Inleiding Logica (Vierde kwartiel, 2008-2009)



Dovnload 0.67 Mb.
Pagina1/14
Datum18.08.2016
Grootte0.67 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Inleiding Logica, Gerrit F. van der Hoeven

Inleiding Logica


(Vierde kwartiel, 2008-2009)

Inhoud


Inleiding Logica 1

Inhoud 2


Wat is logica? 3

Aristoteles (384 – 322 v.C). 7

Propositielogica 26

Tableaux 39

Correctheid en volledigheid 47

Natuurlijke deductie 50

Propositielogica als calculus 64

Predicaatlogica 67

Natuurlijke deductie 80

Signaturen, structuren en vervullen 82

Tableaux 88

Predicaatcalculus 94

Theorie van een structuur 95

Nummeren 95

Theorie van structuren 100

Peano rekenkunde en de onvolledigheidsstelling 104

Paradox 108

Intensionaliteit 111


Wat is logica?


Het woord logica stamt uit het Grieks. Het is afgeleid van “logos”, of, zoals de Grieken het schreven . De vertaling is niet eenduidig. Het kan “woord” betekenen, of “gedachte”, “begrip”, “verstand van”, “idee”, “redenering”, of “principe”. Alle Nederlandse woorden die eindigen op “-loog” of “-logie” zijn tot dit “logos” terug te voeren

Het begint bij waar en onwaar.


Logica gaat over zaken die je kunt indelen in “waar” (“true”) en “niet waar” (“false”).

Bijvoorbeeld:


beweringen (die juist zijn of niet).

Maar ook:


overtuigingen (die je hebt, of niet),
verwachtingen (die je hebt of niet),
dingen die je gelooft (of niet).

We onderzoeken consistentie en geldigheid.


We denken na over vragen als:

  • Is deze verzameling (van beweringen of overtuigingen of verwachtingen of dingen die je gelooft of ...) consistent?

  • Is deze redenering geldig?

Consistentie


Een verzameling is consistent (Engels idem) als de elementen gelijktijdig waar kunnen zijn (kunnen worden). Eventueel in een gefantaseerde wereld.

Een verzameling is inconsistent (Engels idem) als de elementen niet gelijktijdig waar kunnen zijn (kunnen worden). Zelfs niet in een gefantaseerde wereld.


Randgevallen


Een lege verzameling is consistent.

Ook een verzameling met één element kan inconsistent zijn. Denk aan “Niemand is zichzelf.”

Een bewering die op zichzelf inconsistent is, is een contradictie (Engels contradiction).

Een bewering waarvan de ontkenning een contradictie is, is een noodzakelijke waarheid (of een tautologie). In het Engels: necessary truth of tautology.

Een noodzakelijke waarheid is bijvoorbeeld: “1=1”.

Eenduidigheid


Om over consistentie te kunnen oordelen moeten tenminste twee zaken duidelijk zijn.

Kijk naar de twee zinnen:

“Ik overreed haar.” en

“Zij is nooit door mij overreden.”

Twee vragen doen zich voor:


  • Slaan “haar” en “zij” op dezelfde persoon?

  • Is “overreed” in de eerste zin de tegenwoordige tijd van overreden (d.w.z. overhalen, of overtuigen), of is het de verleden tijd van overrijden (over iemand of iets heen rijden).

Om over consistentie van een verzameling te kunnen oordelen, moeten gelijkheden en verschillen tussen alle verwijzingen (naar personen, dingen, gebeurtenissen,...) zijn vastgesteld.

Om over consistentie van een verzameling te kunnen oordelen, moeten alle dubbelzinnigheden zijn opgelost.


Ambiguïteit


Als een zin (een fragment tekst) met meer dan één betekenis kan worden gebruikt, spreken we van ambiguïteit (Engels ambiguity, ambiguous).

Losse woorden kunnen ambigu zijn:, denk aan “overreed” en “bank”.

Daardoor zijn zinnen als:

“Ik overreed haar”

“Ik zie een bank”

ook ambigu.

Deze ambiguïteit in woordbetekenis is lexicale ambiguïteit (Engels: lexical).

Maar ook als alle woorden eenduidig zijn in hun betekenis kan ambiguïteit optreden. Dat is structurele ambiguïteit (Engels: structural).

Bijvoorbeeld:

“Ik zag een dief met mijn verrekijker.”

“Op welke universiteit zijn de studenten van plan een masteropleiding te gaan volgen?”

En in combinatie van structureel en lexicaal:

“Zij zagen het meisje met een verrekijker.”

(dat heeft vier betekenissen)

En wat te denken van (structureel):

“Hoe laat heb je de wekker gezet?”

En tenslotte de zin (structureel, ambiguïteit van referentie):

“Zij had al bijna 10 minuten met Jolanda staan praten voor zij ontdekte dat het haar tweelingzus was.”

Zij stond 10 minuten met iemand te praten van wie zij dacht dat het Jolanda was, maar het was Jolanda’s tweelingzus. Of (meer de verhaallijn van een soap dan realistisch): Zij stond al 10 minuten met iemand te praten, ene Jolanda, en toen realiseerde zij zich dat het haar tweelingzus was (van wie zij direct na de geboorte was gescheiden).

Consistentie en waarheid


Een consistente verzameling behoeft niet te bestaan uit alleen maar ware beweringen.

Neem de verzameling

“Socrates is een vrouw.” “Alle vrouwen zijn sterfelijk.” “Socrates is sterfelijk.”

We stellen vast dat Socrates beide keren naar dezelfde persoon verwijst.

De verzameling is consistent. We kunnen ons namelijk voorstellen dat deze drie beweringen tegelijkertijd waar zouden zijn.

Terzijde: de verzameling is ook consistent als de naam Socrates voor twee verschillende entiteiten gebruikt zou zijn.

We weten ook (of menen dat te weten) dat de eerste bewering niet waar is. Maar we kunnen ons een wereld voorstellen waarin hij wel waar is. De onwaarheid van de bewering (in de context van onze wereld en onze kennis) staat de consistentie van de verzameling (de waarheid in een voorstelbare andere wereld, met andere kennis) niet in de weg.

Contradicties en noodzakelijke waarheden zijn echt anders dan onwaarheden en waarheden.

“Alle koeien hebben twee staarten” is een onwaarheid, maar nog geen contradictie.

“Alle koeien hebben uiers” is een waarheid, maar nog geen noodzakelijke waarheid (hoewel).

Noodzakelijke waarheden en inconsistenties zijn van een meer fundamentele orde. Waar x ook voor staat, x=x is een noodzakelijke waarheid.

En welke wereld wij ons ook kunnen verbeelden, de volgende twee uitspraken zijn samen inconsistent: “Alle koeien zijn wit”, “Er bestaan wel koeien, maar ze zijn nooit wit”. Immers, een eigenschap (“wit zijn”) is er, of is er niet. Maar een bewering over een eigenschap kan nooit gelijktijdig waar en onwaar zijn.


Redeneringen


Een redenering (argument in het Engels) is een samenhangende verzameling beweringen. Eén van die beweringen is de conclusie (conclusion), de bewering waar de redenering op uit is. De andere zijn premissen (premises), zij worden aangevoerd ter ondersteuning van, als bewijsvoering voor de conclusie.

Redeneringen kunnen in allerlei vormen gepresenteerd worden. Een reeks losse zinnen kunnen een redenering zijn, maar ook een enkele zin. De premissen kunnen aan de conclusie voorafgaan, maar het kan ook omgekeerd.

Een redenering in twee zinnen, eerst een premisse, dan een conclusie, is bijvoorbeeld:

“De auto staat al uren in de felle zon. Je kunt op de motorkap een eitje bakken.”

Een redenering in een enkele zin, eerst de conclusie dan de premisse, is bijvoorbeeld:

“De straten zijn kletsnat omdat het nu al uren regent.”

Nog een redenering in een enkele zin, maar nu gaat de premisse aan de conclusie vooraf:

“Door de aanhoudende regen staan de tunnels blank.”

En tenslotte een redenering in drie zinnen, eerst de conclusie en dan twee premissen:

“Zij kon vandaag het gras niet maaien. De zon scheen op het grasveld. Zij is allergisch voor zonlicht.”


Geldigheid


Geldigheid is een eigenschap van redeneringen.

Een redenering is geldig als de verzameling van alle premissen en de ontkenning van de conclusie inconsistent is.

De verzameling van premissen plus ontkenning van de conclusie noemen we het tegenvoorbeeld (counterexample set).

Een inconsistent tegenvoorbeeld wijst op een geldige redenering. Een consistent tegenvoorbeeld maakt de redenering ongeldig.

Verwar de begrippen geldig en consistent niet met elkaar. Consistentie slaat op verzamelingen zinnen. Geldigheid op redeneringen. Wie spreekt van een “consistente redenering” of van een “geldige verzameling zinnen” heeft de klok wel horen luiden, ….

Pas op met “ontkenning van”. Ontkennen doe je door “niet” te gebruiken. Maar wel op de goede manier.

Sommige schoenen zijn roze
Sommige schoenen zijn niet roze.

De tweede zin is niet de ontkenning van de eerste (noch omgekeerd).

Bij sommige en alle werkt ontkennen als volgt.

Sommige schoenen zijn roze


Geen enkele schoen is roze

Sommige schoenen zijn niet roze


Alle schoenen zijn wel roze.

Geldigheid en waarheid van premissen en conclusie


Een geldige redenering kan onware premissen hebben!

Sommige docenten zijn kale mannen. Alle kale mannen dragen een bril. Sommige docenten dragen een bril.

Een geldige redenering kan een onware conclusie hebben.

Alle koeien hebben twee staarten. Sommige koeien zijn zwartgevlekt. Sommige tweestaartigen zijn zwartgevlekt.



Als de premissen van een redenering inconsistent zijn, is die redenering geldig. (Ex absurdo quodlibet)

Dit volgt uit de definitie. Om een redenering te verwerpen is een consistent tegenvoorbeeld nodig. Als de premissen inconsistent zijn, bestaat er geen consistent tegenvoorbeeld.



Als de conclusie van een redenering een noodzakelijke waarheid is, is die redenering geldig.

Om een redenering te verwerpen is een consistent tegenvoorbeeld nodig. Als de conclusie een noodzakelijke waarheid is, is zijn ontkenning een contradictie. Dus bestaat er geen consistent tegenvoorbeeld.


Leiden tot en volgen uit


In een geldige redenering volgt de conclusie uit (of zelfs noodzakelijk uit) de premissen.

In een geldige redenering leiden de premissen (of zelfs leiden noodzakelijk) tot de conclusie.

Voor leiden tot is de Engelse term: to entail. Voor volgen uit is de Engelse term to follow (from).




  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina