Praktische opdracht wiskunde Inhoudsopgave



Dovnload 30.44 Kb.
Datum25.07.2016
Grootte30.44 Kb.


Praktische opdracht wiskunde




Inhoudsopgave



Inleiding 3

Geschiedenis Cardano en Tataglia 5

Afleiding formule van Cardano 7

Uitwerking van de formule van Cardano 9

Logboek 10

Inleiding

Vorige periode kregen we de opdracht een wiskundig onderwerp te kiezen en daar een verslag over te schrijven inclusief uitwerkingen. Wij hebben hiervoor het onderwerp ‘derdemachtsvergelijkingen’ gekozen. De reden hiervoor is dat dit onderwerp nauw aansluit met de wiskunde die wij onderwezen krijgen. Op deze manier verwachten wij door het maken van dit werkstuk wat op te steken over algebra.


In dit verslag zullen we de volgende aspecten behandelen. Eerst vertellen we wat over de twee wiskundigen Cardano en Tartaglia, dit zijn twee wiskundigen die zich met het probleem van de derdemachtsvergelijkingen hebben bezig gehouden. En hierin zullen we laten zien hoe ze vroeger hun wiskundige problemen opschreven.

Een vergelijking zoals x3 + 6x = 20 is met onze huidige kennis niet zomaar op te lossen. En ook in de tijd van Cardano hadden ze hier de nodige moeite mee. Er waren wel methodes om bepaalde vormen van derdemachtsvergelijkingen op te lossen, maar ze waren op zoek naar een algemene methode om alle vormen van derdemachtvergelijkingen te kunnen oplossen. Ze waren op zoek naar een soort abc-formule voor derdemachtsvergelijkingen. Deze heeft Cardano gevonden, de formule van Cardano.

We zullen de formule van Cardano, waarmee de derdemachtsvergelijkingen zijn op te lossen afleiden. Wanneer deze is afgeleid zullen we met een rekenvoorbeeld laten zien hoe de formule werkt.

Problemen bij het oplossen van een derdegraadsvergelijking.

Cardano merkte iets raars op tijdens het gebruiken van de formule op sommige derdegraadsvergelijkingen. Bij het oplossen van x^3 =15x +4 kwam hij op sommige antwoorden als wortel -121. Cardano wist dat je geen wortel kon trekken van een negatief getal, maar hij wist ook dat het antwoord van de som 4 was. Hij schreef naar Tartaglia op 4 augustus 1539 in een tevergeefse poging te vragen of hij de oplossing hiervan wist.


Uiteindelijk heeft hij de oplossing om derdegraadsfuncties op te lossen gepubliceerd.
Elke derdegraadsvergelijking kon tot de algemene vorm worden gereduceerd:

z3 + pz + q = 0. Als p geen nul is kan de vergelijking gereduceerd worden tot de volgende functie: u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0. De oplossing kan gevonden worden door afzonderlijk u3 + v3 + q = 0 en 3uv + p = 0 te stellen. De tweede vergelijking is te herschrijven als u = -p/3v deze wordt gesubstitueerd in de eerste wat een kwadratische vergelijking oplevert die opgelost kan worden.

In het boek ‘Arts Magna’ geeft Cardano een berekening met ‘complexe nummers’ om een gelijk probleem op te lossen, maar hij begreep zijn eigen berekingen niet echt, waar hij van beweert:


‘It is as subtle as useless’

Hij spreekt in zijn boek dan ook verschillend over de ‘true solution’ en de ‘fictious solution’. Hij had nog niet door dat oneven vergeijkingen misschien wel negatief konden zijn.



Geschiedenis Cardano en Tataglia

Girolamo Cardano was het onwettige kind van Fazio Cardano en Chiara Michera. zijn vader was een advocaat in Milaan maar was zo goed in wiskunde dat Leonardo da Vinci hem vaak vragen stellen over ruimtemeetkunde. naast dat haar advocaat was gaf hij ook les meer ruimtemeetkunde aan de universiteit van Pavia. wanneer hij zo’n 50 jaar was, ontmoette Fazio Chiara, in jonge weduwe met drie kinderen.

Charia werd zwanger, maar voor ze ging bevallen kwam de pest in Milaan, en ging ze naar een klein stadje buiten Milaan, voor haar veiligheid. Cardano werd daar geboren, maar nog geen paar dagen later kreeg zijn moeder te horen dat haar andere drie kinderen waren overleden aan de plaag in Milaan. zijn vader en moeder leeft nog apart voor een aantal jaren, maar later trouwden ze.

Cardano werd eerst zijn vaders assistent, maar na een paar jaar verlangde toch om te gaan studeren. na ruzie met zijn vader, stond zijn vader het eindelijk toe dat hij aan de universiteit van Pavia medicijnen ging studeren, in plaats van rechten.

Cardano haalde zijn doctoraal in medicijnen in 1525 en probeerde om bij het college van dokters in Milaan te komen. het college wilde hem niet aannemen, omdat hij zo’n moeilijk man was. De ontdekking van zijn onwettige geboorte gaf hen een reden om hem af te wijzen.

in 1531 trouwde Cardano met Lucia. Sinds toen ging het alleen maar slechter met


hun. Uiteindelijk belandden ze in een armenhuis in Milaan.
Gelukkig kon Cardano de vroegere plek als een leraar wiskunde van zijn vader overnemen. In zijn vrije tijd deed hij ook nog wat aan geneeskunde, en door een paar wonderlijke genezingen, groeide zijn reputatie als dokter. naar een hoop druk van zijn bewonderaars, werken hij uiteindelijk vier jaar later toegelaten tot het college van dokters. hetzelfde jaar werden zijn eerste twee boeken over wiskunde gepubliceerd.

In 1539 benaderde Cardano Tartagiala die een wiskundewedstrijd had gewonnen, door derdegraads vergelijkingen op te lossen. Cardano haalde hem over om de methode te vertellen. Tartaiga stemde eindelijk toe nadat hij een eed had afgelegd. Cardano zou de methode niet publiceren voordat Tartagia dat had gedaan.

Cardano bleef zes jaar lang de wiskunde bestuderen, hij probeerde derde- en vierdegraadsvergelijkingen op te lossen.
Een van de problemen die Cardano tegen kwam was dat hij negatieve getallen had die hij moest worteltrekken om een antwoord te krijgen, en hij wist dat het antwoord een gewoon positief getal moest zijn.
Tartaglia, die hij geschreven had over het probleem, beweerde dat zijn methodes gewoon compleet fout waren.

In 1545 publiceerde Cardano zijn grootste werk, Arts Magna. Hierin geeft hij de methodes om derde en vierdegraads vergelijkingen op te lossen.

In 1543 had hij ontdekt dat Tartagia niet de eerste was die de derdegraads vergelijking had opgelost. Daarom vond hij dat hij het wel kon publiceren, ondanks zijn eed. Tartagia beschuldigde hem van meineed en er ontstond een bittere strijd tussen de twee.

In 1970 werd Cardano schuldig bevonden aan de aanklacht van ketterij. Hij zou een heel boek hebben geschreven over Nero, een martelaar. Nadat hij zichzelf onschuldig had bewezen werd hij weer vrijgelaten.


Hij werd wel verboden om nog verdere boeken te publiceren.

Nadat hij vrijgelaten was vertrok Cardano naar Rome, waar hij onverwacht erg warm werd ontvangen. Hij kreeg meteen een lidmaatschap van aan het college van dokters en de paus, die hem had vergeven, gunde hem woonplaats. Dit is ongeveer wanner hij zijn autobiografie schreef. Hij werd ongeveer 50 jaar later voor het eerst gepubliceerd.

Er is beweerd dat Cardano de exacte datum van zijn overlijden wist te voorspellen. Anderen beweren dat hij toen gewoon zelfmoord had gepleegd. Op 21 september 1576 overleed Giralimo Cardano.
Niccolò Tartaglia stamt uit een arme familie die Fontana heette. Hij was jong toen zijn vader stierf. Toen de Fransen Brescia innamen in 1512 raakte hij gewond en die spraakproblemen veroorzaakte, waardoor hij de stotteraar genoemd werd. Om in leven te blijven moest hij bedelen. Hij leerde zichzelf lezen uit een gestolen boek en leerde schrijven op grafstenen omdat het papier te duur was. Hij ontwikkelde zoveel kennis van wiskunde waardoor hij kon lesgeven Verona Vincenza en Venetië.

In 1535 werd Tartaglia, die verschillende speciale gevallen van de derdegraadsvergelijking had opgelost, uitgedaagd voor een wedstrijd door Antonio Fior, een leerling van Scipio del Ferro. Toen Tartaglia begreep dat Fior een oplossing van Ferro had gekregen, gooide hij al zijn kunnen in de strijd en won. Het lukte hem om ook de methode van zijn tegenstander te ontrafelen. Nadat Cardano de eed had gebroken ontstond er een uitwisseling van beledigingen en wiskundige uitdagingen tussen de twee.


Tataglia stierf op 1557.

Afleiding formule van Cardano

De formule van Cardano wordt gebruikt voor het oplossen van derdegraads vergelijkingen van de vorm


Om een dergelijke vergelijking op te kunnen lossen, moet de functie eerst gesubstitueerd worden. Dit wordt gedaan door te nemen. Deze methode is door de jaren heen gevonden, het is een truc om vergelijkingen op te kunnen lossen.

Vervolgens wordt dit in de vergelijking ingevuld:



Uitgewerkt ziet dit er als volgt uit:

Door te vereenvoudigen en gezamenlijke factoren buiten haakjes te halen, ontstaat het

volgende:



Dus

met








Vermenigvuldigen met







Hieruit volgt dat de oplossing is van deze tweedegraads vergelijking, welke bijvoorbeeld gevonden kan worden door het toepassen van de abc-formule.







Vermenigvuldig met

Omschrijven








Hieruit volgt dat de oplossing is van deze tweedegraads vergelijking, welke bijvoorbeeld gevonden kan worden door het toepassen van de abc-formule.






Met en

Uitwerking van de formule van Cardano


Nu volgt een uitwerking van het oplossen van een derdemachtsvergelijking met behulp van de formule van Cardano. Hiervoor nemen we de volgende vergelijking:



De oplossingen voor deze vergelijkingen worden gevonden door de volgende Formule in te vullen.





Invullen:





Dit is één van de oplossingen. Er kunnen echter maximaal drie oplossingen zijn. Omdat we al een oplossing hebben, kunnen we ontbinden. Dit moet dus iets als worden. Als een derdegraads vergelijking ontbonden wordt, ontstaat er een tweedegraads vergelijking. In dit geval komt er uit. Als we deze vergelijking verder ontbinden krijgen we . Hieruit volgt dat en .


De oplossingen van de functie zijn dus , en .

Logboek





Wie?

Wat gedaan?

Wanneer?

Tijdsduur?

Isaak

Problemen en geschiedenis

Lay-out


Zondag 19 maart

Vrijdag 24 maart



4 uur

½ uur


Niels

Afleiding en uitwerking

Zondag 19 maart

6½ uur

Ferry

Afleiding en uitwerking

Zondag 19 maart

6½ uur










De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina