctie.




  • vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een vergelijking van de tweede graad in één onbekende of waarbij het verband beschreven wordt door een tweedegraadsfunctie, i.h.b. extremumvraagstukken oplossen.




  • vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een ongelijkheid van de tweede graad in één onbekende.

1 f(x) = a(x - )² +  (grafisch) opbouwen
De hoofdbedoeling is de grafiek grafisch op te bouwen vanuit de parabool met vergelijking

y = x2 en de betekenis van a,  en  te ontdekken. Op de volgende pagina’s vind je een voorbeeld van een werktekst voor de leerlingen. De bedoeling is dat de leerlingen zelfstandig werken. De leerkracht overloopt achteraf de invuloefeningen.


Onmiddellijk daarop kan de opgedane kennis getoetst worden door het functievoorschrift te zoeken bij een gegeven grafiek.

WERKTEKST VOOR HET GRAFISCH OPBOUWEN VAN

f(x) = a(x - )² + 
Grafieken van y = x2 en y = -x2
Teken in één assenstelsel deze twee functies met een GRM
en vul onderstaande gegevens verder aan.
De grafiek van y = -x2 is het …………… van y = x2 t.o.v. ………

Beide grafieken hebben een symmetrie-as nl. …………

De top van beide grafieken is …………

y = x2 bereikt een minimum voor x = …, we spreken van een ……parabool.

y = -x2 bereikt een maximum voor x = …, we spreken van een ……parabool.

Grafieken van y = ax2
Teken in één assenstelsel de grafiek en bekijk de tabelwaarden van met een GRM en vul onderstaande gegevens verder aan.
Als a > 1, dan vinden we de grafiek van y = ax2 door de grafiek van y = x2 verticaal ………………………………………………….. met een positieve factor a.

De opening wordt …………


Indien 0 < a < 1 dan is dit te beschouwen als een verticale inkrimping,
de opening wordt …………

Teken in één assenstelsel de grafiek en bekijk de tabelwaarden van met een GRM en vul onderstaande gegevens verder aan.


Als a < -1, dan vinden we de grafiek van y = ax2 door de grafiek van y = -x2 verticaal ………………………………………………….. met een positieve factor -a of |a|.
Indien -1 < a < 0 dan is dit te beschouwen als een verticale inkrimping.
De grafieken blijven ………….

Voor a > 0 hebben we een ……parabool en voor a < 0 hebben we ……parabool.

Voor elke functie y = ax2 geldt f(-x) = ….. dus deze functies zijn allen ……. en de y-as blijft de …………………as.

De top van de grafieken is nog steeds ………



Grafieken van y = ax2 + 
Teken in één assenstelsel de grafieken van met een GRM en vul onderstaande gegevens aan.
We vinden de grafiek van y = ax2 +  door de grafiek van y = ax2 naar ……….. ( > 0) of naar ………… ( < 0) te verschuiven over een afstand ……

De grafiek is nog steeds een ………..

Door de verschuiving blijft de symmetrie-as ongewijzigd en wordt de top verplaatst naar het punt ………

Grafieken van y = a(x – )2
Teken in één assenstelsel de grafieken van de functies y = x2 , y = (x – 2)2 en
y = (x + 3)2 met een GRM en vul onderstaande gegevens aan.
We vinden de grafiek van y = a(x – )2 door de grafiek van y = ax2 naar ……… ( > 0)
of naar ……… ( < 0) te verschuiven over een afstand ……

De grafiek is nog steeds een …………

Door de verschuiving wordt de symmetrie-as verplaatst naar de rechte ……… en de top naar het punt ……

Grafieken van y = a(x – )2 + 
Door welke transformaties kunnen we van de grafiek van y = -2x2 overgaan op de grafiek van y = -2(x – 3)2 + 1 ? Illustreer dit met een tekening op papier.

Om de grafiek van y = a(x – )2 +  af te leiden uit de grafiek van y = ax2, voeren we twee verschuivingen uit :

1 Een verschuiving naar rechts ( ……) of naar links (……)
over een afstand ……
Hierdoor wordt y = ax2 afgebeeld op y =


    1. Een verschuiving naar boven (……) of naar onder (……)
      over een afstand ……
      Hierdoor wordt y = a(x – )2 afgebeeld op y =

De grafiek van y = a(x – )2 +  is dus een parabool.

Door de verschuivingen wordt de symmetrie-as verplaatst naar de rechte …….

en de top naar het punt ……

De vergelijking y –  = a (x – )2 of y – y0 = a (x – x0)2 wordt ook wel eens de topvorm
van een parabool genoemd met (, ) of (x0, y0) de coördinaten van de top.
Voorschriften opstellen a.h.v. een grafiek
H
2
ieronder vind je een aantal grafieken van tweedegraadsfuncties
waarvan je het voorschrift moet zoeken.




1

3

4

Oplossing


Ter info
Het rooster verkrijg je door 2nd [Format] GridOn.
Het kijkvenster is bepaald door Zoom 4:ZDecimal.


  1. Nulpunten en het verloop

De algebraïsche berekeningen van de nulpunten en het bepalen van het verloop van een tweedegraadsfunctie kunnen grafisch worden geïllustreerd.

M.b.v. Trace kan een grafiek doorlopen worden en onderaan het scherm kan men de zowel de x- als de y-waarden aflezen. Eventueel kan men via Zoom het gebied verkleinen (of vergroten).
Een mogelijke interpretatie van het bepalen van nulpunten kan zijn de doorsnede bepalen van de grafiek met niveaulijn nul. Dit laat een veralgemening toe naar het bepalen van de snijpunten met andere niveaulijnen.

Onderzoek het verloop van de volgende tweedegraadsfuncties (domein, bereik, nulpunten, tekenverandering, stijgen en dalen, extreme waarden).

Doe dit eerst op papier (algebraïsch) en verifieer daarna de antwoorden met de grafiek op het GRM (grafisch).


  1. y = x² - 5x + 6

  2. y = -x² + 2x - 8


3 Vraagstukken

Affiches


Een bedrijf wil affiches maken met een oppervlakte van 2 m². Deze affiches worden bedrukt zodat er aan de beide zijkanten en aan de bovenkant een witte strook van 15 cm overblijft. Aan de onderkant is deze strook 25 cm breed. Het bedrukte deel is een vierkant.
Noteer een formule voor de oppervlakte als functie van de zijde.
Maak de bijhorende tabel en bepaal met behulp van deze tabel een waarde voor de zijde waarbij de oppervlakte gelijk is aan 2 m².
Teken dan de grafiek en controleer op de grafiek af bij welke waarde(n) van z de oppervlakte gelijk is aan 2 m² (benaderen tot op een decimaal door inzoomen).

Bereken ook de waarde(n) van z waarbij de oppervlakte gelijk is aan 2 m².



Ongelijkheid

Los volgende ongelijkheid op door het tekenen van de grafieken van de bijhorende eerste- en tweedegraadsfunctie : x² - 3 x + 4 < 7 – 2x.

Productgrafiek

Gegeven :











Maak een schets van de productgrafiek van de voorgestelde grafieken.

Stel de voorschriften op voor de functies die horen bij de voorgestelde grafieken.


Teken de productgrafiek met de GRM. Controleer met je schets.

Verspringen


Een leraar wiskunde was in zijn jonge jaren een goede verspringer. Eén van zijn sprongen werd gegeven door volgende formule :
.
Hierin is a de horizontale afstand vanaf de afzet (in meter) en h de hoogte (in meter). Kies een passende vensterinstelling en voer de formule in.
Bepaal op 2 verschillende manieren.
Na hoeveel meter landde de leraar weer met beide benen op de grond ?

Wat was de maximale hoogte van de leraar tijdens de sprong ?





Aanverwante onderwerpen die ook met een GRM kunnen worden bestudeerd


  • Elementaire functies en hun transformaties




  • De algemene sinusfunctie




T3 Vlaanderen





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina