Uittreksel Analyse d inhoudsopgave



Dovnload 108.35 Kb.
Datum27.08.2016
Grootte108.35 Kb.


Uittreksel Analyse D
Inhoudsopgave





Voorwoord

Dit is een uitgebreid uittreksel van hoofdstuk 12 uit het boek Calculus 5e editie. Het bevat alle begrippen en formules in de volgorde waarin die in het boek aan bod komen. Als er in de studiewijzer staat dat bewijzen gereproduceerd moeten worden, heb ik die in dit uittreksel opgenomen. In de bijlage bespreek ik enkele belangrijke functies m.b.t. rijen en reeksen op de TI-89.


Succes met de module Analyse D. Bert Kraai

  • Introductie


Zeno van Elea (490-425 v.Chr.) formuleerde vier paradoxen over beweging.

Zie: plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ en nl.wikipedia.org/wiki/Zeno_van_Elea




  1. Dichotomie
    Volgens deze stelling is het onmogelijk om een afstand te overbruggen. Als je een afstand wil overbruggen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen. Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook voor die helft eerst een helft te overbruggen. Aangezien afstanden oneindig deelbaar zijn, kan men onmogelijk een gegeven afstand afleggen.




  1. Achilles en de schildpad
    De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De laatste krijgt een voorsprong. Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad intussen in punt B aangekomen. Arriveert Achilles in dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen in punt C, enzovoorts. Conclusie: de achterstand wordt kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in. Dit is een paradox, want in werkelijkheid zou Achilles de schildpad wel inhalen. De paradox wordt onder meer veroorzaakt door het feit dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Start de schildpad bijvoorbeeld met 100 meter voorsprong, en loopt Achilles tien keer sneller dan de schildpad, dan convergeert de voorsprong van de schildpad via 100 → 10 → 1 → 0,1 → 0,01 → 0,001 → 0,0001 naar nul. Ook de tijdsafstand tussen het door Achilles bereiken van de punten A, B, C, enz. convergeert naar nul.




  1. De vliegende pijl
    Wanneer men een vliegende pijl op een ondeelbaar ogenblik beschouwt, bevindt hij zich op een bepaalde plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in de ruimte is hij dus in rust. Maar wanneer hij op elk moment in rust is, dan is hij ook gedurende de hele vlucht in rust. De pijl beweegt zich niet. Het is Bergson (1911) geweest die deze paradox oploste door aan te geven dat de pijl alleen op tijdsintervallen beweegt en niet op de afzonderlijke tijdstippen zelf.




  1. Het stadium
    Voor een waarnemer A passeren twee objecten B en C in tegengestelde richting, maar met eenzelfde snelheid. Nu maakt Zeno een denkfout door te stellen dat, omdat de relatief afgelegde afstand tussen B en C 2x zo groot is als de afgelegde afstand van B t.o.v. A, dat dan de relatieve snelheid van C ook 2x zo groot is als die van B.
    Recentere filosofen hebben deze paradox aangegrepen om aan te tonen dat er geen minimale tijdseenheden bestaan. Want als er een minimale tijdseenheid bestaat waarin B één positie naar rechts en C één positie naar links beweegt en zij passeren elkaar onderweg, dan zou er geen enkel moment zijn waarop B en C zich op gelijke hoogte bevinden.

Zeno's paradoxen lijken vandaag misschien triviaal, maar ze vormden een groot probleem voor de filosofen van de oude tijd en de middeleeuwen.


Pas in de 17e eeuw vond men een bevredigende oplossing in de wiskundige resultaten op het gebied van oneindige reeksen en calculus. Naar moderne inzichten wordt de paradox opgelost door het fundamentele inzicht van de calculus dat een som van oneindig veel termen een eindig resultaat kan opleveren. Het oneindige aantal tijdsspannen dat Achilles nodig heeft om de vorige posities van de schildpad te bereiken leveren bij elkaar opgeteld een eindige totaaltijd, en dat is inderdaad de tijd die Achilles nodig heeft om de schildpad in te halen.

Anderzijds maken de paradoxen van Zeno duidelijk dat de staat van het “zijn” een vrijheid in reizen in tijd en ruimte impliceert, die haaks staat op onze dagelijkse belevingswereld, waarin tijd en ruimte wordt gemeten en verdeeld.



De limiet van een rij

De positie van Achilles kan weergegeven worden met de rij = en de positie van de schildpad met de rij = .


Nu geldt dat , met de plaats waar ze elkaar inhalen.

De som van een rij

In een aantal gevallen is de som van een oneindige rij een eindige uitkomst waar een betekenis aan gehecht kan worden. Zo blijkt bijvoorbeeld dat de limiet van de som van de rij = de limiet van de somrij = .

In hoofdstuk 12 wordt het idee van Newton uitgewerkt om oneindige rijen vanuit de differentiaal- en integraalrekening te onderzoeken.

  • 12. Oneindige rijen en reeksen

  • 12.1 Rijen


Een rij is een functie met als domein de verzameling van positieve gehele getallen .

Deze domeinwaarden zijn de indexnummers van de rij. De functiewaarden zelf noemen we termen van de rij. Een aldus gedefinieerde rij is altijd oneindig.


Een rij kan geschreven worden als een lijst van functiewaarden in een bepaalde vaste volgorde: met .

noemen we de eerste term, de tweede term enzovoorts.

de -de term, is de daaropvolgende term, de daaraan voorafgaande term.
Houd er rekening mee dat op de TI-89 de indexnummers starten met 0 in plaats van 1.
Er zijn drie manieren om een rij te beschrijven:

  1. als een verzameling getallen

  2. met een directe formule

  3. door de termen op te sommen totdat het patroon duidelijk is.


1 De functiewaarden van een rij hebben limietwaarde
of als
als we de termen naar kunnen laten naderen door voldoende groot te kiezen.

2 Exacter gedefinieerd: als voor iedere er een overeenkomstig geheel getal is zodanig dat wanneer . Samengevat: .

Deze definitie moeten we toe kunnen passen in concrete gevallen. Zie de voorbeelden 1 en 2 in de studiewijzer. De stappen bij het bewijs zijn:



  • Schrijf op: “Neem een willekeurig. We moeten aantonen dat er een bestaat zodanig dat er voor alle geldt dat: …“

  • Bereken zonodig de limietwaarde. Vul zowel de directe formule van de rij als de limietwaarde in in .

  • Doe op een kladblaadje wat voorwerk, door deze ongelijkheid middels
    bi-implicaties te herschrijven tot uitgedrukt in . Dit levert een grenswaarde op voor . Kies nu gelijk aan deze grenswaarde.

  • Schrijf op: “Als , dan is …” en schrijf nu de uitwerking van het kladblaadje in omgekeerde volgorde op, totdat uiteindelijk de conclusie volgt dat . QED.

Als bestaat, zeggen we dat de rij convergeert.


Als niet bestaat, zeggen we dat de rij divergeert.
Het enige verschil tussen definitie 2 en definitie 4.4.5 van de limiet van een functie is gelegen in het feit dat een positief geheel getal is. Dus kunnen we ook schrijven:
3 Als en als een geheel getal is, dan geldt dat .

Toegepast levert dit:



4 Omdat met geldt tevens dat voor .
5 betekent dat er voor ieder positief geheel getal een geheel getal is zodanig dat wanneer .
We zeggen in dit geval dat divergeert naar .
Ook de overige limietregels uit § 2.3 gelden voor rijen.
Als en convergente rijen zijn en is een constante, dan geldt dat

en

en

en als

als en
Voor rijen geldt tevens de inklemmethode:

Als voor en dan geldt dat .


6 Verder geldt dat als dat dan ook .
8 Voor de rijen geldt dat voor en voor .

Voor alle andere waarden van is deze limiet divergent.


9 Een rij is stijgend als voor alle .

Een rij is dalend als voor alle .

Een rij is monotoon als ofwel stijgend ofwel dalend is.
Een rij is begrensd aan de bovenzijde als er een getal is zodanig dat voor alle . Hij is begrensd aan de onderzijde als er een getal is zodanig dat voor alle . Als de rij zowel aan de onderzijde als de bovenzijde begrensd is, noemen we deze rij een begrensde rij.
11 Tot slot nog een belangrijke stelling: iedere begrensde monotone rij is convergent.

Bewijs: zie blz. 745.

In de studiewijzer staan een 7-tal stellingen met bewijzen, die we moeten kennen.
Stelling 1.1

Elke rij heeft ten hoogste één limiet.


Bewijs (uit het ongerijmde)

Stel dat een rij twee verschillende limieten en heeft.

We kiezen nu .

Omdat is er een zodanig dat voor alle geldt: .

Omdat is er een zodanig dat voor alle geldt: .

Neem nu . Dan is (bij driehoeksongelijkheid toepassen): .

Dit levert tegenspraak op. Dus kunnen er geen twee verschillende limieten bestaan. QED.

Stelling 1.2

Als = , dan is , waarbij .


Bewijs:

Neem willekeurig. Dan geldt voor alle (vul voor maar ieder willekeurig getal in groter dan 1): . QED.



Stelling 1.3

Als en , dan geldt .


Bewijs:

Als dan is . Deze rij is convergent met limiet 0 (stelling 1.2).

Veronderstel en neem willekeurig. Omdat is er een zodanig dat voor alle geldt: .

Dus geldt voor alle : . QED.


Stelling 1.4

Als en , dan is .


Bewijs:

Neem willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een bestaat, zodanig dat voor alle geldt: .

Omdat bestaat er een zodanig dat voor alle geldt: .

Omdat bestaat er een zodanig dat voor alle geldt: .

Neem nu . Dan geldt voor alle :

. QED.

Stelling 1.5

Als en , dan is .


Bewijs:

Twee mogelijkheden:



  • Analoog aan stelling 1.4

  • Door toepassing van stelling 1.4 en 1.3, waarbij .


Stelling 1.6

Als en , dan is .


Bewijs:

Neem willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een bestaat, zodanig dat voor alle geldt: .


Zie verder inzendopgave 1.1

Stelling 1.7

Elke convergente rij is begrensd.


Bewijs:

Laat een convergente rij zijn met limiet .

Kies nu . Dan bestaat er een , zodanig dat voor alle geldt:

. Voor alle geldt dus .

Stel nu en .

Dan geldt voor alle : . Dus is begrensd.
Het omgekeerde geldt niet: niet iedere begrensde rij is convergent. Neem .

Ook is niet iedere monotone rij convergent. Neem . De belangrijke stelling 11 geeft aan dat een rij die zowel monotoon als begrensd is wel convergent is.




  1. Appendix E: Sigmanotatie


De volgende regels gelden voor de sommering van een rij:

2




3









  1. 12.2 Reeksen


Definitie: een reeks is de somrij die ontstaat door sommatie van de getallen van een rij.

Omdat het pas spannend wordt als deze sommatie doorloopt tot in het oneindige, gebruiken we bij reeksen vaak het sigmateken.



ook wel kortweg geschreven als betekent
Bij het bepalen van de uiteindelijke som kijken we naar de ontwikkeling van de partiële som, gedefinieerd als .

2 Als de rij convergent is en de bestaat, dan noemen we de reeks convergent. We schrijven dit als oftewel .

Het getal noemen we de som van de reeks. Er geldt .

In alle andere gevallen noemen we de reeks divergent.
4 Voor meetkundige rijen geldt dat convergent is als en dat de som gelijk is aan . Alle meetkundige rijen met zijn divergent.
6 Als de reeks convergent is, dan volgt daaruit dat .

Bewijs:


Neem . Dan geldt dat . Omdat convergent is, is ook de rij convergent. Neem . Omdat ook , geldt tevens dat . Conclusie: .
NB. Het omgekeerde geldt niet altijd! Als hoeft de reeks niet convergent te zijn. Zie de harmonische reeks.
7 Divergentietest (Test for Divergence):
Als niet bestaat of als , dan is de reeks divergent.

8 Als en beide convergente reeksen zijn,

dan geldt dit ook voor , en .

Immers: , en .

  1. 12.3 Het integraalkenmerk


In het algemeen is het niet eenvoudig om de exacte som van een reeks te bepalen.

In de nu volgende paragrafen worden daarom technieken aangereikt waarmee we kunnen bepalen of een reeks convergent of divergent is. Soms is het nog wel mogelijk om met deze technieken een goede inschatting te maken van de uiteindelijke som.


De eerste techniek is de integraaltest (Integral Test)

Stel dat een continue, positieve, dalende functie is op het interval en dat geldt dat . Dan is de serie convergent dan en slechts dan als de oneigenlijke integraal convergent is. Met andere woorden:



  • Als convergent is, is convergent.

  • Als divergent is, is divergent.

1 De -reeks is convergent als >1 en divergent als 1.

Let op: in het algemeen geldt NIET dat = !

Kijk maar naar de tekeningen in het boek. Met de integraal bereken je de totale oppervlakte onder de getekende grafiek. Met de som alleen de totale oppervlakte van alle getekende rechthoeken.
Om na te gaan hoe nauwkeurig onze schatting van de totale som is, kunnen we een schatting maken van de resterende som vanaf een bepaalde waarde van .

2 Restschatting voor de integraaltest (Remainder Estimate for the Integral Test)
Stel dat , waarbij een continue, positieve, dalende functie is voor en dat convergent is. De resterende som is dan te schatten met . Zie de tekeningetjes linksonder op blz. 762.

We kunnen deze ongelijkheid ook herschrijven door overal bij op te tellen:



3 .

  1. 12.4 Vergelijkingskenmerken


Gegeven zijn twee reeksen en met positieve termen.

De vergelijkingstest (Comparison Test) zegt dan dat:



  1. als convergent is en voor alle , dan is ook convergent.
    We noemen dit het majorantenkenmerk. is een convergente majorante.

  2. als divergent is en voor alle , dan is ook divergent.
    We noemen dit het minorantenkenmerk. is nu een divergente minorante.

We vergelijken vaak met ( -test) en (meetkundige rijen). Hierbij kiezen we door uit te gaan van de hoogste machten van teller en noemer in .


Als niet aan de voorwaarden van deze vergelijkingstest is voldaan, kan de limietvergelijkingstest (Limit Comparison Test) uitkomst bieden.

Gegeven zijn twee reeksen en met positieve termen.

Als waarbij een bepaald getal is met , dan zijn ofwel beide reeksen convergent ofwel beide divergent.
Met de vergelijkingstests kunnen we een schatting maken van de uiteindelijke som en uitspraken doen over de nauwkeurigheid met behulp van een berekening van de resterende som. Zie voorbeeld 5.

  1. 12.5 Alternerende reeksen


Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar reeksen waarbij de termen positief waren.

In deze paragraaf gaat het over reeksen die afwisselend (alternerend) positief en negatief zijn. Deze reeksen hebben de vorm , waarbij een reeks is met positieve termen.


De altenerende reekstest (Alternating Series Test, ook wel: kenmerk van Leibniz)

zegt dat een alternerende reeks convergent is, als voldoet aan de volgende voorwaarden:



  1. voor alle

  2. voor alle (dus is dalend)

  3. . (de termen nemen af naar 0)

Omdat bij alternerende reeksen de som steeds tussen twee opeenvolgende termen in ligt, geldt hier een specifieke wijze om de resulterende som te schatten.

Als de som is van een alternerende reeks die voldoet aan de voorwaarden en dan geldt dat .

Met andere woorden: de schattingsfout is kleiner of gelijk aan de absolute waarde van de eerstvolgende weggelaten term.


  1. 12.6 Kenmerken van d’Alembert en Cauchy


1 Een reeks wordt absoluut convergent genoemd als de reeks van absolute waarden convergent is. Voorbeeld: , want is een convergente -serie met = 2 >1.
2 Een reeks is conditioneel convergent als hij wel convergent is, maar niet absoluut convergent.

Voorbeeld: is zelf wel convergent volgens de alternerende reekstest, maar de absolute reeks is een divergente -serie met = 1.


Een convergente reeks met alleen maar positieve termen is ook altijd absoluut convergent.
3 Als een reeks absoluut convergent is, dan is hij tevens convergent.
De ratiotest (Ratio Test, ook wel: kenmerk van D’Alembert):

  1. Als dan is absoluut convergent en daarmee convergent.

  2. Als of als dan is divergent.

  3. Als kan er geen conclusie getrokken worden over convergentie of divergentie van .

Als er machten in het spel zijn, kunnen we beter uit de voeten met de worteltest
(Root Test, ook wel: kenmerk van Cauchy):

  1. Als dan is absoluut convergent en daarmee convergent.

  2. Als of als dan is divergent.

  3. Als kan er geen conclusie getrokken worden over convergentie of divergentie van .


Herschikkingen van termen in de rij

Herschikkingen van termen in eindige rijen hebben geen effect op de som van die eindige rij. Anders ligt het bij oneindige rijen. Het blijkt dat herschikkingen bij absoluut convergente reeksen geen effect hebben op de som van de rij. Maar bij conditioneel convergente reeksen kan herschikking leiden tot een andere som. Sterker nog: kies een willekeurig reëel getal en er is een herschikking te vinden zodanig dat de som gelijk is aan dit willekeurige getal.


  1. 12.7 Strategie voor het testen van reeksen


Net als bij integreren is er geen algoritme wat je klakkeloos kunt volgen bij het testen van reeksen op convergentie. Wat wel handig is, is om de reeksen in verschillende categorieën op te delen, met daarbij de meest voor de hand liggende test.

  1. Reeksen van de vorm zijn -series.
    Convergent als > 1 en divergent als 1.




  1. Reeksen van de vorm of zijn meetkundige reeksen.
    Soms is er enige herschrijving nodig om de reeks in deze vorm te krijgen. Convergent als en divergent als .




  1. Reeksen die lijken op -series en meetkundige reeksen kunnen het beste aangepakt worden met de (limiet) vergelijkingstest.
    Als een breuk is of een algebraïsche functie van (inclusief wortelfuncties en polynomen) dan kan de reeks het beste vergeleken worden met een
    -serie. Zie § 12.4.
    De vergelijkingstests voldoen alleen voor reeksen met positieve termen, maar als enkele negatieve termen bevat, dan kunnen we de vergelijkingstest toepassen op en vervolgens testen op absolute convergentie.



  2. Als je in één oogopslag kunt zien dat , dan is de divergentietest een handige aanpak.




  1. Reeksen van de vorm of kun je aanpakken met de alternerende reekstest.




  1. Reeksen die factoren bevatten of andere vermenigvuldigingen (waaronder een constante tot de macht ) lenen zich vaak voor de ratiotest.
    Houd in gedachten dat voor alle -series en daarmee voor alle breuken of algebraïsche functies van . In die gevallen heeft het gebruik van de ratiotest dus geen enkele zin.




  1. Als een reeks is van de vorm , dan kan de worteltest uitkomst bieden.




  1. Als , waarbij eenvoudig is op te lossen, dan is de integraaltest een optie.
    Let er op dat wel een continue, positieve, dalende functie moet zijn.
  1. 12.8 Machtreeksen


1 Een machtreeks is van de vorm

waarbij variabel is en constanten zijn, de coëfficiënten van de reeks.

Voor iedere bepaalde is de reeks een reeks van constanten, die we kunnen testen op convergentie of divergentie.
De som van de reeks is de functie met als domein alle waarden van waarvoor de reeks convergeert.
2 Een reeks van de vorm is een machtreeks in , ook wel machtreeks gecentreerd in of een machtreeks rond .
Opmerkingen:


  1. Als in 1 of als in 2 dan is de term met = 0 gelijk aan 1.

  2. Als in 1 of als in 2 dan zijn voor alle termen 0 en is de reeks altijd convergent.


3 Bij een machtreeks zijn er drie verschillende mogelijkheden:

  1. De reeks convergeert alleen wanneer .

  2. De reeks convergeert voor alle waarden van .

  3. Er is een positieve waarde zodanig dat de reeks convergeert als en divergeert als .

De waarde wordt de convergentiestraal (radius of convergence) van de machtreeks genoemd. In het eerste geval is = 0, in het tweede geval is = .


Het convergentie-interval (interval of convergence) is het interval met alle waarden van waarvoor de machtreeks convergeert. In het derde geval moeten we de eindpunten van het interval apart onderzoeken op convergentie. Zo geldt voor meetkundige rijen dat het convergentie-interval gelijk is aan .
In het algemeen kan de ratiotest (of soms de worteltest) gebruikt worden om de convergentiestraal vast te stellen. De eindpunten van het convergentie-interval moeten met een andere test gecheckt worden.

  1. 12.9 Functies representeren als machtsreeksen


Deze paragraaf gaat over het representeren van functies als de som van machtreeksen door (het differentiëren of integreren van) meetkundige rijen.

Dit is vooral nuttig voor functies waarvoor we geen elementaire primitieve kunnen vinden, voor het oplossen van differentievergelijkingen en voor het benaderen van polynomen.


1 De meest eenvoudige meetkundige rij heeft beginterm 1 en reden .

Een hierbij passende functie voor de som van deze rij is .

De som van deze rij is te schrijven als , waarbij < 1.

Dus is te representeren door voor .


Door andere vergelijkbare functies zo te herschrijven tot ze van de vorm zijn,

is ook hiervan de bijbehorende machtreeks te bepalen. Zie voorbeelden 1 t/m 3.


De som van zo’n machtreeks is de functie , waarbij het domein gelijk is aan het convergentie-interval. We kunnen deze functie term-voor-term differentiëren en integreren.

2 Als de machtreeks een convergentiestraal heeft dan is de

functie gedefinieerd als differentieerbaar (en daarmee continu) op het interval en geldt dat



  1. , dus:


  2. , dus:

De convergentiestralen van de machtreeksen bij 1) en 2) zijn beide . Wel kan het voorkomen dat na differentiëren de gevonden machtreeks bij een eindpunt gaat divergeren.


Bij de uitwerking van opgave 13 staat nog een nuttige tip:

Als je de index van iedere achter het somteken met stapjes wilt verlagen, moet je tegelijkertijd de initiële waarde van onder het somteken met stapjes verhogen.


  1. 12.10 Taylorreeksen en Maclaurin reeksen


1 Stel dat iedere functie gerepresenteerd kan worden door een machtreeks met .

Voor geldt .


2 Als we 1 gaan differentiëren krijgen we:

met .

Voor geldt .


3 Als we 2 gaan differentiëren krijgen we:

met .

Voor geldt .


4 Als we 3 gaan differentiëren krijgen we:

met .

Voor geldt .


Hieruit wordt het volgende patroon zichtbaar:

Oplossen van deze vergelijking voor de -de coëfficiënt levert .

Ervan uitgaand dat voor = 0 geldt dat 0! = 1 en levert dit de volgende stelling:
5 Als een machtreeks representatie heeft voor , oftewel,
als met ,
dan zijn de coëfficiënten van die machtreeks gegeven door de formule .
6 Terug vertalend naar de functie levert dit:


Deze machtreeksen worden Taylorreeksen van de functie bij genoemd

(ook wel: rond of gecentreerd in ).



7 De Maclaurinreeksen zijn Taylorreeksen waarbij . Hierdoor ontstaat:

De partiële sommen van Taylorreeksen zijn:



.

Hierbij is een -de graads Taylor polynoom van bij .


Als gelijk is aan de som van de bijbehorende Taylorreeksen, dan geldt dat

. Voor het restant van de Taylorreeksen geldt nu dat , dus .

Als we aan kunnen tonen dat , betekent dit dat .


8 Als , waarbij een -de graads Taylor polynoom van bij en voor , dan is gelijk aan de som van zijn Taylorreeksen op het interval .
9 Om aan te tonen dat voor een specifieke functie maken we meestal gebruik van de ongelijkheid van Taylor:

Als voor , dan voldoet het restant van de Taylorreeksen aan de volgende ongelijkheid:



voor .
10 Bij de toepassing van 8 en 9 is het vaak nuttig om gebruik te maken van:

voor iedere .
11 Verder geldt dat voor alle . Hierin is = 0.

12 Invullen van =1 geeft
13 Gebruik makend van de definitie van Taylorreeksen ontstaat door invullen van = 2:

, nuttig bij toepassing in de buurt van = 2.
14, 15 is uit te drukken in de volgende Maclaurinreeksen:

voor alle .
16 Door deze reeksen te differentiëren ontstaat:

voor alle .

Eén reden waarom Taylorreeksen zo belangrijk zijn, is dat ze ons in staat stellen om functies te integreren die we tot nu toe niet konden hanteren. Voorbeeld: .


Als machtreeksen worden opgeteld of gedeeld, gedragen ze zich als polynomen. Datzelfde geldt ook voor het vermenigvuldigen en delen van machtreeksen.

Bij vermenigvuldigen van de machtreeksen en blijft het convergentie-interval gelijk. Bij delen moeten we controleren of en bevat het convergentie-interval waarden van die voldoende klein zijn (dit wordt niet nader toegelicht).



  1. 12.11 Binomiaalreeksen


De binonomiaaltheorie geeft aan dat voor positieve gehele getallen geldt dat

1 Substitutie en levert .
De Maclaurinreeksen van zijn de binomiaalreeksen .

Uit de ratiotest blijkt dat = 1. Het convergentie-interval is dus .


2 Conclusie: Voor ieder reëel getal en geldt nu dat:
,

waarbij voor en .


De binomiaalreeksen blijken te convergeren:

bij als en

bij en als .
Als en , dan bevat expressie 2 bij een factor = 0 voor iedere . Dit betekent dat deze reeksen eindig zijn en dat we terug zijn bij expressie 1.

NB. Meestal zijn de en omgewisseld in de binomiaalformule, dus . Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem.

Omdat in dit hoofdstuk gereserveerd is voor het volgnummer van de term in een reeks, is hier kennelijk voor deze vorm gekozen.

  1. 12.12 Toepassingen van Taylor polynomen


(Eerst een stukje herhaling van § 12.10.) Voor Taylorreeksen van functie bij geldt:


De partiële sommen van Taylorreeksen zijn:

.

Hierbij is een -de graads Taylor polynoom van bij .

(Einde herhaling.)
Het blijkt dat de eerstegraads Taylor polynoom van bij gelijk is aan .

Dit komt overeen met de vergelijking van de raaklijn aan in .

Verder blijkt dat de afgeleide van overeenkomt met . Algemeen geldt dat de afgeleiden van overeenkomen met die van tot en met orde .
Uit tekeningen van blijkt dat bij oplopende waarden van de benadering van steeds nauwkeuriger wordt. Wel geldt dat hoe verder de waarde van verwijderd is van 0, des te langzamer gaat de benadering van bij toenemende .
Als we een Taylor polynoom gebruiken om te benaderen, is de vraag welke orde van we moeten nemen om de gewenste nauwkeurigheid te bewerkstelligen.

Hiervoor kijken we naar de absolute waarde van het restant: . Drie mogelijke aanpakken:



  1. Grafisch door tekenen van

  2. Bij alternerende reeksen door de alternerende reeks test.

  3. In alle gevallen kunnen we de Taylor ongelijkheid toepassen, die zegt dat
    als dat .

Benaderingen van functies met behulp van bijbehorende Taylorreeksen worden onder andere toegepast in rekenmachines, bijvoorbeeld bij het berekenen van .

Daarnaast worden Taylorreeksen veel gebruikt in de natuurkunde voor het benaderen van functies. Daarbij worden vaak alleen de eerste termen van een Taylorpolynoom gebruikt.

  • Levensverzekeringswiskunde



Voorwoord
Levensverzekeringswiskunde, ook wel actuariële wiskunde, geeft antwoorden op vragen als:

  • Wat kost het vrijmaken van een hypotheek met een daaraan gekoppelde levensverzekering?

  • Wat is het verschil tussen pensioenverzekeringen op basis van een eindloon- of middelloonregeling?

Doel van het boek van Van As e.a. is om een introductie te geven van aantal veelvoorkomende soorten levensverzekeringen en van pensioenen.



  • Hoofdstuk 1: Financiële rekenkunde

  • § 1.1 Inleiding

Onder rente wordt in de financiële rekenkunde verstaan: een serie betalingen of ontvangsten. Deze definitie wijkt af van wat wij er in het dagelijks leven onder verstaan.



  1. § 1.2 Rekenkundige Rijen (RR)

Een rij is een serie getallen. Ieder getal in zo’n rij heet een term. Termen worden genummerd met rangnummers, te beginnen bij 1. wordt de aanvangsterm genoemd.

Bij oneindige rijen zijn de termen vastgelegd in de vorm van een formule.
Bij Rekenkundige Rijen (RR) geldt dat iedere term ontstaat door bij de voorgaande term een vast getal op te tellen: het verschil (v).

De recursieve formule van een RR is:

De directe formule van een RR is:

De som van de eerste termen van een RR: .



  1. § 1.3 Meetkundige Rijen (MR)

Bij Meetkundige Rijen (MR) geldt dat iedere term ontstaat door de voorgaande met een vast getal te vermenigvuldigen: de reden (r).

De recursieve formule van een MR is:

De directe formule van een MR is:

De som van de eerste termen van een MR: .

  1. § 1.4 Eindwaarde van een kapitaal

Een startkapitaal staat gedurende een aantal jaren op een bankrekening tegen een bepaald intrestpercentage . , het kapitaal na jaar, ook wel



Eindwaarde (EW) of slotwaarde is te berekenen met .

Hierin is het intrestperunage, ook wel groeivoet genoemd.

Het intrestpercentage is = 100 .

is de groeifactor.

is de looptijd in jaren.


wordt in de financiële rekenkunde aangegeven met , met

het aantal perioden en het intrestpercentage 100 .


Dagelijks levenFinanciële rekenkundePeriodieke vergoeding voor

het gebruik van geleend geldRenteInterestEen serie periodiek vervallen geldbedragenVrijgevallen bedragenRente



  1. § 1.5 Contante waarde van een kapitaal

De Contante Waarde (CW) is het kapitaal is het startkapitaal dat nodig is om op basis van samengestelde intrest over een zekere looptijd het bedrag als eindwaarde te verkrijgen.





wordt in de financiële rekenkunde aangegeven met .
In het algemeen geldt dat .
  1. § 1.6 Eindwaarde van een rente

Een periodiek vervallen geldbedrag wordt een termijn genoemd.

Een serie periodiek vervallen geldbedragen noemen we rente.

Bij termijnen die vervallen aan het begin van een periode spreken we van prenumerando rente.

Als de termijnen aan het eind van een periode vervallen, spreken we van postnumerando rente.
1.6.1 Eindwaarde van een prenumerando rente

Het bereken van de eindwaarden van de termijnen wordt ook wel het oprenten van die termijnen genoemd.

Als iemand periodes lang een vast bedrag stort tegen intrestpercentage , dan is de eindwaarde het startkapitaal vermenigvuldigd met de som van een meetkundige rij. In financiële rekenkunde:

met
1.6.2 Eindwaarde van een postnumerando rente
met
Conclusie:

  1. § 1.7 Contante waarde van een rente



1.7.1 Contante waarde van een prenumerando rente

Iemand wil in plaats van maandelijkse termijnen, die vooraf betaald worden, één jaarlijkse termijn vooraf betalen. Dit wordt ook wel het afrenten van de betreffende termijnen genoemd.



met
1.7.2 Contante waarde van een postnumerando rente
met
Conclusie:



Een levensverzekering is een geldelijke uitkering in verband met het leven of de dood van een mens. Uitkeringen door ongevallenverzekering bij overlijden worden niet als levensverzekering beschouwd.
Er zijn verschillende soorten levensverzekering:

  • Uitkering bij leven, die uitkeert als de verzekerde aan het eind van de looptijd nog in leven is;

  • Overlijdensverzekering, ook wel kapitaalverzekering bij overlijden, die uitkeert als de verzekerde tijdens de looptijd van de verzekering komt te overlijden.
    Zie hoofdstuk 3.

De koopsom van een verzekering = de gemiddelde contante waarde van de uitkering(en) is van belang om de kans te bepalen dat de verzekeringsmaatschappij daadwerkelijk tot uitkering zal moeten overgaan. Hierbij wordt meestal rekening gehouden met 4% samengestelde intrest per jaar voor dekking van de nominale verplichtingen. Deze rekenrente (4%) wordt ook wel disconteringsfactor (1,04) of disconteringsvoet (0,04) genoemd. In de opgaven uitgegaan van dit percentage, tenzij anders vermeld.


  1. § 2.2 Partijen bij een levensverzekering


  1. Levensverzekeringsmaatschappijen, kortweg levensverzekeraar

  2. Verzekeringnemer = degene die de overeenkomst sluit met de verzekeraar

  3. Verzekerde = degene op wiens leven de levensverzekering wordt afgesloten

  4. De begunstigde = persoon die de uitkering zal ontvangen.

De overeenkomst wordt in een akte, de polis, vastgelegd. Verzekeringnemer en begunstigde kunnen gedurende de looptijd worden gewijzigd. De persoon op wiens leven de verzekering is afgesloten ligt in principe vast. Wijziging hierin betekent een conversie van de verzekering.


  1. § 2.3 Sterftetafels / overlevingstafels


Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert ieder jaar sterftequotiënten.

De sterftekans = kans dat een -jarige binnen 1 jaar overlijdt.

De overlevingskans = kans dat een -jarige na 1 jaar nog leeft = .

In een overlevingstabel (vroeger sterftetabel) wordt uitgegaan van een fictieve groep levenden van 0 jaar = = radix van de sterftetafel. Er geldt nu dat:



Iedere 5 jaar berekent het Actuarieel Genootschap (AG) de gemiddelde sterftekansen voor de verschillende leeftijdsklassen en verwerkt die in 3 typen overlevingstafels:



  • Gehele Bevolking Mannen (GBM);

  • Gehele Bevolking Vrouwen (GBV);

  • Gehele Bevolking (GB).


is de kans dan iemand van 40 nog 25 jaar in leven blijft.

is de kans dan iemand van 40 binnen 25 jaar komt te overlijden.

  1. § 2.4 Sterfteverlies en sterftewinst


Sterfteverlies is als een verzekeringsmaatschappij op een bepaald moment meer moet uitbetalen dan was verwacht. Bij sterftewinst hoeft de maatschappij minder uit te keren dan verwacht. Meestal wordt alleen van de GBM-tabel gebruik gemaakt. Bij vrouwen wordt een leeftijdsterugstelling toegepast van 5 à 6 jaar.

  1. § 2.5 Kapitaalverzekering bij leven


Deze verzekering keert uit als de verzekerde aan het eind van de looptijd nog in leven is. Deze datum heet de expiratiedatum. Het te betalen bedrag per verzekerde noemen we de koopsom van de verzekering, kortweg . Uitgegaan wordt van het equivalentieprincipe, namelijk dat de verplichtingen van verzekeringnemer en verzekeraar aan elkaar gelijk zijn.

De koopsom is dan gelijk aan het product van de contante waarde van de uitkering per persoon en de overlevingskans van ieder van de verzekerden. De koopsom is daarmee op te vatten als de verwachte contante waarde van de uitkering. De koopsom voor een kapitaalverzekering bij leven voor een 40 jarige vrouw met een uitgestelde betaling van 25 jaar wordt dan: . Hier staat een 1 boven de looptijd van de verzekering om aan te geven dat het om een uitkering bij leven gaat.



  1. § 2.6 Lijfrenten


Als de uitkeringen alleen betaalbaar zijn bij het in leven zijn van één of meer personen, is er sprake van een lijfrente. De betaling kan in (jaarlijkse) termijnen plaatsvinden, zodat de koopsom van deze lijfrente gelijk is aan de som van de afzonderlijke koopsommen.

Voorbeeld: 40-jarige man, uitkering bij leven in 5 jaarlijkse termijnen vanaf zijn 60e, prenumerando rente



postnumerando rente:
  1. § 2.7 Commutatietekens D en N


Omdat het rekenen met -waarden uit overlevingstafels tamelijk omslachtig is, zijn er commutatietekens ingevoerd.

Bij eenmalige uitkeringen gebruiken we .


Bij rentes (periodieke uitkeringen) gebruiken we , waarbij de hoogste leeftijd in de overlevingstabel is.
Tabellen met -waarden en -waarden zijn gedeeld door 100 en afgerond op helen.
  • Hoofdstuk 3: Overlijdensverzekeringen




  1. § 3.1 Inleiding


Dit hoofdstuk gaat over kapitaalverzekeringen bij overlijden. Deze overlijdens­verzekeringen worden vaak als risicoverzekering gebruikt in combinatie met een hypotheek en ook ter dekking van extra uitgaven bij overlijden. Er bestaan tijdelijke en levenslange overlijdens­verzekeringen. Daarnaast bestaan er gemengde tijdelijke verzekeringen die uitkeren bij overlijden en uitkeren bij in leven zijn.

  1. § 3.2 Sterftekansen


De kans dat iemand wel 30 maar niet 31 jaar wordt, is: . Hierin is de kans dat iemand op 30 jarige leeftijd sterft.

Evenzo geldt dat de kans dat iemand van 30 wel 32 maar niet 33 wordt = .

We voeren een nieuw symbool in: , waarbij het aantal -jarigen is dat volgens verwachting niet ( +1) jaar oud zal worden.

De kans dat iemand van 30 wel 65 maar geen 66 zal worden is dan .

Met andere woorden: dit is de kans dat iemand van 30 jaar oud op zijn 65e overlijdt.

De sterftekans voor iemand van 30 jaar oud is grafisch weer te geven met .

De algemene eenjarige sterftekans is weer te geven met . Deze eenjarige sterftekans blijkt bij mannen en vrouwen te verschillen.

  1. § 3.3 Overlijdens(risico)verzekering


Ook wel: kapitaalverzekering met uitkering bij overlijden. De koopsom van zo’n polis voor een 30 jarige met een looptijd van 25 jaar is te berekenen bij prenumerando rente: .

Hier staat de 1 boven de leeftijd, om aan te geven dat het om een koopsom bij overlijden gaat.



  1. § 3.4 Commutatietekens C en M


Voor het berekenen van de koopsom zijn opnieuw enkele commutatietekens ingevoerd, te weten:

en Toegepast op het voorbeeld hierboven:

.
  1. § 3.5 Uitkeringen direct na overlijden


In praktijk zal de uitkering direct na overlijden plaatsvinden en niet, zoals gebruikelijk, aan het eind van de looptijd van de verzekering. Men gaat er van uit dat de overlijdensdatum gemiddeld precies in het midden van een verzekeringsjaar zal liggen. Dit betekent dat een eventuele uitkering een half jaar eerder plaats vindt. Om dit te compenseren berekent men: .

Hierbij horen de commutatietekens:



en
Een tijdelijke overlijdensverzekering met een uitkering direct na overlijden is dan

en voor een levenslange overlijdensverzekering .

Tussen en bestaat het volgende verband: .



  1. § 3.6 Gemengde verzekering


Een tijdelijke kapitaalverzekering bij overlijden komt vaak in combinatie voor met een kapitaalverzekering bij leven. We noemen dit een gemengde verzekering.

  • Hoofdstuk 4: Verzekeringen op twee levens

  • § 4.1 Inleiding


In dit hoofdstuk worden verzekeringen behandeld die in principe afhankelijk zijn van het al of niet in leven zijn van twee personen. Een bekend voorbeeld is het weduwepensioen, dat samen met weduwnaarspensioen en wezenpensioen het nabestaandenpensioen wordt genoemd.

  1. § 4.2 Verzekeringen met uitkeringen indien beide personen leven



4.2.1 Kapitaalverzekeringen indien beide personen leven

Dit is een tijdelijke kapitaalverzekering die uitkeert aan twee personen, op voorwaarde dat beide personen nog in leven zijn op de expiratiedatum.

De koopsom van zo’n verzekering is , waarbij de leeftijd van de ene partner, de leeftijd van de andere partner en de looptijd in jaren. Dit wordt wel geschreven als , waarbij commutatieteken .

Evenzo geldt dat . Hieruit volgt dat .



4.2.2 Lijfrente indien beide personen leven

De koopsom van een direct ingaande, levenslange prenumerando lijfrente indien beide personen leven is .


  1. § 4.3 Verzekeringen op de langstlevende


Bij een levenslange uitkering op de langstlevende worden de termijnenbedragen uitgekeerd zolang ten minste één van beide personen leeft. De koopsom is dan .
  1. § 4.4 Overlevingsverzekeringen



4.4.1 Weduwepensioen

Hiervan is de koopsom voor een doorlopende en voor een tijdelijke uitkering.



4.4.2 Weduwnaarpensioen

Analoog is hiervan de koopsom voor een doorlopende en voor een tijdelijke uitkering.


De koopsom op de langstlevende = koopsom indien beide leven + koopsom weduwepensioen + koopsom weduwnaarpensioen.
4.4.3 Wezenpensioen en erfrente
Een wezenpensioen, eigenlijk halfwezenpensioen, wordt afgesloten op het leven van één ouder ten behoeve van het kind. Deze verzekering loopt tot een bepaalde leeftijd van het kind. Vanaf het tijdstip van overlijden van de verzekerde ouder krijgt het kind (pre- of postnumerando), bij in leven zijn, periodiek het verzekerde bedrag uitbetaalt.
Omdat de kans dat een kind op jonge leeftijd overlijdt erg klein is, wordt dit in de berekening buiten beschouwing gelaten. Verder wordt meestal gekozen voor postnumerando rente, omdat die 1 keer vaker uitkeert dan prenumerando rente. Tenslotte kiest men ook vaak voor een combinatie van een kapitaalverzekering en een erfrente, de zogenaamde ideaalverzekering.

Berekening van een koopsom voor vader, postnumerando erfrente, looptijd van n jaar:



.

  • Samenvatting belangrijke Maclaurinreeksen

Zie kader blz. 803.


= = voor
= = voor alle
= = voor alle
= = voor alle
= = voor


  • Gebruik van de TI-89 bij Analyse D



12.1 Invoeren rijen op de GR

Zet de Graph-mode op SEQUENCE met MODE, optie 4.

Bij Y= kun je 99 verschillende rijen definiëren, genummerd u1 t/m u99.

Als je een recursieve formule invoert, bijvoorbeeld bij u1, voer dan tevens een beginwaarde in bij ui1.


Voorbeeld 1: u1 = u1(n-1) + 5 en ui1 = 0. De tafel van 5.

Voorbeeld 2: u2 = u2(n-2) + u2(n-1) met ui2 = {1,1} De rij van Fibonacci.


Merk op dat de index op de TI-89 begint met n = 0 in plaats van n = 1, zoals in het boek! Raadpleeg dus de tabel met waarden met tblStart = 0 en tbl = 1.
12.2 Somrij of reeks

De formule van een rij kun je eenvoudig omzetten in zijn bijbehorende somrij (reeks).

Voorbeeld:

Rij: u1 = n(n+1)/2

Bijbehorende somrij of reeks: u1 = n(n+1)/2 + u1(n-1)
Als je bij u1 de formule van een rij hebt ingevoerd, bijvoorbeeld, kun je die eenvoudig omzetten naar de bijbehorende somrij door er steeds de voorgaande term u1(n-1) bij op te tellen.
12.2 Sommeren van rijen

Je kunt de som van een rij ook direct uitrekenen met behulp van de optie .

Deze vind je in het menu Calc (F3).

De syntax is als volgt: formule van de rij, index, ondergrens, bovengrens).

Je mag bij de onder- en bovengrens ook invullen.

Voorbeeld: = 1.


12.2 Limietberekeningen

In hetzelfde menu Calc (F3) zit ook optie limit. Hiermee kun je limietberekeningen controleren. Daarbij kun je handig gebruik maken van het feit dat limietberekeningen naar het oneindige binnen de reële analyse gelijk zijn aan die binnen de discrete wiskunde.

Voorbeeld: voer je in als limit((1+1/x)^x,x, ).
12.10 Taylorreeksen

In menu Calc (F3) vind je een optie 9:Taylor. De syntax is als volgt:

Taylor(uitdrukking, var, orde van de polynoom)

Voorbeeld: Taylor(sin(x), x, 6) geeft als antwoord .

Sla eventueel het antwoord op met STO-> y1(x).

Plotten van zowel de functie als de polynoom kan met: GRAPH SIN(X) : GRAPH Y1(X).

(Graph vind je bij F4, de dubbele punt staat boven de 4).
Als het antwoord gelijk is aan de invoer, kan het zijn dat de polynoom geen gehele exponenten bevat. In zo’n geval is het alternatief om een substitutie te gebruiken:

Voorbeeld: Taylor( , x, 2) werkt niet, maar Taylor( , t, 4) | t = werkt wel.

Let op het verschil in de parameters.
Soms is ook een tijdelijke vermenigvuldiging nodig. Voorbeeld:

Taylor( , x, 3) werkt niet, maar Expand(Taylor( , x, 4) / x, x) werkt wel. Let weer op het verschil in de parameters.


  • Nuttige links



http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma2001/notes/notes.html

http://nl.wikipedia.org/wiki/Reeks

http://nl.wikipedia.org/wiki/Machtreeks






De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2017
stuur bericht

    Hoofdpagina