Mercatorprojectie



Dovnload 70.13 Kb.
Datum18.08.2016
Grootte70.13 Kb.

U
itwiskeling Live 20 november 2004



Mercatorprojectie
Een punt P op het aardoppervlak wordt volledig bepaald door zijn lengte- en breedtelig­ging. Stel dat de ooster- (of wester-) lengte is van P, uitgedrukt in radialen. Noem de straal van de aarde ra .



  1. Hoe groot is de afstand, gemeten op de evenaar, tussen de nulmeridiaan en de meridiaan door P op het aardoppervlak?

  2. Hoe groot is dan de afstand tussen de projecties van de nulmeridiaan en de meridiaan door P op de kaart? We noemen dit getal de x-coördinaat van de projectie P’ van P.

  3. De y-coördinaat van P’ is de hoogte h van P’ boven het evenaarsvlak. Gebruik de figuur hier­naast om een formule af te leiden voor deze y-coördi­naat, waarbij de breedteligging van P voorstelt, uitgedrukt in radialen.

De formules voor de x- en y-coördinaat van P’ geven een analytische beschrijving van de centrale cilinderprojectie. Het is duidelijk dat deze cilinderprojectie de hoeken niet bewaart. We onderzoeken nu hoe we de projectie toch conform kunnen maken.



  1. Neem een breedtecirkel op breedte . Wat is de totale lengte op het aardoppervlak? (Gebruik eventueel de vorige figuur.) En wat is de totale lengte, na projectie, op de kaart? (Merk op dat alle breedtecirkels op de kaart dezelfde lengte hebben.)

  2. Bij projectie wordt de breedtecirkel dus uitgerekt met een factor die afhankelijk is van de breedteligging. Geef deze factor.



Om hoeken te bewaren, verwacht je dat de afstanden langs de lengtecirkel met dezelfde factor moeten uitgerekt worden. We zoeken dus een nieuwe formule voor de y-coördinaat. Neem hiervoor het punt P op het aardoppervlak met breedteligging . Noem l de lengte van de lengtecirkel vanaf de evenaar tot breedteligging , gemeten op het aardoppervlak. Deze lengte moet bij projectie dus aangepast worden. Omdat de uitrekkingsfactor echter afhankelijk is van de breedteligging (en dus continu wijzigt), kun je de lengte l niet zomaar met één uitrekkingsfactor vermenigvuldigen. We proberen de geprojecteerde lengte daarom te benaderen.

Verdeel hiertoe de lengtecirkel vanaf de evenaar tot breedteligging in n gelijke delen. De lengte van deze boogjes is dan . Het eindpunt van het eerste boogje, gemeten vanaf de evenaar, correspondeert met breedteligging , het eindpunt van het tweede boogje met breedteligging , … , het eindpunt van het laatste boogje met breedteligging . Stel deze breedteligging voor door i (). De (gecorrigeerde) lengte van het geprojecteerde boogje dat hoort bij breedteligging i is dan .



  1. Wat is nu (een benadering van) de totale lengte van de geprojecteerde lengtecirkel vanaf de evenaar tot breedteligging  ? Noteer deze lengte met een sommatieteken.

  2. Omdat de lengte van de boogjes () gemeten wordt op het aardoppervlak kunnen we ze ook noteren als ra  . Vervang dit in de vorige formule.

Door n steeds groter te kiezen, of  kleiner, kunnen we de lengte van de geprojecteerde lengtecirkel steeds beter benaderen. Deze lengte, van de evenaar tot breedteligging , wordt dan gegeven door:




  1. Met deze limiet komt een ander wiskundig begrip overeen. Gebruik dit om de limiet anders te schrijven.

  2. Toon nu aan dat dit gelijk is aan: .

Deze uitdrukking is de y-coördinaat van de Mercatorprojectie. Mercator realiseerde deze projectie rond 1569. De vergelijkingen die bij de projectie horen, zijn echter niet van Mercator zelf, maar van Edward Wright:

De linkse figuur hieronder toont een kaart van een gewone centrale cilinderprojectie. De rechtse figuur is een Mercatorkaart. De zwarte ellipsen en cirkels zijn de projecties van identieke cirkels op het aardoppervlak.







  1. Hoe zie je op de Mercatorkaart dat de vervorming in lengte- en breedterichting gelijk is, m.a.w. dat de Mercatorprojectie conform is?

    Gebaseerd op: UW 16/3 (mei 2000) – Wiskunde en aardrijkskunde (paragraaf 6)



Mercatorprojectie - eigenschappen


De formules van de Mercatorprojectie zijn:



met de straal van de aarde, de ooster- (of westerlengte) en de breedteligging van P uitgedrukt in radialen.

We onderzoeken nu enkele eigenschappen van de Mercatorprojectie.


  1. Hoe zie je aan de vergelijkingen dat lengtecirkels (meridianen) op de aardbol na projectie verticale rechten zijn?



  2. Hoe verklaar je dat breedtecirkels op de aardbol na projectie horizontale rechten zijn?



  3. De noord- en zuidpool staan niet op de kaart. Verklaar dit aan de hand van hun y-coördinaten.



  4. Als je bijvoorbeeld een vierkante Mercatorkaart wil construeren, dan kan y maximaal zijn. Waarom? Wat is de maximale breedteligging (uitgedrukt in °) die dan kan voorgesteld worden?



  5. Omgekeerd, als je alles tussen 80° zuiderbreedte en 80° noorderbreedte wil voorstellen op je Mercatorkaart, welke lengte-breedte-verhouding moet je blad papier dan hebben?

Als je de Mercatorkaart (rechtse kaart, volgende pagina) vergelijkt met de kaart die hoort bij een gewone centrale cilinderpro­jectie (linkse kaart), dan zie je heel duidelijk de correctie in verticale richting.

  1. Met behulp van een grafisch rekenapparaat kun je deze correctie goed zichtbaar maken. Gebruik hiervoor de vergelijking van de y-coördinaat bij de gewone cilinderprojectie () en de y-coördinaat bij de Mercator­projectie (inleiding). Hoe zie je bovendien dat de Mercatorprojectie in toenemende mate corrigeert naarmate je dichter tot de polen nadert?


Je kan de vorige vraag ook via een zinvolle, klassieke berekening beantwoorden. De correctie in verticale richting houdt verband met de y-coördinaat. We zullen aantonen dat:


als 0 

en (*)


als   0.

Definieer hiervoor: , met .




  1. Toon aan dat f.



  2. Geef de tekentabel van f ’ en gebruik die om het verloop (stijgen/dalen) van f te bespreken.



  3. Hoe kun je uit het (teken)verloop van f de ongelijkheden (*) verklaren?



  4. Verklaar ook waarom de Mercatorprojectie in toenemende mate corrigeert naarmate je dichter tot de polen nadert.



Gebaseerd op: UW 16/3 (mei 2000) – Wiskunde en aardrijkskunde (paragraaf 6)



De Mercatorprojectie is conform

Een gewone centrale cilinderprojectie bewaart de hoeken niet. We zullen nu aantonen dat de Mercatorprojectie dit wel doet, m.a.w. conform is.




De formules van de Mercatorprojectie zijn:



met de straal van de aarde, de ooster- (of westerlengte) en de breedteligging van P uitgedrukt in radialen.





  1. Neem een breedtecirkel op breedte . Wat is de totale lengte van deze cirkel op het aardoppervlak? En wat is de totale lengte, na projectie, op de kaart?



  2. Bij projectie wordt de breedtecirkel dus uitgerekt met een factor die afhankelijk is van de breedteligging. Geef deze factor.

    Om hoeken te bewaren, verwacht je dat de afstanden langs een meridiaan (lengtecirkel) met dezelfde factor moeten uitgerekt worden. Omdat de uitrekkingsfactor echter afhankelijk is van de breedte­ligging (en dus in elk punt wijzigt), berekenen we de gemiddelde uitrekkingsfactor voor een klein boogje langs een meridiaan.

    Neem hiervoor het punt P op het aardoppervlak met breedteligging en een punt Q op dezelfde meridiaan met breedteligging +  .


  3. Bereken de lengte van de boog PQ op het aardoppervlak.



  4. Bereken de lengte van de geprojecteerde boog PQ.



  5. Laat zien dat de uitrekkingsfactor gegeven wordt door

.

    Om nu de uitrekkingsfactor in het punt P te vinden, moeten we de limiet nemen voor   0.



  1. Met deze limiet komt een ander wiskundig begrip overeen. Gebruik dit om de limiet anders te schrijven en te berekenen.

    Na uitwerking van deze limiet verkrijgen we opnieuw de factor (zoals in opgave 2). Dit toont het conform zijn van de Mercatorprojectie aan.

    Gebaseerd op: http://www.wet.kuleuven.ac.be/leerkrachten/lessenpakket/wiskunde/cartografie.pdf

Je kan ook in een vierde jaar zinvol werken rond een kaartprojectie. Onderstaande werktekst illustreert dit. We maken hierbij o.a. gebruik van formules in rechthoekige driehoeken. De hoekeenheid ‘radiaal’ en de formule voor booglengte wordt ook gebruikt (zie ‘nodige voorkennis’ achteraan).


Is Groenland groter dan Congo?

  1. Bekijk op een wereldbol Groenland en de Democratische Republiek Congo. Welk van de twee is het grootst?

  2. Bekijk de twee landen op een wereldkaart. Welk van de twee is nu het grootst?

  3. Zoek in een encyclopedie of op internet (bv. http://www.odci.gov/cia/publications/factbook) de opper­vlakte van deze twee landen op. Welk van de twee is nu echt het grootst?



We zullen in wat volgt zelf deze oppervlakten (bij benadering) berekenen, zowel op een wereldbol als op een wereldkaart. We laten ook zien hoe je de bolvormige aarde kan projecteren op een vlakke kaart.
Groenland en Congo herleiden tot ‘rechthoeken’

Een punt P op het aardoppervlak beschrijven we met twee coördinaten, breedteligging en lengteligging . De breedte­richting is de noorder- of zuiderbreedte, de lengteligging is de ooster- of westerlengte. Deze twee getallen en zijn de maatgetallen van de hoeken. Het is de gewoonte om deze hoeken uit te drukken in zestigdelige graden (bv. 21,97° WL of 81°30’ NB). Verder spreken we af dat we de hoeken die de oosterlengte aangeven positief nemen en de hoeken die westerlengte aangeven negatief. Analoog nemen we noorderbreedte als positief en zuiderbreedte als negatief.

V
oor de berekeningen verderop zullen we Congo en Groenland herleiden tot twee ‘rechthoeken’. Op de kaarten van figuur 1 en 2 zie je hoe we dit doen.


    figuur 1: Groenland benaderd door een ‘rechthoek’


    figuur 2: Congo benaderd door een ‘rechthoek’



  1. Waarom zijn dit geen echte rechthoeken? (Kijk ook even op de wereldbol.)

Oppervlakten van deze ‘rechthoeken’ op de wereldbol

In de tabel hieronder staan de coördinaten van de steden die gebruikt worden om de ‘rechthoeken’ vast te leggen. We gebruiken deze coördinaten om de oppervlakten van deze ‘rechthoeken’ te berekenen.




Groenland

Congo


Ittoqqortoormiut

70,48° NB

21,97° WL

Bandundu

3,33° ZB

17,40° OL

Nord

81,60° NB

16,67° WL

Kalemie

5,95° ZB

29,17° OL

Nuuk

64,17° NB

51,73° WL

Lubumbashi

11,73° ZB

27,48° OL

Paamiut

62,00° NB

49,68° WL

Monga

4,08° NB

22,90° OL

De oppervlakte van het gebied tussen twee meridianen en tussen twee breedtecirkels (zie figuur hieronder) wordt gegeven door waarbij de hoek is tussen de twee vlakken waarin de meridianen liggen, h de afstand tussen de twee vlakken waarin de breedtecirkels liggen en r de straal van de bol. Voor deze formule moet de hoek in radialen worden uitgedrukt.







  1. Z
    oek eerst een formule voor h. Gebruik hiervoor de twee onderstaande figuren. (in °) stelt de breedteligging voor en r = 6378 km (straal van de aarde).



  2. Waaraan is h gelijk bij Groenland? En bij Congo? Kijk goed naar figuur 1 en 2, opdat je met de juiste steden werkt.



  3. Waaraan is (in radialen!) gelijk bij Groenland? En bij Congo? Werk ook hier met de juiste steden.



  4. Bereken nu de oppervlakte van de twee ‘rechthoekige’ landen.



  5. Vergelijk met de werkelijke oppervlakte van de landen. Is de benadering goed?






Oppervlakten van deze ‘rechthoeken’ op een kaart

Om een kaart te maken projecteren we de aardbol vanuit het centrum van de aarde op een cilinder die de aardbol raakt aan de evenaar (zie figuur, volgende pagina).



Als de cilinder verticaal wordt doorgesneden en vervolgens uitgespreid wordt in een vlak, krijg je een kaart. Voor wereldkaarten die vanuit Europees standpunt getekend zijn, snijdt men de cilinder door langs de lengtecirkel van 180° OL. Europa ligt dan centraal op de kaart.


We gaan nu op zoek naar een verband tussen de coördinaten (, ) van een punt op het aardoppervlak en de coördinaten (x, y) op de kaart.

Een punt P op het aardoppervlak wordt volledig bepaald door zijn lengte- en breedtelig­ging. Stel dat de ooster- (of wester-) lengte is van P, uitgedrukt in radialen. Noem de straal van de aarde ra .





  1. Hoe groot is de afstand, gemeten op de evenaar, tussen de nulmeridiaan en de meridiaan door P op het aardoppervlak?



  1. Hoe groot is dan de afstand tussen de projecties van de nulmeridiaan en de meridiaan door P op de kaart? We noemen dit getal de x-coördinaat van de projectie P’ van P.



  1. De y-coördinaat van P’ is de hoogte h van P’ boven het evenaarsvlak. Gebruik de figuur hier­naast om een formule af te leiden voor deze y-coördi­naat, waarbij (in °) de breedte­ligging van P voorstelt.



  1. Hoe zie je aan de vergelijkingen dat lengtecirkels (meridianen) op de aardbol na projectie verticale rechten zijn?




  1. Hoe verklaar je dat breedtecirkels op de aardbol na projectie horizontale rechten zijn?



  2. De noord- en zuidpool zullen niet op de kaart staan. Verklaar dit aan de hand van hun y-coördinaten.



  3. Achteraan vind je een pagina waarop het beeld van een aantal meridianen getekend is. Teken op diezelfde figuur de beelden van de breedtecirkels van 15°, 30°, 45°, 60° en 75° NB en ZB (neem ra = 4 cm; we tekenen de kaart uiteraard niet op ware grootte, maar op schaal).



  4. Bereken de beelden van de hoekpunten van de ‘rechthoeken’ die Groenland en Congo voorstellen. Teken deze beelden ook op de figuur.



  5. Bereken de oppervlakte van de twee rechthoeken die je in de vorige opdracht tekende.

Je merkt dat dichtbij de evenaar deze projectie een vrij nauwkeurige weergave geeft van het aardoppervlak, maar dat ze onnauwkeuriger wordt als je je verder van de evenaar verwijdert. Onderstaande figuur toont een wereldkaart getekend met deze cilinderprojectie. De vervorming van de oppervlakte is enorm voor gebieden ver van de evenaar. Dit verklaart waarom Groenland (op deze kaart ) véél groter is dan Congo. Mercator (Vlaming, 1512 – 1594) heeft geprobeerd om die verticale uitrekking wat te corrigeren. Toch wordt ook bij de Mercatorkaarten de oppervlakte niet correct weergegeven. Omdat de meeste atlassen Mercatorkaarten bevatten, kan je dit zelf controleren.


    Groenland lijkt misschien wel groter dan Congo op een kaart, maar in werkelijkheid is Congo het grootste land!



    Nodige voorkennis:

  • negatieve hoeken:

hoeken met een negatief maatgetal, bv. 10° ZB =  10°

  • radialen:

x° = (radialen)

  • booglengte:

booglengte = , met r de straal en de (middelpunts)hoek uitgedrukt in radialen

= oppervlakte van een stukje van een bolzone (formule bolzone  6de jaar)

= (verklaring symbolen + figuur: zie werktekst p. 9)



    Gebaseerd op: http://www.wet.kuleuven.ac.be/leerkrachten/lessenpakket/wiskunde/cartografie.pdf



Antwoorden bij werkteksten 2, 3 en 4

Werktekst: Mercatorprojectie – eigenschappen

  1. is een constante, dus x is een constante.

  2. is een constante, dus y is een constante.

  3. , dus .

  4. is maximaal 85,051°.

  5. lengte/breedte = 4,872/6,283

  6. De afstand tussen de grafieken van en vergroot naarmate x  .

  7. Berekening van deze afgeleide geeft:



  8. f is overal stijgend in .

  9. als   0 en als 0  .

  10. f is stijgend, d.w.z. als dan . De afstand tussen de grafieken van en vergroot als vergroot.

Werktekst: De Mercatorprojectie is conform

  1. Lengte op aardoppervlak: 2 ra cos ; lengte op kaart: 2 ra. De beelden van alle breedtecirkels zijn even lang als de evenaar.





  2. Beeld van : ;

beeld van : ;

dan is .



  1. Verhouding van de lengten berekend in opgaven 3 en 4.

  2. met

Berekening van deze afgeleide geeft:





Werktekst: Is Groenland groter dan Congo?

  1. Op de wereldbol is het moeilijk te zeggen. Beide landen zijn ongeveer even groot.

  2. Groenland is het grootst.

  3. Groenland: 2 166 089 km2, Congo: 2 345 410 km2. Congo is dus het grootst.

  4. De zijden zijn gebogen lijnen en de verticale lijnen snijden op de noordpool. Voor Congo kun je wel min of meer van een ‘rechthoek’ spreken. In het geval van Groenland zou ‘trapezium’ misschien beter zijn.

  5. , dus

    met

  6. Groenland:

    Congo:





  7. Groenland:

    Congo:



  8. Groenland: km2 = 2 246 537 km2

    Congo: km2 = 2 293 427 km2



  9. De oppervlakte voor Groenland is een beetje te groot, die voor Congo een beetje te klein. Congo blijft wel groter dan Groenland.





  10. , dus

  11. is een constante, dus x is een constante.

  12. is een constante, dus y is een constante.

  13. , dus .

  14. De beelden van de breedtecirkels zijn horizontale rechten op de volgende afstanden van de evenaar:

    Breedte


    Afstand tot evenaar op de kaart (in cm)

    15°

    1,07

    30°

    2,31

    45°

    4

    60°

    6,93

    75°

    14,93

    Bv. ; ; … De beelden van de breedtecirkels 75° NB en 75°ZB vallen buiten het blad.



  15. Beeldpunten van de hoekpunten van Congo en Groenland:

Groenland

Congo


Coörd. hoekpunt

Coörd. beeld



Coörd. hoekpunt

Coörd. beeld



(81,6°; 51,73°)

(3,61; 27,09)

(4,08°; 17,4°)

(1,21; 0,29)

(81,6°; 21,97°)

(1,53; 27,09)

(4,08°; 29,17°)

(2,04; 0,29)

(62°; 21,97°)

(1,53; 7,52)

(11,73°; 29,17°)

(2,04; 0,83)

(62°; 51,73°)

(3,61; 7,52)

(11,73°; 17,4°)

(1,21; 0,83)

Bv. en bij het beeld van het eerste hoekpunt voor groenland. De twee eerste hoekpunten van Groenland vallen ver buiten het blad.



  1. Oppervlakte ‘rechthoekig Groenland’ cm2 = 40,7056 cm2.

    Oppervlakte ‘rechthoekig Congo’ cm2 = 0,9296 cm2.



    Groenland is op de kaart véél groter dan Congo.

Is Groenland groter dan Congo?


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2016
stuur bericht

    Hoofdpagina