Oplossingen a theorie (10 pt, 60 minuten)



Dovnload 31.75 Kb.
Datum18.08.2016
Grootte31.75 Kb.

Pagina van

Examen ‘Berekening van Bouwkundige Constructies I’
26 mei 2010


OPLOSSINGEN
A Theorie (10 pt, 60 minuten)
In onderstaande worden tien stellingen geformuleerd. U antwoordt met W(aar) indien u het met de stelling eens bent of V(als) indien u meent dat de stelling fout is. Let wel, bij dit type van vragen wordt een giscorrectie toegepast: goed antwoord = + 1, foutief antwoord = - 1, geen antwoord = 0.

A1 Stelling: om een vloer van een discotheek te ontwerpen volgens de Eurocodes, brengt men in België een nuttige vloerlast in rekening waarvan de karakteristieke waarde 5 kN/m² bedraagt.

W

A2 Stelling: volgens de terminologie van de algemene sterkte- en stijfheidsvoorwaarden zijn nuttige vloerlasten in gebouwen voorbeelden van statische, variabele belastingen.

W

A3 Men beschouwt een isostatisch opgelegde balk (scharnier links, rol rechts) met constante buigstijfheid die onderworpen is aan een gelijkmatig verdeelde belasting p (kN/m). Stelling: de lijn die de hoekverdraaiing in de verschillende punten van de balk geeft, is volgens de elasticiteitsleer een veeltermfunctie van de derde graad in de abscis x.

W

A4 Men beschouwt een balk met twee gelijke overspanningen die rust op een scharnier links en rollen in het midden en rechts en die onderworpen is aan een zekere verticale belasting. Er wordt ondersteld dat de balk zich elastisch gedraagt en dat de buigende momentenverdeling bekend is. Om de deflecties van de balk te bestuderen past de ontwerper de methode van de virtuele arbeid toe en gebruikt hij een hulplichaam met dezelfde geometrie en randvoorwaarden als de gegeven balk. Stelling: om de buigende momentenlijn – de m-lijn – in het hulplichaam te bepalen die wordt opgewekt door een verticale eenheidslast, mag hij de grootte en zin van één verticale oplegreactie vrij kiezen.

W

A5 Men beschouwt een prismatische balk met lengte L en buigstijfheid EI die aan het linker uiteinde ingeklemd is en aan het rechter uiteinde vast verbonden is met een rol. Die rol vertoont evenwel een discordantie in de zin dat hij zich niet op hetzelfde peil als de inklemming bevindt maar een bedrag v0 – bijvoorbeeld 1 cm - lager is dan de inklemming. Stelling: daardoor ontstaat een inklemmingsmoment in tegenwijzerzin ter grootte 6EIv0/L³.

V

A6 Men beschouwt een prismatische staaf met een massieve, ronde doorsnede. Zij r de straal van de doorsnede. Stelling: de centrale kern van de doorsnede is een cirkel met straal r/4.

W

A7 Om het knikprobleem, corresponderend met het systeem linksonder in de figuur 5 blz. 5.6, te bestuderen, gebruikt men de dynamische en kinematische randvoorwaarden. Stelling: met de notaties die in het hoofdstuk betreffende Eulerknik ingevoerd werden is de dynamische randvoorwaarde M0 = 0 en zijn de kinematische randvoorwaarden v0 = v1 = 1 = 0.

W

A8 Een ontwerper berekent een elastisch raamwerk zonder discordanties met de methode van Gehler waarbij de normaalkrachtvervorming mag verwaarloosd worden. Hij maakt echter een fout doordat hij de buigstijfheid van de stijlen en de spantregels met een factor 2 te hoog inschat. Stelling: daardoor zijn de berekende buigende momenten, dwarskrachten en normaalkrachten eveneens een factor 2 te groot.

V

A9 Men beschouwt een vakwerk in de vorm van een andreaskruis met één beuk en één verdieping waarvan de stijlen scharnierend verbonden zijn met de fundering. De hoogte h en de breedte b van het kruis zijn aan elkaar gelijk. Bij onderstelling zijn de kruisende diagonalen kabels; de stijlen en de regels zijn buigstijve staven die weliswaar scharnierend met elkaar verbonden zijn. Tevens werkt een horizontale kracht H ter hoogte van de bovenregel. Stelling: in de beide diagonalen werkt een normaalkracht die in absolute waarde gelijk is aan .

V

A10 Men beschouwt een tweescharnierboog waarvan de hartlijn een symmetrische parabool van de tweede graad met pijl f en overspanning L beschrijft. De rechter helft van de boog is onderworpen aan een gelijkmatig verdeelde belasting waarvan de amplitude per eenheid van horizontale afmeting 4p bedraagt. Stelling: indien men de normaalkrachtvervorming van de boog verwaarloost, is de spatkracht gelijk aan pL²/(2f).

V

B Oefeningen (180 minuten, 20 punten)

B1 Doorlopende ligger: virtuele arbeid (7 pt, 60 min)

De belastingsverdeling en het buigend momentendiagram van een stalen, doorlopende ligger zijn in de figuur gegeven. Het profiel is een gewalste IPE200 (I = 1943 cm4, W = 194,3 cm3).



B
epaal:

a) het dwarskrachtendiagram

b) de oplegreacties en de grootte van F en p

c) de getalwaarde van de neerwaartse verplaatsing van B m.b.v. virtuele arbeid

d) de getalwaarde van de hoekverdraaiing in F (in tegenwijzerzin) m.b.v. virtuele arbeid

Oplossing:

a) bereken de dwarskrachten met V=-dM/dx (een uitdrukking van M in de overspanning DF moet zelf opgesteld worden). De dwarskracht is constant in de delen AB, BC en CD. Aangezien de momentenlijn parabolisch is in het gedeelte DF, varieert de dwarskracht daar lineair.

VAB=VBA =-20.08 kN, VBC=VCB=29.92 kN, VCD=VDC=-2.11 kN,VDF=-33.51 kN,VFD=26.48 kN

b) de oplegreacties kunnen berekend worden uit het dwarskrachtendiagram (door het verticaal evenwicht rond elk steunpunt uit te drukken).

YA=20.08 kN, YC=32.03 kN,YD=31.40 kN,YF=26.48 kN

De grootte van F en p kan ook bepaald worden door het dwarskrachtendiagram te gebruiken. Een andere optie staat weergegeven in de figuur hieronder (met L=6m). Er wordt gevonden dat F=50 kN en p=10 kN/m.



Uiteraard is de bovenstaande oplossingswijze van deelvragen (a) en (b) slechts één van de vele mogelijke oplossingswijzen.

c) De verplaatsing van B kan gevonden worden door gebruik te maken van de integralen van Mohr (cf. p.3.29 theoriecursus) , waarbij een eenheidskracht wordt aangebracht op een eenvoudig opgelegd hulplichaam AC (zie onderstaande figuur). Opgelet, de eenheidskracht is hier opwaarts gericht, dus er zal op het einde nog een tekenomslag moeten gebeuren om de neerwaartse verplaatsing te vinden. Er geldt dat mB=-1L/4. (met L=6m)



d) Ook hier wordt de integraal van Mohr gebruikt. Er wordt gebruik gemaakt van een enkelvoudig opgelegd hulplichaam DF waarop een eenheidskoppel in tegenwijzerzin aangrijpt (zie figuur hierboven). Er geldt dat mF=1.





B2 Balkentheorie (5 pt, 40 min)

Gegeven:

Een eenzijdig ingeklemde, stalen balk met een dunwandige doorsnede zoals op de figuur. Op het vrije uiteinde grijpt een verticale kracht Vy=10kN aan. De lengte van de balk is 5m, en de wanddikte is 5mm. (Tip: bij een dunwandige doorsnede mag men, voor de berekening van de doorsnedekarakteristieken, de oppervlakte geconcentreerd denken op de hartlijn van de wanden.)



Gevraagd:

a) Waar is de schuifstroom maximaal indien de werklijn van de kracht doorheen het zwaartepunt G gaat? Wat is de waarde van deze maximale schuifstroom?

b) Wat zal de hoekverdraaiing van het vrije uiteinde (om de langsas van de balk) zijn indien de werklijn van de verticale kracht samenvalt met de linkerrand van de doorsnede?

Oplossing:

a) aangezien de werklijn van de dwarskracht samenvalt met de verticale symmetrieas van de doorsnede, zal de schuifstroom in de kokerwanden nul zijn op de plaatsen waar de y-as de doorsnede snijdt. Dit zorgt ervoor dat de schuifstroom enkel bepaald wordt door volgende uitdrukking, als s=0 gekozen wordt in het midden van de onderrand: . De schuifstroom zal maximaal zijn op de locatie waar Sz(s) maximaal is. Dit gebeurt ter hoogte van het zwaartepunt, voor y=0. Het is dus helemaal niet nodig om hele verloop van de schuifstroom uit te rekenen.

De afstand van het zwaartepunt tot de onderrand (Yo) kan als volgt bepaald worden: . In deze formule is t de wanddikte, h=a+b. De groottes van a en b staan aangeduid in de figuur. Het traagheidsmoment Iz kan nu ook bepaald worden:

Het statische moment Sz,max van het gedeelte tussen s=0 en het snijpunt van de z-as met de rechterrand van de koker is: .

Uiteindelijk kan er berekend worden dat

In de linkerrand van de doorsnede zal de schuifstroom ook een extreme waarde bereiken voor y=0, waarvan de absolute waarde dezelfde grootte heeft als deze in de linkerrand, maar het teken tegenovergesteld is. Beide schuifstromen zijn dus opwaarts gericht.

b) Er grijpt een wringkoppel aan op het vrije uiteinde van de balk. De hoekverdraaiing van dit uiteinde zal gelijk zijn aan . De specifieke torsiehoek θ van de doorsnede kan berekend worden zoals op p.4.56 van de theoriecursus, bij opmerking (1). Hierin zal de bijdrage van de 2 uitstekende delen zal klein zijn. Uiteindelijk wordt er gevonden dat en dat . De einddoorsnede zal dus een hoekverdraaiing in wijzerzin ondergaan.

B3 Gehler, invloedslijnen (5 pt, 50 minuten)

Gegeven:

Een spant ABC, zoals in de figuur. De lengte van alle staven is gelijk aan L, en de stijfheid van de staven is gelijk aan EI.



Gevraagd:

a) Schets het momenten-, dwarskrachten en normaalkrachtenverloop in de constructie, indien er een koppel K (in wijzerzin) aangrijpt in punt B. De tekenconventie van de snedekrachten is gebaseerd op een waarnemer die rechtsonder staat.

b) Bepaal de invloedslijn naar de hoekverdraaiing van knoop B, voor een mobiele horizontale last die kan aangrijpen op de kolom AB. De hoekverdraaiing is positief in wijzerzin en de horizontale belasting is positief indien deze naar rechts gericht is.

(tip: maak hiervoor gebruik van de resultaten bekomen in (a) en de wederkerigheidsstelling van Maxwell )

Oplossing:

In de oplossing wordt het koppel K vervangen door een koppel M.

a) Indien gebruik gemaakt wordt van de methode van Gehler geldt er voor de onbekenden dat:



enkel φB en φC zijn onbekend.

Er zijn dus 2 vergelijkingen nodig: het wentelevenwicht om B en dat om C.



WEC:

WEB:



b) De mobiele kracht grijpt aan op een hoogte x boven A. Volgens de wederkerigheidsstelling van Maxwell geldt er dat de hoekverdraaiing (in wijzerzin) in B tgv. een horizontale mobiele eenheidslast op locatie x (naar rechts) gelijk is aan de horizontale verplaatsing (naar rechts) op locatie x tgv een eenheidskoppel in B (in wijzerzin). De momentenlijn die dit eenheidskoppel veroorzaakt is al bepaald in deel (a), indien M=+1. Er geldt dan dat:



De horizontale verplaatsing naar rechts op locatie x kan gevonden worden door de stelling van Greene te gebruiken en de verplaatsing van x te bepalen relatief t.o.v. de raaklijn in A (die steeds verticaal blijft). De verplaatsing (naar links) is gelijk aan het statisch moment van de momentenlijn tussen A en x, rond locatie x.



Extra controle: kloppen de eenheden van de invloedslijn? L²/(FL²)=1/F: klopt!



B
100 kN
4 Bogen (3 pt, 30 minuten)


Gegeven:

Een parabolische tweescharnierboog (pijl f = 5 m, overspanning  = 20 m, Icos = constant = 200000 cm4) rust op een scharnier A aan de linkerkant en een rol B aan de rechterkant. De geboorten van de boog zijn verbonden met een trekstang (A’ = 200 cm²). De trekstang is 1 cm te kort. De elasticiteitsmodulus van de gebruikte materialen is E = 210 GPa en de normaalkrachtvervorming van de boog zelf mag verwaarloosd worden. In het midden van de boog grijpt een neerwaartse last van 100 kN aan.



Gevraagd:

Bereken de normaalkracht die aanwezig is in de top van de boog.



Oplossing:

Gebruik formule (10) van op pagina 9.20, met A=∞ en ΔT=0.



,

waarin:








De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina