Geschikte oefenstof valt te vinden in Winston ch. 19. 5: opg. 2 opg. 5 (zie uitwerking); review problems. Verder: Opgave 1



Dovnload 11.44 Kb.
Datum23.08.2016
Grootte11.44 Kb.
Geschikte oefenstof valt te vinden in Winston ch. 19.5: opg.2 opg. 5 (zie uitwerking); review problems.
Verder:
Opgave 1
Op een boorplatform staan drie grote boorinstallaties, die ieder voor zich aan storingen onderhevig zijn. Voor storingen onder het wateroppervlak moet een gespecialiseerd duikteam worden opgeroepen, dat per helikopter wordt overgevlogen. De kosten van een dergelijke operatie zijn opgebouwd uit 50.000 gulden 'voorrijkosten' vermeerderd met 25.000 gulden per installatie. De capaciteit van het duikteam is zodanig dat de kapotte installaties na precies één week weer operationeel zijn.
Om veiligheidsredenen moeten alle boorinstallaties tijdens de onderhoudswerkzaamheden worden stilgelegd. Zodoende kan het voordelig zijn om meerdere installaties tegelijkertijd te laten repareren. Aan de andere kant zijn ook kosten verbonden aan het stilstaan van één of meer installaties. Deze kosten bedragen 50.000 gulden per installatie per week. Aan het begin van iedere week moet op grond van het aantal buiten bedrijf zijnde installaties besloten worden of het duikteam zal worden opgeroepen.
De levensduur van een boorinstallatie, d.w.z. de tijd die verstrijkt tussen twee opeenvolgende storingen waarvoor het duikteam moet worden opgeroepen, bezit een geheugenloze verdeling met een gemiddelde van 5 weken. Met andere woorden, de kans dat een willekeurige installatie in een willekeurige week kapot gaat, bedraagt 20%, mits deze installatie in gebruik is wel te verstaan.
(a) Dit probleem kan worden gemodelleerd als een Markov beslissingsprobleem. Wat definieert u als toestanden i, beslissingen d en optimale waardefunctie V(i)?
(b) Bepaal de verwachte directe kosten r(i,d) en overgangskansen p(j|i,d) voor iedere toestand i en beslissing d.


  1. Formuleer de optimaliteitsvergelijkingen bij een verdisconteringsfactor van =0.95 per week.

Op dit moment hanteert het booreiland de volgende werkwijze: als aan het begin van de week één of meer installaties buiten bedrijf zijn, worden alle installaties stilgelegd en het duikteam opgeroepen om de kapotte installatie(s) te repareren.


(d) Bereken de huidige verwachte verdisconteerde kosten over een oneindige horizon, als op tijdstip t=0 alle installaties operationeel zijn.
(e) Is de huidige strategie optimaal? Zo niet, geef dan minstens één betere strategie.
(f) Geef een LP-formulering waarmee de optimale strategie kan worden berekend.


  1. Hoe kunt u de optimale strategie uit de oplossing van dit LP-probleem aflezen?


Opgave 2
De veerdienst over de IJssel tussen Wilsum en Zalk wordt al jaren met opheffing bedreigd. De eigenaars van deze veerdienst hebben letterlijk en figuurlijk moeite hun hoofd boven water te houden, en zoeken naar mogelijkheden om efficiënter te kunnen opereren. Dit is de voornaamste reden dat de veerboot geen vaste vertrektijden heeft. Maar áls de veerboot vertrekt, dan is dat altijd op een veelvoud van 15 minuten (bijv. 11.00, 14.15 of 16.30 uur)
De veerboot doet er ruim 10 minuten over om van Wilsum naar Zalk, danwel van Zalk naar Wilsum te varen. De kosten hiervan bedragen ongeveer 50 cent per keer. Op de veerboot is ruimte voor maarliefst één auto, die voor de bescheiden prijs van één rijksdaalder wordt meegenomen. Voetgangers en fietsers mogen gratis mee, maar hebben daarentegen geen enkele invloed op de beslissing om al dan niet naar de overkant te varen.
Omdat er op geringe afstand van de veerdienst een brug is aangelegd, gaan arriverende automobolisten pas mee indien (i) de veerboot op dat moment aanwezig is bij danwel op weg is naar de aanlegplaats, en (ii) er nog geen andere auto’s staan te wachten. Dit gedrag kan in zowel Wilsum als Zalk worden geobserveerd. De aankomstprocessen in Wilsum en Zalk zijn beide Poisson processen met een gemiddelde van 2 resp. 4 auto’s per uur.
De eigenaren van de veerboot vragen zich af onder welke omstandigheden ze van Wilsum naar Zalk, danwel van Zalk naar Wilsum moeten varen, teneinde de verwachte verdisconteerde winst per kwartier (=0.90) te maximaliseren. Dit probleem kan worden gemodelleerd als een Markov beslissings probleem in discrete tijd, waarbij de toestand (i,j,k) op tijdstip t{0,1,2,3,...} correspondeert met de locatie i{W,Z} van de veerboot, het aantal wachtende auto’s j{0,1} in Wilsum, en het aantal wachtende auto’s k{0,1} in Zalk.


  1. Waarom zullen de toestanden W01, W11, Z10 en Z11 nooit voorkomen?




  1. Benoem de resterende toestanden i en mogelijke beslissingen d behorende bij dit Markov beslissingsprobleem. Welke combinaties van toestanden en beslissingen liggen al bij voorbaat vast, en waarom?




  1. Geef de matrix met overgangskansen p(j|i,d) en verwachte directe opbrengsten r(i,d).




  1. Formuleer de optimaliteitsvergelijkingen.




  1. Bepaal m.b.v. policy-iteration de optimale strategie voor de veerbootexploitanten, en beschrijf in woorden wat deze inhoudt.




  1. Geef een LP-formulering voor het bepalen van de optimale strategie, indien als doelstelling minimale gemiddelde kosten per tijdseenheid gehanteerd wordt.




De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina