Iide wereld voor newton 1“Wetenschap”: experimenten en theorieën



Dovnload 89.03 Kb.
Datum17.08.2016
Grootte89.03 Kb.

IIDE WERELD VOOR NEWTON

1“Wetenschap”: experimenten en theorieën

Waarnemen v/d avondhemel


  • Aristoteles: Geocentrisme, sterren op uitspansel, planeten op kristallen schillen, cirkelvormige banen, aarde stil.

  • Aristarchus: Heliocentrisme, planeten eigen omloopsnelheid, aarde draait rond eigen as.

  • Ptolemaeus: Geocentrisme, planeten op cirkelvormige banen, draaien op eigen epicirkels (80!), centrum draagcirkels = denkbeeldig punt.

Grieken: “Aarde bolvorig”.  omtrek?

→ Erathosthenes: Syene op keerkring, op 22/6 schijnt zon loodrecht in waterput. 800km verder, in Alexandrië, schaduw stok meten  hoek tss stok en invallend licht : 7,2°  omtrek aarde is (360/7,2) 50x de afstand tss Syene en Alexandrië = 40.000 km! (figuur blz. 11)


  • Copernicus (1543): De revolutionibus orbium caelestium libri VI. Heliocentrisme, cirkelvormige banen met kleinere epicirkels (30).

  • Brahé: nieuwe nauwkeuriger meetresultaten.

  • Kepler (1571-1630): Elliptische banen, 3 wetten.

  • Galilei (1564-1642): Gebruik telescoop, Ptolemaeus’ model verwerpen (volle venus-fase, 1613).


Wetten van Kepler:

  • Hemellichamen beschrijven elliptische banen rond een centraal hemellichaam dat zich in één der brandpunten bevindt;

  • De verbindingslijn tussen het hemellichaam in het brandpunt en het omcirkelend lichaam beschrijft in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakken;

  • ; R= gem. afstand omwentelingslichaam - centraal lichaam;
    T= Omwentelingsperiode.

 deze zijn universeel en kunnen dus gebruikt worden om voorspellingen te doen!


Wetenschap:

  1. Waarnemingen (vaststellingen, gekwantiseerde meting, experiment). Synthetiseren  theorieën, modellen  voorspelbaarheid  unifiëring;

  2. Goede theorie/model voldoet aan: weerlegbaarheid, correspondentieprincipe;

  3. Theorieën/modellen zijn voorwaardelijk binnen de nauwkeurigheid van de waarnemingen.

  4. Men kan nooit bewijzen dat een theorie “juist” is, enkel weerleggen.

  5. Belang van creativiteit en logica.

2Atomen





  • Dalton (1766-1844): chemische reacties steeds gekenmerkt door eenvoudige en onveranderlijke gewichtsverhoudingen.

  • Brown (1773-1858): microscopische deeltjes vertonen chaotische beweging (“Brownse” beweging) in water  water bestaat uit bewegende atomen! (bew.: Einstein, kinetische warmtetheorie die steunt op atomair model).

Kleinste entiteit die alle eigenschappen v/e substantie in zich draagt = molecule.


Alle gassen die uit 1 element bestaan zijn di-atomair (uitz.: edelgassen).

Atoommodellen:


  • 1910: kern (10.000x kleiner dan atoom) met e--orbitalen rond (planetair model).

  • Later: Bohr → kern is deelbaar is p+ en n0.

  • Nu: kwantumfysica ipv. planetair model.

Aggregatietoestanden:


  • Vast: atomen aan elkaar verankerd, geordende stapeling.

    • Op grote schaal bij mono-kristallen;

    • Op kleine schaal (korrels) bij metalen → poly-kristallijne vorm.

    • 3e variant: amorf materiaal = geen ordening.

  • Vloeibaar: geen onderlinge verankering, doch kleine wijziging in intermoleculaire afstanden. Chaotische beweging v/d atomen en moleculen.

  • Gas: chaotische beweging, grote intermoleculaire afstanden. Moleculen botsen tegen wand van recipiënt → druk. Vb. lucht: 1023 inslagen per cm², per seconde = 1 bar = 1000 HPa.


Temperatuur = ? → Warmte leidt tot versnelling van de atomaire/moleculaire beweging. Bij gassen: verband tussen temperatuur (T) en drup (P) → gaswet:

Macroscopisch is de atomaire beweging niet waar te nemen, tenzij via temperatuur of druk (bij gassen) omdat gemiddeld gezien er rust is.


In vaste toestand is er trilling van de atomen, dus ook beweging.

Bewijzen?


Atomen kan met niet “zien”.

  • Oorzaak: Zichtbaar licht = E-M golf met λ = 5.10-4m, d.i. 5000 groter dan de atomen zelf (cfr. golf 50m met krukje 1cm erop)  gen reflectie v/d atomen mogelijk.

  • Oplossing 1: λ kleiner maken (X-stralen). Maar: geen lenzen om deze te zien, dus gereflecteerde golf kunnen we nog steeds niet “zien”. Bij monokristallijne materialen treedt wel diffractie op. (p. 37, fig. 2.3).

    • Voorwaarde van Bragg: d.sin α = n.λ (fase, pos. interf.)

d.sin α = (m + ½).λ (tegenfase, neg. interf.)

  • Oplossing 2: Gebruik maken v/h golfkarakter van elektronenstromen → elektronenmicroscoop, elektrische veldwerking op ψ-golven om lenswerking na te bootsen.

  • Oplossing 3: Scanning-tunneling microscoop (p. 38, fig. 2.4).

Atoom = zeer ijl. (kernafmeting = 1/10.000e v/h totaal).




IIIDE NEWTONIAANSE WERELD: DETERMINISME

    1. Hoe bewegen de voorwerpen

Aristoteles


  • 4 “natuurlijke bewegingen” en 4 basiselementen

    • vast lichaam dat valt (→aarde);

    • vloeistof die bergafwaarts stroomt (→water);

    • lucht die stijgt (→lucht);

    • vlammen die omhoog lekker (→vuur).

  • Basiselementen streven naar bepaalde natuurlijk rustplaats.

  • Verhouding v/d elementen in een voorwerp bepaalt de beweging.

  • “Onnatuurlijke” bewegingen moet men zelf forceren (duwen, gooien,…) → “gedwongen beweging”.

  • Naast natuurlijke en gedwongen: “hemelse beweging” om uit “ether” bestaande hemellichamen te beschrijven (cirkelvormige bewegingen rond aarde).

Ontkrachting


  • Als in luchtledige buis bolletje isimo (veel lucht) en bolletje ijzer (veel aarde) met zelfde grootte vallen, dan komen ze tegelijk neer → A. voorspelt dat ijzer sneller valt!

  • Galilei: knikker op hellend vlak (fig. p. 45). Denk wrijving weg (revolutionair!).

    • Vlak neerhellend (α < 0): balletje versnelt. Hoe groter helling, hoe groter versnelling.

    • Vlak opgaand (α > 0): balletje vertraagt. Hoe groter helling, hoe groter vertraging.

    • Vlak waterpas (α = 0): geen versnelling/vertraging → als balletje in beweging komt blijft het doorrollen!

 eerste experiment waarbij waarnemingen aangevuld werden met zorgvuldig uitgekiende experimenten en kwantitatieve metingen.

 eerste die experimentele voorwaarden stelde (wrijving 0).



De inertiewet


Descartes: niet enkel wrijving wegdenken, ook luchtweerstand en gravitatie.

Dit leidde tot de wet der inertie:



Een voorwerp dat niet onderworpen is aan uitwendige krachten zal zijn bewegingstoestand, zijn snelheid, onveranderd behouden.

Snelheid en versnelling in een Cartesisch assenstelsel


Een vector heeft een amplitude ( |r| of |OP| ) en een richting.

  • Cartesiaans assenstelsel: 2 niet evenwijdige assen (meestal loodrecht), x en y coördinaten bepalen de vector volledig. P(x,y).

  • 3D: 3 coördinaten. P(x,y,z).

  • Poolcoördinaten: amplitude = r; richting = hoek θ, gemeten tov. basisrichting x. P(r, θ).

  • 3D: sferische poolcoördinaten, 2 hoeken en 1 lengte. P(r, θ1, θ2).

  • Verband Cartesische vs. poolcoördinaten:

    • r² = x² + y²

    • tg θ =

    • x = r . cos θ

    • y = r . sin




  • Eenheidsvectoren:

    • Cartesisch: en = x. + y.

    • Poolc.: en ; = r.




  • Toepassing: opstellen vgl. ellips in poolcoördinaten (zie fig.3.1.1 p. 52bis).

    • Definitie ellips: r + r’ = 2a.

    • In ΔFPF’: cosinusregel (a² = b² + c² - 2.b.c.cosA):

      • r'² = r² + (2.εa)² - 4.r.εa.cos θ

(r, θ poolcoördinaten met oorsprong F en grote as als ref.richting)

    • 2a = r + r’  r’² = (2a – r)² = 4a² + r² - 4.a.r

    • r² + (2.εa)² - 4.r.εa.cos θ = 4a² + r² - 4.a.r



    • uitgaande van de kleine as wordt dit:




  • Verplaatsing van een voorwerp beschrijven: optellen van vectoren.

= ++…+


  • Snelheid: is een vector dus heeft richting en amplitude!

    • , grafisch: rico v/d verbindingslijn tss P1 en P2.

    • , grafisch: rico raaklijn in een punt.

    • [v] = m/s




  • Verandering in de snelheid = versnelling (eveneens een vector)



    • Als het voorwerp vertraagt, dan is dit een versnelling met tegengestelde richting tov..

    • Als de amplitude vangelijk blijft en enkel de richting wijzigt, spreekt men eveneens van een versnelling.

    • [a] = m/s²

  • Lineaire snelheidstoename  constante versnelling!

    • ( is tijdsonafhankelijke vector)






  • Herformulering wet der inertie:

Een voorwerp dat niet onderworpen is aan krachten, ondergaat geen versnelling.

Snelheid en versnelling in poolcoördinaten


Planeetbewegingen → ellipsen → benaderen door cirkels → poolcoördinaten!

  • Eenheidsvectoren: en ;

  • Cirkelvormige beweging: |r| constant veronderstellen.




Tijdwijziging van de eenheidsvectoren en bij een cirkelvormige beweging.



  • Richtingsverandering van in de tijd is volgens de (loodrechte) eenheidsvector ;

  • Amplitudewijziging in de tijd =



  • Als we dit delen door Δt en dan Δt naar nul laten gaan bekomen we:

;

  • We noemen de hoeksnelheid van de cirkelvormige beweging, ook:

; [ω] = rad/s (opm.: ω is geen vector!)

  • Baansnelheid:



  • Opm.: eenheidsvectorwijzigt in de tijd, nl. zijn richting verandert maar zijn amplitude blijft constant. Deze draaiing volgt uit:

Dus: alswijzigt in de tijd is dit volgens richting !

Omgekeerd: tijdswijziging gebeurt volgens richting :

(uit figuur 2: amplitudes vergelijken)

(want en eenheidsvectoren)

en (en tegengesteld van richting)


↔ Bij Cartesische coördinaten behouden de eenheidsvectoren steeds hun richting!
(Radiale) versnelling:



  • Richting: tegengesteld aan plaatsvector r, dus naar het centrum 0 gericht.

  • Amplitude:

Als men r constant houdt (cirkelvormig) en ω laat variëren (dus niet eenparig), dan zal naast de radiale ook een tangentiale component krijgen ():



    • at = lengte tangentiale component

ar = lengte radiale component

    • ()

    • (v=r.ω (met r cte) en )

    • dus:

Algemene geval:

  • Snelheid:






  • Versnelling:



De valbeweging


  • Bij verwaarlozing van de luchtweerstand vallen 2 willekeurige voorwerpen samen omlaag, ongeacht hun gewicht of samenstelling.

  • Valbeweging = rechtlijnig → vectoren steeds verticaal gericht → enkel de amplitudes zijn relevant.

  • Op aarde vallen alle voorwerpen met a = 9,8 m/s²






1Waarom bewegen voorwerpen


Beweging tov. wat? → oorsprong referentiestelsel.

Wet der inertie geherformuleerd: er bestaan referentiestelsels waarin de beweging van een voorwerp rechtlijnig is met constante snelheid of waarin dit voorwerp in rust is, indien geen uitwendige krachten inwerken op dit lichaam.

Inertiële referentiestelsels

Kracht


Kracht is een vector. Als ze inwerkt op een voorwerp heeft ze een versnelling tot gevolg.

Verband tussen kracht, massa en versnelling


  • : zowel amplitude (evenredig) als richting (gelijk).

  • Massa = hoeveelheid materie = maat voor de inertie van een voorwerp.



2e Wet van Newton: de bewegingswet


  • ([a] = m/s²; [F] = N; [m] = kg

  • 1N = kracht nodig om een massa van 1kg een versnelling van 1m/s² te geven.

  • Deze wet is onafhankelijk van de keuze van het inertieel referentiestelsel! Bewijs:

    • Stel 2 stelsel: S en S’. S’ beweegt met constante snelheidtov. S.

    • Voorwerp beweegt aan constante snelheid tov. S.

    • Waarnemer in S’: snelheid voorwerp =  ook is cte.

    • Bij t = 0 laten we 0 en 0’ samenvallen, alsook x-assen.

    • Op willekeurig tijdstip t is 0’ |vt| verwijderd van 0.

    • Verband coördinaten beide stelsels

 Versnelling invariant (kenmerk Newtoniaanse mechanica)


Gewicht


Het gewicht van een voorwerp is de netto gravitatiekracht uitgeoefend op het voorwerp door alle andere objecten.

  • Gewicht wordt uitgedrukt in N ( massa: kg; F=m.a; a=9,8m/s² op aarde).



3e Wet van Newton: actie en reactie


Krachten treden altijd op in paren. Telkens een voorwerp een kracht uitoefent op een tweede voorwerp, oefent het tweede een kracht uit op het eerste. Beide krachten hebben dezelfde grootte en zijn tegengesteld gericht.



  • Vb. 2 knikkers met verschillende massa:

    • (F21 is kracht uitgeoefend door k2 op k1)

    • (ui is snelheid vóór botsen, vi is snelheid ná)



(lid aan lid optellen)



(actie=reactie →vectorsom is 0)
Behoud van het lineair moment: Bij botsen behouden 2 voorwerpen hun lineair moment hoewel hun individuele snelheden wijzigen.

(basiswet van de Newtoniaanse mechanica)


Newton en de auto




Gewicht van de auto

Kracht uitgeoefend dr auto op weg

Reactiekracht van weg op auto

Kracht door luchtwrijving

Kracht t.g.v. rolweerstand

Kracht van banden op het wegdek

Reactiekracht v/h wegdek op het wiel: aandrijvende kracht.

  • en neutraliseren elkaar. Op auto werken dus , en in, allen // aan rijrichting.

  • Als (amplitudes) F4 + F5 = F7, dan is er netto geen krachtwerking op de auto en blijft zijn snelheid constant (wet der inertie).

  • Als F7 toeneemt (gas geven): versnelling.

  • = wrijvingskracht → op glad wegdek wordenentot 0 herleidt!

  • Waarom 4x4 beter op glad wegdek?

    • Stel Fa = aandrijfkracht motor @ wielen

    • 2-wiel: F6 = Fa/2  moet kleiner blijven dan adhesiekracht wiel-wegdek (=α.F1/4, α=wrijvingscoëff.)

      • Vw.: Fa/2 < α.F1/4  Fa < α.F1/2

    • 4-wiel:

      • Vw.: Fa/4 < α.F1/4  Fa < α.F1

 Bij een 4x4 mag de aandrijfkracht dus dubbel zo groot zijn alvorens men gaat slippen, OF de wrijvingscoëfficiënt mag bij 4x4 half zo groot zijn als bij 2-wiel bij zelfde trekkracht.
Algemeen: transportmiddelen “zetten zich af” tegen omgeving (weg, rail,…).

Uitz.: Raketaandrijving: stoom uitstuwen, deze stoom oefent op zijn beurt kracht uit op raket → beweging.



2Het wereldbeeld van Newton

Zwaartekracht: de appel en de maan




  • Appel: breekt van tak o.i.v. zijn gewicht (gericht naar 0), versnelt volgens vector (eveneens naar 0 gericht).

  • Maan: cirkelvormige beweging rond aarde, snelheid = , gericht volgens de raaklijn aan haar baan.

  • Zonder gravitatie zou maan rechtlijnig van A naar B bewegen, met gravitatie “valt” ze naar C.

  • Maan en appel ervaren dezelfde versnellingsamplitude a= 9,8 m/s²




  • Als we voorwerp voldoende beginsnelheid geven zodat de baan overeen komt met de kromming van de aarde, dan brengen we het in een baan om de aarde (eenparige cirkelvorige beweging). Grootte van deze beginsnelheid?

Û v² = ar.r = 9,8 x 6.350.000 = 6,5x107 (m/s)² Û v = 7900 m/s


  • Zwaartekracht is recht evenredig met de massa en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen beide voorwerpen. Bewijs:

(want rM = 60.rA)

(1/60 in ll. en rl. schrappen)

vM = baansnelheid = (2π.60rA) / (27d.x24u.x60m.x60s)

Þ n = 2 Þ kwadratisch verband!


  • Gravitatiewet:

  • K = gravitatieconstante = ?

    • Stel m1 = aarde en m2 = willekeurig voorwerp

(mA; rA en a bekend!)

Þ



  • Gravitatiewet wordt dus: Tussen 2 willekeurige voorwerpen is er een aantrekkingskracht die evenredig is met het product van hun massa’s en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand:



  • In toepassingen: voorwerpen voorstellen als puntmassa’s, afstand tussen beide in de afstand tussen hun zwaartepunten. Vb.: aantrekkingskracht tussen 2 tientonners bepalen (p.100-101)

Wetten van Kepler


  1. Alle planeten in ons zonnestelsel beschrijven elliptische banen rond de zon, die in één der brandpunten van die ellips staat.




  1. Wet der gelijke perken: verbindingslijn tussen zon en planeet beschrijft in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlaktes. Bewijs:

(zie vroeger)

  • Gravitatiekrachten: gericht volgens verbindingslijn:



  • De component van die volgens is gericht staat loodrecht op deze verbindingslijn:




  • Stel zon in 0.




  • Planeet beweegt over PQ

Beschreven oppervlakte ΔA:



In gelijke tijdsintervallen is de doorlopen oppervlakte dA dus een constante!

 Wat we moesten bewijzen!



Geometrisch bewijs van Newton:




  • Zon bevindt zich in 0, planeet beweegt van A naar B.

  • Als centripetale kracht wegvalt: planeet van B naar C.

  • Bij gelijke tijdsintervallen: AB = CD.

  • Realiteit: centripetale kracht van zon → planeet “valt” naar punt D volgens DC//OB.

Dus: opp. ΔOAB = opp. ΔOBC (zelfde basis OB, hoogte AK = CL)

opp. ΔOBC = opp. ΔOBD (zelfde basis OB, zelfde hoogte CL)

 opp. ΔOAB = opp. OBD

In gelijke tijdsintervallen Δt beschrijft de voerstraal v/d planeet gelijke oppervlakken!




Bewijs 1: Benader de planeetbanen door cirkelbanen.

  • Radiale component versnelling: (v=baansnelheid, r afstand zon)

  • Enkel modulus beschouwen:

  • Krachtwerking planeet-zon:


Bewijs 2: Rekening houden met elliptische banen:

  • Radiale component (algemeen geval, zie vroeger):

  • Vergelijking ellips in poolcoördinaten (zie vroeger):



  • (linker- en rechterlid afleiden)



  • (en ; zie wet der gelijke perken)



  • (nogmaals afleiden)



  • (en )

 1e term vanbekend!

  • 2e term:

  • Totaal:



    • K kan men berekenen voor een ellips:



(1)


→ enkel grote as van de (elliptische) planeetbaan speelt dus een rol in

het bepalen van de omloopsnelheid binnen hetzelfde zonnestelsel (Mz zelfde)


Verband 3e wet van Kepler en (1)?

→ “gemiddelde voerstraal ellips”: fig. 3.1.1:



  • in punt p (perihelion) geldt:

  • in punt a (aphelion):

  • gemiddelde:

→ a is de gemiddelde afstand tussen zon en planeet

→ (1) bewijst de 3e wet!




Behoud van het angulair moment (zie boven: behoud van het lineair moment)





  • fig.: en allen in vlak α, angulair moment op α.

  • = willekeurige kracht

  • Inertiewet:

Þ (2)
In (2): linkerlid = koppel , rond 0, uitgeoefend doorop voorwerp P. Rechterlid = ?

  • Angulair moment = , met = impuls = lineair moment = hoeveelheid van beweging.

 in (2) stelt het rechterlid voor 

Bij centrale krachten: en zelfde richting 

Behoud van het angulaire moment bij centrale krachten!

 Alsverkleint moetdus toenemen.

 amplitude (bevestigt opnieuw wet der perken)

Geboorte en dood van het zonnestelsel


  • Begin (ca. 5 miljard jaar geleden): ijl en difuus gas, verspreid in het heelal, voornamelijk H2. Gravitatie: wolk trekt samen. In (toevallig) densere zones: meer gravitatie → meer influx vanmaterie → meer gravitatie → … → 1 grote gasbol.

  • Naar centrum toe: atomen versnellen → hogere snelheden van botsing → temperatuur stijgt → chaotische gasbeweging wordt stilaan rotatie en bol gaat steeds sneller draaien (cfr. schaatser die armen bij zich trekt in pirouette) → gasbol wordt schijf → meer versnelling → fragmenten van de schijf worden in een baan rond de centrale gasbol geslingerd → planeten!

  • Centrale bol blijft krimpen en temperatuur blijft oplopen → elektronen los (plasma) → kernfusie → warmte → gasdruk (naar buiten toe) → evenwicht in de centrale gasbol tussen inkrimpen en uitzetten → zon!

  • Einde (over ca. 5 miljard jaar): door gebrek aan waterstof stopt de kernfusie → uitwaartse druk weg → gravitatie terug overhand → kern gaat krimpen → temperatuur stijgt terug → buitenste zones gaswolk expanderen en verslinden Mercurius, Venus, Aarde (?). Zoniet: door gaswrijvng daalt omloopsnelheid en aarde spiraleert naar zon toe (munch!). Zon krimpt verder en dooft uit → wordt kleine opeengepakte massa kerndeeltjes+vrije elektronen, heel heet → witte dwerg! Bij sterren groter dan 3 zonnemassa’s → supernovazwart gat!



Beperkingen v/d wetten van Newton


Snelheid
Lichtsnelheid

(3.108 km/s)


10% van de

lichsnelheid

1% van de



lichtsnelheid
10-10 10-5 1 105 1010 1015 1020 afstand (m)


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2016
stuur bericht

    Hoofdpagina