Hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten



Dovnload 93.7 Kb.
Datum25.07.2016
Grootte93.7 Kb.

Werkblad hoofdstuk 6: Machten met rationale exponenten

Hoofdstuk 6:
Machten met rationale exponenten

6.1 n-de machtswortels - boek p.190-192











definitie van de n-de machtswortel van een reëel getal

Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1,



dan geldt: w is een n-de machtswortel uit a  ………………………
a) n is oneven (derdemachtswortel, vijfdemachtswortel, …)
voorbeelden:
want

want ……………

want ……………

want ……………
Besluit: als n oneven is (derdemachtswortel, vijfdemachtswortel, …)



  • dan kunnen we van positieve / negatieve reële getallen
    de n-de machtswortel berekenen

  • dan heeft elk reëel getal a ………… n-de machtswortel:


b) n is even (vierkantswortel, vierdemachtswortel, …)
voorbeelden:
want

want ……………

want ……………

want ……………
Besluit: als n even is (vierkantswortel, vierdemachtswortel, …)



  • dan kunnen we van strikt positieve / strikt negatieve reële getallen de n-de machtswortel berekenen

  • dan heeft elk strikt positief getal a ………… n-de machtswortel:
    de positieve wortel ……… en de negatieve wortel ………






2.



klassikale oefening: p.191 oefening 2
voorbeeldoefening:


3.

klassikale oefening: p.192 oefening 4 (4,5,6)
voorbeeldoefening:


de vijfdemachtswortel voer je in je GRM als volgt in: 5-[MATH]-5





zelfstandige oefeningen voor thuis (in het oefeningenschrift):


    • p.201 oef.11

    • p.201 oef.13 antwoorden: p.347






6.2 n-de machtswortelfunctis - boek p.193-197





4.



vergelijking van de functie f met voorschrift y=x³ en g met voorschrift y=
vul deze tabellen aan van de twee functies f en g:


x

0

1

2

3

4

5

f: y=x³





















x

0

1

8

27

64

125

g: y=






















  • Je merkt dat de originelen (x-waarden) en de functiewaarden (y-waarden) in beide tabellen omgewisseld zijn.

  • Dit is te verklaren: “de derdemachtswortel berekenen uit een getal” is de inverse (omgekeerde) bewerking van “de derde macht berekenen van een getal.



  • We vinden het voorschrift van g door in het voorschrift van f de letters x en y te verwisselen:

voorschrift van f: y=x³

verwissel x en y:

druk y uit in functie van x:


We noemen de functie g de inverse functie van de functie f: g=f-1


  • grafiek van de functie f en de inverse functie g: zie boek p.194







5.



we zoeken de inverse functie g van de functie f met voorschrift y=x4


  • vul deze tabel aan van f:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

f: y=x4

























  • verwissel nu x en y:

x






















y

-3

-2

-1

0

1

2

3




  • We merken: bij één waarde van x, bijv. x=81, horen 2 y-waarden: …… en …

 We hebben dus geen functie meer.



De definitie van een functie luidt: een functie is een verband tussen twee verander-

lijken zodat bij elk origineel (x-waarde) hoogstens één functiewaarde (y-waarde) hoort.
 We zeggen dat de functie f met voorschrift y=x4 niet inverteerbaar is.



  • Opmerking: de functie f is niet inverteerbaar aangezien bij twee verschillende x-waarden dezelfde y-waarde hoort (bijv. bij x=-3 en x=3 hoort de y-waarde 81).

    Als je bij deze functie f de x- en y-waarden verwisselt, dan horen bij 1 x-waarde (x=81) twee y-waarden (-3 en 3), wat ingaat tegen de definitie van een functie. De omgekeerde relatie van f is dus geen functie meer: f is niet inverteerbaar.




We vinden het voorschrift van g door in het voorschrift van f de letters x en y te verwisselen:




  • voorschrift van f: y=x4 en




  • verwissel x en y: en




  • druk y uit in functie van x:



6.


theorie: inverteerbaarheid van een functie – inverse functie
een functie f is inverteerbaar



bij twee verschillende x-waarden hoort maximaal één y-waarde




we bekomen dan de inverse functie van f: g = f-1


  • de grafiek van f-1 is het spiegelbeeld van de grafiek van f ten opzichte van de rechte y=x (zie onderste grafiek in boek p.195)




  • de inverse functie van de machtsfunctie




    • n is oneven (3, 5, 7, …):

de functie is inverteerbaar; de inverse functie is


bijvoorbeeld: de inverse functie van is


  • n is even (2, 4, 6, …):

de functie is niet inverteerbaar


Als we het domein beperken tot positieve x-waarden, dan is de functie wél inverteerbaar (zie uitwerking in punt 5).


De inverse functie is dan .
bijvoorbeeld: de inverse functie van voor is

7.



klassikale oefening: p.202 oefening 16 (2,4)





zelfstandige oefening: p.202 oefening 18




denkoefening: p.202 oef.19
Zo ja, verklaar. Zo neen, geef twee tegenvoorbeelden.



6.3 machten met rationale exponenten - boek p.198-200





    1. machten met gehele exponenten




8.


definitie van een macht met gehele exponenten:
een macht an is een getal


  • met a het grondtal (a is een reëel getal: positieve getallen, negatieve getallen, breuken, decimale getallen, …

  • en n de exponent (n is een natuurlijk getal)




voorbeelden:


  • 4³ = 4.4.4 = 64
    85 = 8.8.8.8.8 = 32768



  • 70 = 1








algemene definities:


  • an = …………………………


met a een reëel getal
en n een natuurlijk getal ≠ 0



  • a0 = ……………

    met a een reëel getal /




  • …………


met a een reëel getal
want …………………………
……………………………………………
en n een natuurlijk getal






9.


eigenschappen van machten met gehele exponenten:


voorbeelden:



















algemene definities:
de grondtallen a en b zijn reële getallen

de exponenten m en n: gehele getallen (…,-2,-1,0,1,2,…)


























    1. machten met rationale exponenten




9.




definitie van een macht met rationale exponenten:
een macht is een getal


  • met het grondtal a een strikt positief reëel getal (a>0)

  • en de exponent een rationaal getal = een breuk

met m een geheel getal (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)

en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 (n = 2, 3, 4, 5, …)


voorbeelden:



of want


we kunnen ook schrijven:



  • want

we kunnen ook schrijven:





  • of omgekeerd: de macht met rationale exponent
    kunnen we schrijven als



algemeen:


  • ……………

met a een reëel getal >0


m een geheel getal
n een natuurlijk getal ≠ 0, ≠ 1



  • of omgekeerd: de macht met rationale exponent
    kunnen we schrijven als


 we onthouden:



Waarom moet het grondtal a van een macht met rationale exponenten
strikt positief zijn?





10.


eigenschappen van machten met rationale exponenten:
de eigenschappen van machten met gehele exponenten gelden ook
voor machten met rationale exponenten: zie kader boek p.200

voorbeeld:

11.



klassikale oefening: p.203 oefening 20
voorbeeldoefening:


12.



klassikale oefening: p.203 oefening 23 (5,6,7,8)
voorbeeldoefening:

13.



klassikale oefening: p.203 oefening 21 (2,3,4)
voorbeeldoefening: tik je in je GRM als volgt in: (2/7)^(-8/5)


14.



klassikale oefening: p.200 oefening 10
voorbeeldoefening:

reken dit uit met je GRM

het resultaat is: x=1,109804359… of




15.




klassikale oefening: p.204 oefening 24





denkoefening voor de vrijwilligers: p.204 oef.25
+ leg je antwoord uit door een berekening!






zelfstandige oefening voor thuis (in oefeningenschrift):


  • p.206 oefening 29

  • p.206 oefening 32









De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina