Inleiding Wat is een paradox?



Dovnload 171.95 Kb.
Pagina1/5
Datum25.07.2016
Grootte171.95 Kb.
  1   2   3   4   5
Paradoxen

en


Drogredenen

Een onderzoeksprogramma over onverwachte wendingen in de wiskunde met een ondertitel van appelflap vijftien woorden.

Geschreven door Vincent v.d. Noort, voor Vierkant Zomerkamp B, Februari 2001

Inleiding

Wat is een paradox?


Dit programma gaat over paradoxen. Het probleem is echter dat men het er niet helemaal over eens is wat een paradox nou eigenlijk is, of beter wanneer iets een paradox is. In het algemeen kun je zeggen dat een paradox een (verzonnen) situatie is waarin iets waarvan je verwacht, gewend bent, of het zelfs volkomen vanzelfsprekend vindt dat het waar is, opeens niet meer waar blijkt te zijn. Een bekend voorbeeld van een paradox is de ‘Paradox van de Leugenaar’, die al bekend was bij de oude Grieken. Volgens de overlevering, riep de Kretenzer (inwoner van Kreta) Epimenides ooit uit: ‘Alle Kretenzers liegen altijd!’.
I1: Wat is er zo bijzonder aan deze uitspraak?
Meer hierover in het hoofdstuk over logica.

Paradox of Drogreden?


Een paradox is, zou je kunnen zeggen een soort wonder, maar dan binnen de wiskunde. Iets waarvan je vindt dat het niet kan, gebeurt toch. Soms echter lijkt dit alleen maar zo, maar blijkt ergens de redenering niet te kloppen. In dat geval is er sprake van een drogreden. Een mooi voorbeeld is het ‘bewijs’ dat 2 = 1 hieronder.

Stel a = b


Dan a2 = a*b (Vermenigvuldig links en rechts met a)

Dus a2 - b2 = a*b - b2 (Trek links en rechts b2 af)

Zodat (a - b)*(a + b) = (a – b)*b (Plaats haakjes)

En (a + b) = b (Deel door (a – b))

Dus 2*b = b (Vul in a = b)

Dus 2 = 1 (Deel door b)


I2: Waar zit de fout?
In dit programma zullen we een aantal ‘wonderen’ en andere onverwachte wendingen in verschillende gebieden van de wiskunde bekijken, waarbij steeds eigenlijk één vraag gesteld wordt: is hier sprake van een paradox, of is het een drogreden?
Nut en noodzaak van paradoxen.
Behalve dat het leuk of frustrerend kan zijn om over paradoxen na te denken, worden ze ook nog wel eens gebruikt om aan te tonen dat een bepaald idee niet klopt, omdat wanneer je het door zou redeneren het kan leiden tot een tegenspraak of paradox. Een bekend voorbeeld is de ‘grootvaderparadox’ die vaak wordt aangevoerd om aan te tonen dat tijdreizen terug in de tijd nooit mogelijk zullen zijn. Tegenstanders van tijdreizen zeggen dan: ‘als ik terug kan reizen in de tijd, zou ik ook naar een paar jaar voor de geboorte van mijn moeder kunnen reizen, en daar haar vader (mijn grootvader dus) kunnen vermoorden.’
I3: Geef drie redenen waarom je dat beter niet kan doen.
Een ander belangrijk punt is het volgende: wat je wonderbaarlijk vindt, hangt voornamelijk af van wat je verwacht. Als je iets ziet waarvan je dacht dat het niet mogelijk was, en je past je mening over wat wel en niet mogelijk is onmiddellijk aan aan hoe de wereld kennelijk in elkaar zit, is er daarna natuurlijk weinig paradoxaals of wonderbaarlijks meer aan. Sommige mensen vinden dat er alleen sprake is van een echte paradox, als er geen ontsnapping mogelijk is omdat iedere aanpassing van je wereldbeeld weer tot andere ellende leidt. Echt of niet in elk geval leert een paradox je zo wel weer wat over hoe de wereld van de wiskunde kennelijk in elkaar steekt.
Paradoxen, drogreden en onverwachte wendingen komen in vrijwel alle gebieden van de wiskunde voor. Daarom is dit programma ingedeeld in verschillende hoofdstukken, die allemaal een apart gebiedje van de wiskunde behandelen. Sommige hoofdstukken zijn langer dan andere, afhankelijk van hoeveel tijd je hebt kun je uit sommige of alle hoofdstukken een paar of alle ‘wonderen’ bekijken. De centrale vraag is steeds: is het een paradox, of is het een drogreden?
Je mag beginnen waar het je leuk lijkt, en op ieder moment naar een ander hoofdstuk overspringen. Ik wens je veel plezier.
De hoofdstukken zijn:
Kansrekening:

Wat te doen in de finale van een spelshow blz 3

Speltheorie:

Piraten en Goudstaven blz 7

Verkiezingsparadoxen blz 18

Betekenissen van woorden

Het woord ‘onverwacht’ blz 10

Meetkunde

Goochelen met schaar en papier blz 13

Statistiek

Het verband tussen karnemelk en linkshandigheid blz 15

Logica


Een heleboel “echte” paradoxen blz 20

De paradox van de leugenaar door de eeuwen heen blz 24

En als toegift: Zelfverwijzende zinnen blz 31

Zelf onmogelijke figuren maken

Alleen de titel is al paradoxaal blz 33.

Voor wie meer wil lezen...


De fraaie illustraties zijn afkomstig uit “Avonturen met onmogelijke figuren” en “Nieuwe avonturen met onmogelijke figuren” van Bruno Ernst.

Meer over verkiezingsparadoxen is te vinden in “De wraak van Archimedes” van Paul Hoffman, dat verder ook een erg leuk boek is voor iedereen die graag gelooft dat wiskunde leuk kan zijn.

Leuke optische illusies en een hoop andere onverwachte zaken in en om de wiskunde, kun je vinden in “Logische en onlogische paradoxden” van Nicolas Falletta. Ook veel aandacht voor meningen van wiskundigen en filosofen over sommige paradoxen, waarbij ik me wel eens afvraag of Falletta zelf wel begrijpt wat hij opschrijft. In elk geval maakt hij naar mijn mening de dingen vaak moeilijker dan ze zijn.

Bijna alle zelfverwijzende zinnen in het hoofdstuk “zelfverwijzende zinnen” zijn afkomstig uit: “Metamagical themas: questing for the Essence of Mind and Pattern”. Het is een verzameling “columns” over een wijd uiteenlopende verzameling aan wiskunde verwante onderwerpen, en ondanks dat het er angstaanjagend dik uitziet, is het zeer leesbaar. Ik weet niet of het ooit in het Nederlands vertaald is.




Kansrekening.
Als er ergens in de wiskunde dingen opduiken die je niet verwacht is het wel in de kansrekening. Zo is de kans dat in een groep mensen twee mensen op dezelfde dag jarig zijn veel groter dan de meeste mensen zouden verwachten. De volgende opgaven gaan over lastige keuzes die je moet maken als je (bijna) de hoofdprijs gewonnen hebt in een spelshow.
Het kop-of-muntprobleem.

Hierin treden nog niet zoveel onverwachte zaken op. Het is meer om even aan de manier van denken te wennen. Stel je hebt in een lange reeks van zware opdrachten en uitputtende spelletjes doorstaan, en daarbij heb je het riante bedrag van 1000 gulden bij elkaar verdiend. Vervolgens zegt de quizmaster dat je nog een laatste spel mag spelen. Het kost geen enkele moeite: het enige wat je hoeft te doen is “kop” of “munt” te zeggen. Vervolgens wordt er een gigantische munt opgeworpen die uiteraard met evenveel kans kop of munt oplevert. Als blijkt dat je het goed gegokt hebt, wordt het bedrag dat je bij elkaar verdiend hebt verdubbeld, als echter blijkt dat je verkeerd gegokt hebt, wordt het gehalveerd. Je hoeft echter niet aan dit spel mee te doen; je kan ook kiezen onder hoongelach van het publiek met je duizend gulden naar huis te gaan.


K1: Als je zo veel mogelijk geld wil overhouden aan het eind van de quiz, kun je dan beter wel of niet spelen, of maakt dat niets uit?

K2: En als er nou tien keer achter elkaar met de munt gegooid wordt en na iedere worp het bedrag dat je sinds de vorige worp hebt verdubbeld of gehalveerd wordt?


Stel nu dat er meer dan een keer met de munt gegooid wordt. Je hebt de keus uit de volgende twee mogelijkheden:
1) Na iedere worp wordt het bedrag dat je sinds de vorige worp hebt verdubbeld of gehalveerd

2) Na iedere worp krijg je als je goed gegokt hebt 1000 gulden erbij en als je verkeerd gegokt hebt moet je vijfhonderd gulden inleveren (als je met minder dan 0 gulden eindigt moet je alle volgende afleveringen terugkomen net zolang totdat je je schuld terugverdiend hebt).

Zoals je ziet maakt het als er maar één keer gegooid wordt niet uit welke mogelijkheid je kiest.
K3 Welke van de volgende drie redeneringen is of zijn correct?

a) Je kan beter voor mogelijkheid 1 kiezen. Als je vaak achter elkaar goed gokt is je winst bij mogelijkheid 1 groter dan bij mogelijkheid 2, terwijl als je vaak achter elkaar verkeerd gokt je verlies bij mogelijkheid 2 veel groter is dan bij mogelijkheid 1. In beide gevallen ben je met mogelijkheid 1 beter af.

b) Je kan beter voor mogelijkheid 2 kiezen. Bij mogelijkheid 2 heb je meer kans om met meer dan duizend gulden naar huis te gaan dan met minder dan duizend gulden (controleer dit, als je het niet gelooft, voor twee en drie keer gooien). Als je mogelijkheid 1 kiest kun je net zo goed helemaal niet spelen.

c) Je kan beter helemaal niet spelen, dan heb je tenminste duizend gulden en ben je van al het gezeur af.


K4: Is het aantal keer dat met de munt gegooid wordt nog van invloed op je keuze bij de vorige vraag?


Het Drie Kaartenprobleem

In de volgende spelshow waarin je meedoet, heb je niets te kiezen, maar moet je gewoon gokken. Gelukkig krijg je wel een beetje informatie vooraf. De quizmaster laat jou en het publiek drie gelijkvormige, even grote kartonnen kaarten zien. De ene is aan een kant rood en aan de andere kant wit, de tweede is aan beide kanten rood en de derde aan beide kanten wit. Hij doet alle drie in een lege enveloppe, en trekt er vervolgens een uit die hij plat op de grond neerlegt, voordat je de onderste kant van de kaart hebt kunnen zien. De bovenkant van de kaart is wit. Hij vraagt je de kleur van de andere kant te raden, als je het goed hebt krijg je vijfduizend gulden, als je het fout hebt ga je met lege handen naar huis.


K4 Welke kleur zou je kiezen en waarom? Denk eerst zelf na, en zeg vervolgens wat er goed of fout is aan de volgende redeneringen van de deelnemers van eerdere afleveringen.
Joop (aflevering 371): Je moet rood kiezen! In totaal zijn er zes kanten in het spel: drie rode en drie witte. Maar één witte valt af omdat hij hier op de grond ligt en dus niet aan de achterkant van de kaart zit. Dat betekent in totaal 3 rode en 2 witte kanten, dus 3/5 kans dat de achterkant rood is en 2/5 kans dat hij wit is.
Marie (aflevering 285): Het maakt niets uit wat je kiest, er zijn twee kaarten met een witte bovenkant: de rood-witte en de wit-witte. De ene heeft een rode onderkant en de andere een witte. De kans dat je de kaart met de witte onderkant hebt is dus 50% en de kans op de rode onderkant ook.
Henk (aflevering 12): Het beste is om te kiezen voor wit. Er zijn drie witte kanten in het spel. Twee op de wit-witte kaart en één op de wit-rode. De kans dat de witte kant die we hier zien liggen van de wit-witte kaart afkomstig is, is dus 2/3 en de kans dat hij bij de rood-witte kaart hoort 1/3. Als dit de wit-witte kaart is, is de achterkant wit, als dit de rood-witte kaart is, is de achterkant rood. De kans op een witte achterkant is dus 2/3.
Het Drie Deurenprobleem.

Heel bekend is het drie deurenprobleem, maar omdat het nog altijd leuke stof tot discussie is, geven we hem hier nog een keer. De spelshow waaraan je nu meedoet is wat minder vriendelijk dan de vorige twee: in de grote finale van deze show moet je ook een gok wagen, maar dan niet tussen twee maar drie mogelijkheden. Er is dan ook maarliefst tienduizend gulden te verdienen. Deze tienduizend gulden zit verborgen achter een van de inmiddels welhaast legendarische deuren A, B en C. Achter de andere twee deuren zit helemaal niets. Na lang wikken en wegen kies je voor deur A. Om de spanning tot het laatste toe op te bouwen zal de quizmaster eerst deur C opendoen, dan deur B en als laatste, na de reclame, pas deur A. Als deur C geopend wordt kun je alvast opgelucht ademhalen: de ruimte achter deze deur is leeg.


Dan gebeurt er iets onverwachts. Omdat je een joker hebt verdiend bij het koekhappen, biedt de quizmaster je de kans van gedachten te veranderen en alsnog voor deur B te kiezen. De vraag is natuurlijk:
K5: Doe je dit, of niet en waarom?
Het Twee Enveloppenprobleem.

De volgende show waarin je meedoet is ook een wekelijks kijkcijferkanon, vooral omdat het iedere week weer een verassing is hoe groot de hoofdprijs zal zijn. Prijzen varierend van twee-en-een-halve cent tot 4,3 miljard, het is allemaal al eens gebeurd. Na een keiharde strijd op verschillende onderdelen heb je al je tegenkandidaten uit de show weten te werken, en het is dus duidelijk dat jij degene bent die met de hoofdprijs aan de haal gaat. De vraag is alleen: met hoeveel?


Je krijgt de keus uit twee enveloppen, en het enige wat je weet is dat in de ene enveloppe twee keer zo geld zit als in de andere (dwz een briefje met daarop het bedrag geschreven, zodat je aan de buitenkant niets kan zien) maar je weet niet welke van de enveloppen het ‘grote’ bedrag bevat en welke het kleine.
Je kiest een enveloppe en terstond wordt deze opengemaakt. Er zit vierduizendvierhonderdvierenveertig gulden in. Je hebt nu de keus dit bedrag mee naar huis te nemen of de andere enveloppe te kiezen en het bedrag dat daarin zit te ontvangen.
K6: Welke twee bedragen kunnen in de andere enveloppe zitten? Wat is de kans op winst, en wat de kans op verlies?

K7: Wissel je van enveloppe, juist niet, of maakt het niets uit?


K8: Als je wisselt, waarom heb je dan niet meteen de andere enveloppe gekozen?

K9: Kun je deze vraag met evenveel recht bij het driedeurenprobleem stellen? Wat is het verschil?

K10: Als je vindt dat het niet uitmaakt, wat is dan het verschil met vraag K1?
Het deel van de wereld dat vindt dat het verstand heeft van dit soort zaken, vindt ook dat het niets uit kan maken of je wisselt of niet, omdat het openen van de enveloppe geen extra informatie verschaft. Maar volgens hen is er wel een manier om je kansen op het hoogste bedrag iets te verhogen. Ze zeggen: voor dat je een enveloppe kiest, kies je een willekeurig bedrag waarvan je hoopt dat het tussen de twee bedragen in de enveloppen in ligt (het feit dat je alle vorige afleveringen van deze quiz hebt gezien helpt je daarbij niks, er is geen enkel systeem in de hoogte van de prijzen te ontdekken, dus het getal wat je kiest is echt willekeurig). Vervolgens doe je het volgende: als de enveloppe die je gekozen wordt is geopend en het bedrag in de enveloppe is kleiner dan het bedrag dat je in je hoofd had, dan wissel je, is het bedrag in de enveloppe groter dan het bedrag in je hoofd, dan neem je de inhoud van deze enveloppe mee naar huis.
K11: Als de bedragen in de enveloppen allebei kleiner zijn dan het bedrag dat je in je hoofd hebt (ook al weet je dat niet), is dan de kans dat je door op deze manier te spelen de enveloppe met het grootste bedrag te pakken krijgt groter, kleiner of even groot dan wanneer je gewoon willekeurig een enveloppe zou kiezen?

K12: Als de bedragen in de enveloppen allebei groter zijn dan het bedrag dat je in je hoofd hebt (ook al weet je dat niet), is dan de kans dat je door op deze manier te spelen de enveloppe met het grootste bedrag te pakken krijgt groter, kleiner of even groot dan wanneer je gewoon willekeurig een enveloppe zou kiezen?


K13: En als nu het kleinste bedrag dat in de twee enveloppen zit kleiner is dan het bedrag dat je in je hoofd hebt, en het twee keer zo grote bedrag in de andere enveloppe groter is dan het bedrag in je hoofd, is dan de kans dat je door op deze manier te spelen de enveloppe met het grootste bedrag te pakken krijgt groter, kleiner of even groot dan wanneer je gewoon willekeurig een enveloppe zou kiezen?
Het ziet er dus naar uit dat je met deze manier soms voordeel hebt, meestal evenveel kans als altijd en nooit nadeel. Maar geloof je het ook? Kan een volkomen willekeurig getal dat van zichzelf op geen enkele manier in relatie staat tot de bedragen in de enveloppen je kansen op het hoogste bedrag vergroten? Kortom:
K14: Is dit een drogreden of een wonder?

Speltheorie 1: Piraten en Goudstaven.
Ook een zeer onverwacht resultaat bied het volgende raadseltje. Vijf zeerovers met de illustere namen Apiagyei, Bertoen, Casparis, Donkor en Eradus (Telefoongids Amsterdam 1998, blz 47, 149, 239, 311, en 359) hebben een schat van 100 goudstaven buitgemaakt die ze, eenmaal weer veilig op volle zee, onderling willen verdelen. Omdat ieder van de piraten zo zijn eigen ideeën erop na houdt over wat de beste verdeling is, besluiten ze het volgende systeem te hanteren: op volgorde van alfabet mogen de piraten een voorstel doen over hoe de goudstaven verdeeld zullen worden. Ze krijgen ruim de tijd dit voorstel toe te lichten en te verdedigen, en vervolgens wordt door alle piraten (inclusief degene die het voorstel gedaan heeft) over deze verdeling gestemd. Als de meerderheid het met het voorstel eens is, worden de goudstaven op deze manier verdeeld, de piraten die later in het alfabet zitten, krijgen dan geen kans meer om een ander voorstel te doen. Als er echter gelijk spel optreedt, of er maar een minderheid van de piraten voor het voorstel is, wordt de bedenker van het voorstel zonder pardon over boord gegooid met twintig goudstaven aan zijn voeten (voor de duidelijkheid: dit overleeft hij niet). Je kunt er vanuitgaan dat de piraten graag zoveel mogelijk goudstaven in de wacht slepen, geen enkel gevoel voor medelijden kennen, liever blijven leven zonder goudstaven dan met twintig goudstaven op de bodem van de oceaan te belanden en zeer wel in staat zijn tot logisch redeneren. Verder zijn ze als dat hun belangen niet schaadt ook een beetje sadistisch: als Donkor en Eradus met zijn tweeën over zijn met veertig goudstaven, en Donkor stelt een verdeling van 20-20 voor, dan zegt Eradus: ‘Dat is goed, maar dan ga jij wel overboord.’
P1: Stel je bent Apiagyei en je hebt een uitgekookt voorstel en een overtuigende speech voorbereid. Wat is het hoogste aantal goudstaven dat je eruit kan halen, denk je?
De Apiagyei uit ons voorbeeld houdt de volgende speech:

“Makkers, ik zie aan uw ogen dat u haast niet kan wachten mij overboord te smijten en zo uw eigen duivelse plannen met deze goudstaven weer een stapje dichterbij te brengen, maar toch vraag ik een ogenblik uw aandacht. Want ook al zal ik het waarschijnlijk niet meer meemaken, ook ik heb mijn ideeën over hoe zo’n toekomstige verdeling eruit gaat zien, en die zijn niet altijd voor iedereen even rooskleurig.


Laten we eerst naar het geval kijken dat Donkor en Eradus overgebleven zijn met veertig goudstaven. Donkor, jij hebt vast al bedacht wat het maximum aantal goudstaven is wat je in zo’n situatie kan behalen, zonder je leven te verliezen, en ook voor ieder ander hier aanwezig is het een koud kunstje te beredeneren om welke hoeveelheid goudstaven het hier gaat.”
P2: Wat zal Donkor voorstellen als hij met alleen Eradus en veertig goudstaven over is?
“Ieder aanbod dat je meer goud oplevert zul jij dus met open armen aannemen, Donkor. Dat weet jij, dat weet ik, en in het bijzonder weet Casparis dat, wanneer hij met zestig goudstaven en drie piraten aan de beurt is om zijn voorstel te doen, mocht het zover komen. Om te overleven hoeft hij maar een van zijn medepiraten aan zijn kant te krijgen, en jij, Donkor, bent dan een gemakkelijke prooi.”
P3: Welke verdeling zal Casparis voorstellen volgens deze voorspelling?
“Dit heeft voor jou een heel nare consequentie, Eradus, jij valt in dit geval volledig buiten de boot. Blijven dromen over die 21 goudstaven die Donkor je zou geven heeft geen zin, die komen toch niet, het enige wat je uit deze misere kan helpen is voor een eerder gedaan voorstel stemmen, hoe weinig je dat ook oplevert. En ik wed dat Bertoen, als hij de kans krijgt een voorstel te doen, dankbaar van deze kennis gebruik zal maken.”
P4: Hoeveel piraten moet Bertoen meer goudstaven bieden, dan Casparis zal doen als Bertoen overboord gestemd wordt?

P5: Wat kan Bertoen dan het beste voorstellen?


“Zo. Nu weten jullie allemaal wat het maximale aantal goudstaven is, wat jullie kunnen verwachten als jullie mij overboord gooien. Onthoud dit aantal, en luister goed naar het volgende voorstel. Tenminste twee van jullie weten dat, hoe onwaarschijnlijk het ook klinkt, dit het beste is wat ze eruit kunnen halen, en ik raad deze twee dan ook voor hun eigen bestwil dringend aan, voor dit voorstel te stemmen.”
P6 Over welke twee heeft Apiagyei het waarschijnlijk?

P7 Heeft hij een reden om met de andere twee rekening te houden?

P8 Wat is dus het grootste aantal goudstaven dat hij voor zichzelf kan houden zonder overboord gegooid te worden?
P9: Klopt deze redenering of zit er ergens een drogreden in?
Stel dat na het verhaal van Apiagyei en voor de stemming de andere piraten ook nog wat mogen zeggen. Ze kunnen elkaar dingen beloven, maar zullen deze beloftes schenden zodra dat onomstotelijk in hun voordeel is, en dit weten ze ook van elkaar.
P10: Is het mogelijk dat door het maken van onderlinge afspraken een of meer piraten er beter vanaf komen dan bij de verdeling van Apiagyei hierboven? Zo ja, geef een voorbeeld van zo’n afspraak.
Het is mogelijk dat de regel dat met iedere piraat ook twintig goudstaven worden weggegooid is ingevoerd om te zorgen dat de laatste piraten niet ieder voorstel torpederen. Maar het is de vraag of dit eigenlijk wel gebeurt. Stel dat de piraten gewoon met een steen aan hun voeten over boord gegooid worden als hun voorstel het niet haalt.
P11: Als alleen Donkor en Eradus nog met 100 goudstaven over zijn, wat voor voorstel kan Donkor dan doen? Wat heeft dit voor invloed op zijn stemgedrag bij eerdere voorstellen?
P12: Is Apiagyei in dit geval beter of slechter af dan wanneer met iedere piraat twintig goudstaven over boord gaan? En de andere piraten?
Om te voorkomen dat mensen zulke onredelijke voorstellen indienen als Apiagyei hierboven wordt het volgende bedacht: in plaats van twintig goudstaven wordt met iedere piraat wiens voorstel wordt afgewezen het aantal goudstaven overboord gegooid dat hij niet voor zichzelf wilde houden. Op die manier, is de redenering, wordt het aantrekkelijker om piraten die minder dan twintig goudstaven voor de anderen gereserveerd hadden over boord te stemmen, omdat er dan meer goudstaven voor minder piraten over blijven.
P13: Is dit een kloppende redenering, rekening houdend met je antwoord op vraag 12?

P14: Wat zal waarschijnlijk de uitkomst zijn bij deze regeling?






  1   2   3   4   5


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina