Ususmandatum de Mathimatica De Geometria non-Euclides liber Scriptum a Jelmer Mulder ac Pascal Wissink



Dovnload 416.23 Kb.
Pagina1/9
Datum24.08.2016
Grootte416.23 Kb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ususmandatum de Mathimatica

De Geometria non-Euclides liber

Scriptum a Jelmer Mulder ac Pascal Wissink

Praktische opdracht wiskunde: Een scriptie over de niet-Euclidische geometrie. Geschreven door Jelmer Mulder en Pascal Wissink”



Proloog

Wij hebben niet-Euclidische meetkunde als onderwerp voor onze praktische opdracht wiskunde genomen, omdat wij, nadat we de anekdote die vermeld staat in de inleiding tegenkwamen op het internet, erg gefascineerd werden door het onderwerp. Vervolgens hebben we enige research gedaan naar het onderwerp en vonden we al snel een leuk boekje en enige boeiende artikelen op verscheidene digitale media (zie appendix A voor een volledige bronnenlijst). Andere keuzeonderwerpen waar we informatie voor zochten waren ofwel te moeilijk (we dachten eerst aan de Riemann-hypothese), ofwel te veel gerelateerd aan wiskunde A en economie (het Nash-equilibrium was een ander idee), of leek ons niet zo boeiend als deze niet-Euclische meetkunde (bijvoorbeeld fractals) en werden weggestreept van ons lijstje.

Omdat dit onderwerp ons erg leuk lijkt hopen we dan ook dat het je net zo zal fascineren als het ons doet, en dat je er erg geboeid door zal worden bij het lezen van dit verslag.

I Wat is niet-Euclidische Meetkunde?

Om uit te leggen wat niet-Euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies inhoudt is het nodig om eerst te definiëren wat dan wel Euclidische meetkunde is. Immers is de Euclidische meetkunde al veel ouder dan de niet-Euclidische meetkunde en kan deze laatste vorm van meetkunde worden opgevat als een speciale tak van geometrie in tegenstelling tot de Euclidische, alledaagse meetkunde. Eerst zullen we dan ook een reisje maken door de geschiedenis van de Euclidische meetkunde met zijn eigenschappen voordat we ons überhaupt met niet-Euclidische meetkunde gaan bezig houden. Vervolgens zullen we de grondleggers en de geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde bespreken en bekijken hoe deze interessante vorm van wiskunde nou eigenlijk is ontstaan en wat deze precies inhoudt.



I.1 Euclidische meetkunde
I.1.1 Euclides & zijn werken

Euclidische meetkunde is de meetkunde zoals beschreven door Euclides. Euclides (Grieks:  was een Griekse wiskundige die leefde circa 300 voor Christus. Hij was leraar in Alexandrië waar hij werkte aan het door Ptolemaeus I gestichte museum. Vandaag de dag wordt hij als een van de grondleggers van de hedendaagse meetkunde beschouwd, omdat hij de eerste was die de meet- en rekenkundige kennis van zijn tijd systematiseerde in dertien boeken, de zogenaamde Elementen (Stoicheia, Gr.: ). Naast deze boeken heeft hij tevens andere boeken geschreven waaronder Optica (een scriptie die betrekking heeft tot perspectief), Data, de Verdeling van figuren en een monochord-indeling (een wiskundige theorie). Echter is het voorgaand beschreven boek, de Elementen, toch wel te beschouwen als zijn magnum opus. In dit boek staat een collectie van axioma’s, theorieën, postulaten en bewijzen met betrekking tot vierkanten, cirkels, scherpe hoeken, gelijkbenige driehoeken en dergelijke; er wordt respectievelijk een voorstelling gegeven van vlakke meetkunde (boek 1-6), rekenkunde (boek 7-10) en de ruimtemeetkunde (boek 11-13). In het laatste boek, boek 13, construeert hij de vijf bekende regelmatige veelvlakken tetraëder, kubus, oktaëder, dodecaëder en icosaëder (zie nevenstaande figuur) en bewijst ook dat er geen andere bestaan.


Veel van de door hem geformuleerde theorieën in dit boek worden nog steeds dezer dagen onderwezen aan leerlingen en studenten overal ter wereld – sinds menselijk heugenis is het boek als een standaard gaan gelden en is sinds zijn uitgave een ongekend succes. Echter behoefte de hedendaagse wiskunde meer precisie, wat Euclides’ methodologie niet bood; daarom gaat de moderne axiomatische behandeling van de meetkunde terug op David Hilbert in 1899. Zijn gehele werk (als de volgende titel al doet vermoeden) is heruitgegeven in Opera omnia door H. Menge en J.L. Heiberg (in acht delen, geschreven 1883 – 1916 met aanvullingen van 1899). De eerste druk van de Elementen stamt echter al uit 1482, voorafgaand door vele handgeschreven kopieën. Een ander noemenswaardig en amusant feitje is dat Euclides de alom bekende term bestaande uit de woorden quod erat demonstrandum (q.e.d., “wat bewezen moest worden”) voor het eerst geïntroduceerd heeft (evenals de minder bekende quod erat faciendum (q.e.f., “wat te construeren was”)) die teneinde van zijn bewijzen bij wijze van slotwoord waren vernoemd en hedendaags worden gebruikt om aan te geven dat een bewijs beëindigd is. (q.e.f. wordt overigens gebruikt om aan te geven dat een wiskundig vraagstuk is opgelost). Dit terzijde, laten we in de volgende paragraaf verder ingaan op zijn meesterwerk “de Elementen”.


Figuur 2: Euclides
I.1.2 De Elementen: de vijf axioma’s, 23 definities en vijf postulaten

In Euclides’ boek de Elementen worden verscheidene basisconcepten van de huidige wiskunde beschreven. In zijn eerste boek worden 23 definities1, vijf axioma’s2 en vijf postulaten3 weergegeven. Uit elk van deze worden zogenaamde proposities4 afgeleid.





Figuur 3: de eerste pagina van Euclides’ Elementen

Euclides’ axioma’s, ondersteund door voorbeelden luiden als volgt:




  1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn ook gelijk aan elkaar.

V.b.: a=c, b=c  a=b
2. Als je bij gelijke dingen gelijke voegt, dan zijn de totalen gelijk

V
}d = e
.b.: a=b


a+c=d

b+c=e


  1. Als je van gelijke dingen gelijke afneemt, dan zijn de resten gelijk

V
}d = e
.b.: a=b


a-c=d

b-c=e



  1. Dingen, die op elkaar passen, zijn gelijk

V.b.:




  1. Het geheel is groter dan het deel

V.b.: a,b is een getal a met een fractioneel deel b  a > b
In dit boek beschreef hij, zoals bovenstaand vermeld, tevens een aantal definities. Je zou kunnen zeggen dat deze definities nodig waren om in de wiskunde basisvormen te kunnen omschrijven; dat betekend dat een bepaalde definitie een bepaalde omschrijving hoort en we zo allen over hetzelfde geometrische verschijnsel (met bijbehorende eigenschappen) spreken als we een voorwerp benoemen. Er zijn 23 definities beschreven in zijn boek, mede noodzakelijk om een bepaling te geven aan de postulaten (z.o.z.); enkelen hiervan zijn:


  • Een punt is, wat geen deel heeft.

  • Een lijn is een breedteloze lengte.

  • De uiteinden van een lijnstuk zijn punten.

  • Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.

  • Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer naar weerszijden tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.

Naast deze axioma’s en definities heeft Euclides ook in zijn eerste boek vijf postulaten opgesteld. De eerste vier spreken voor zichzelf, echter de laatste staat in schril contrast met zijn voorgangers. Hierover later meer. Onthoudt dat, volgens Euclides, geen van alle postulaten kunnen worden bewezen en ook geen bewijs behoeven (net als de eerder beschreven axioma’s) omdat ze als zodanig worden beschouwd in de wereld waarin wij leven. Het zijn uitgangspunten waarop de meetkunde (althans, de Euclidische) is gebaseerd. Velen dachten hier echter anders over bij het zien van het vijfde postulaat…



  1. Van een punt naar een ander punt kun je een rechte lijn trekken.

V.b.:


  1. Je kunt een lijnstuk verlengen tot een rechte lijn.

V.b.:


  1. Je kunt een cirkel tekenen met een gegeven straal en middelpunt.

V.b.:


  1. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.

V.b.:


  1. Als bij een rechte lijn, die twee rechte lijnen snijdt, de som van de binnenhoeken aan dezelfde kant, kleiner is dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee rechte lijnen tot in het oneindige verlengd elkaar ontmoeten aan de kant, waar de hoeken zijn, waarvan de som kleiner is dan twee rechte hoeken.

In moderne bewoordingen:

Als twee rechte lijnen k en m gesneden worden door een derde rechte lijn l, en de binnenhoeken A en Baan één kant van l samen minder zijn dan 180º, dan snijden k en m elkaar aan diezelfde kant van l.


V
A+B < 2 x 90  lijnen k & m zullen, in het oneindig verlengd, elkaar ooit snijden aan de rechterkant van l.
.b.:

Postulaten 1 en 3 zijn niks anders dan het standaard fundament van elke geometrische constructie, tot het midden van de 19e eeuw. Men kan beweren dat deze simpelweg zijn gebaseerd op praktische menselijke ervaringen. Het tweede postulaat laat zien dat elke rechte lijn niet terminaal is en de ruimte ervan onbegrensd is. In zijn tiende definitie beschrijft Euclides dat een hoek “recht” is als deze gelijkt aan zijn aanliggende hoek. Dus beschrijft het vierde postulaat de homogeniteit van het vlak: in welke richtingen en door welke punten twee loodlijnen ook worden getrokken, de hoek die ze vormen is gelijk en wordt “recht” genoemd. Ook over dit postulaat kan worden beweerd dat het gebaseerd is op alledaagse ervaringen.


Zoals je wellicht hebt vernomen en zoals eerder vermeldt wijkt het vijfde postulaat enigszins af van de voorgaande vier: terwijl de eerste twee paren postulaten heldere beschrijvingen zijn van aannemelijke basisprincipes die geen bewijs behoeven, is de laatste een uitzondering op deze regel. We gaan op dit postulaat dan ook verder in.

I.1.3 Het parallellenpostulaat

Het vijfde postulaat, ook wel het parallellenpostulaat genoemd, trok ook de aandacht van andere wiskundigen, wat leidde tot verwoedde discussies; indien je dit postulaat namelijk anders kiest krijg je, zoals later zou blijken, een geheel ander soort meetkunde. De Griekse commentator Proclus Diadochus (410 – 485 voor Christus) vertelt ons dat het postulaat al vanaf het begin werd aangevallen. Proclus schreef een commentaar op de elementen en bespreekt hierin een aantal pogingen om het vijfde postulaat uit de eerste vier af te leiden. Hij bekritiseerde in het bijzonder Ptolemeus’ afleiding, die naar zijn zeggen incorrect was... en vervolgens geeft hij echter zelf ook een incorrecte afleiding! Verder schreef hij over het befaamde postulaat: “Dit postulaat lijkt te zijn doorgehaald uit de gezamenlijke postulaten; dit omdat het slechts een theorie is...”.


Ook Euclides zelf had gemengde gevoelens over het postulaat. Dit blijkt uit het feit dat hij niet eerder van dit postulaat gebruik maakte tot Propositie I. 29. De bewering lijkt immers ook meer op een propositie dan op een werkelijk postulaat. Het vermoeden ontwikkelde zich dat het vijfde postulaat overbodig is doordat deze uit de vier voorgaande postulaten af te leiden zou zijn of te vervangen is door een eenvoudiger postulaat dat tot dezelfde meetkunde leidt. Er zijn talloze pogingen gedaan om het postulaat te herformuleren, doch leverde dit geen nieuwe waarheden op maar slechts verklaringen die lijken op het postulaat zelf. Enkele van deze formuleringen zijn:


  • Er bestaat een paar niet congruente driehoeken.

  • Er bestaat een paar rechte lijnen dat overal gelijke afstanden van elkaar heeft.

  • Voor elke drie niet op een lineaire lijn liggende punten bestaat er een doorkruisende cirkel.

  • Als drie hoeken van een vierhoek rechte hoeken zijn, is de vierde hoek ook een rechte hoek.

  • Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden.

  • Twee rechte lijnen die beiden parallel zijn aan een derde zijn ook parallel aan elkaar.

  • Twee rechte lijnen die elkaar snijden kunnen niet beiden parallel zijn aan een derde.

  • Er is geen maximum limiet voor de oppervlakte van een driehoek.

Allen zijn slechts intuïtieve formuleringen die het originele vijfde postulaat niet hebben kunnen vervangen, ondanks ze naar zeggen zijn afgeleid uit de vier voorgaande postulaten. Nu weten we dat het echter onmogelijk is om het vijfde postulaat af te leiden uit de eerste vier. In een doorbraak in de moeilijkheid met betrekking tot het vijfde postulaat lost de Engels wiskundige John Playfair het probleem op door het vijfde postulaat te herformuleren, nadat een dergelijke versie eerder was vermeldt door de eerder beschreven Proclus. Deze formulering die stamt uit 1795 en bekend staat als “Playfairs axioma” (voor het eerst beschreven door Playfair in een commentaar op de Elementen) luidt als volgt:


Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan die lijn.”
Deze formulering volgt uit Euclides’ vijfde postulaat en kwam tot stand door gebruik te maken van de eerder beschreven definitie van Euclides over parallelle lijnen (zie ook pagina 3):
Parallel zijn lijnen die in hetzelfde vlak gelegen zijn en die, wanneer aan weerszijden tot in het oneindige verlengd, elkaar aan geen van beide zijden snijden.”
Met behulp van Playfair’s herformulering bleek wel te bewijzen dat twee niet parallelle lijnen die gesneden worden door een andere rechte lijn elkaar (indien oneindig verlengd) zullen snijden. Het bewijs voor Propositie I.29, waarbij gebruik wordt gemaakt van dit axioma, zal verderop worden gegeven. We zullen zien dat dit bewijs een beter inzicht geeft in zowel het axioma als het parallellenpostulaat. Maar eerst vragen we ons af waarom de herformulering van Playfair zoveel betekent in de wiskunde, en waarom Euclides’ specifieke vijfde postulaat zó’n belangrijke rol speelt in onze wiskunde dat het de consternatie begrijpelijk maakt. Want, zoals zal blijken:
I.1.4 De stelling van Pythagoras behoeft het parallellenpostulaat

Dit is een van de theorieën die volgt uit de herformulering van het parallellenpostulaat, en laat zien waarom de herformulering zo belangrijk was. We onderscheiden hierin een aantal punten. We hebben ten eerste Playfairs axioma, die noodzakelijk is om de stelling van Pythagoras te kunnen bewijzen:




  1. Door een gegeven punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte die evenwijdig is aan die lijn.

En de stelling van Pythagoras, die als volgt luidt:




  1. In een rechthoekige driehoek geldt dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden.

De bewijzen voor de stelling van Pythagoras hebben eigenschappen waaruit blijkt dat nummer 2, de stelling van Pythagoras, nummer 1, Playfair’s axioma (of een gelijke), behoeft. Immers hebben de drie hoofdvormen van gebruikte bewijzen voor Pythagoras allemaal elementen waarbij gebruik wordt gemaakt van het axioma. Een van deze bewijzen maakt gebruik van de theorie dat de oppervlakten van parallellogrammen (of driehoeken) met gelijke bases en gelijke hoogten gelijk zijn. Een andere maakt gebruik van de theorie van gelijkheid die op zijn beurt weer gebruik maakt van de proporties van de zijden van gelijkende driehoeken. Weer een andere maakt gebruik van de theorie dat de twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek complementair zijn. We zullen op deze bewijzen niet verder ingaan omdat deze niet direct te maken hebben met het besproken onderwerp, maar we zullen wel in de volgende paragrafen bewijzen waarom de stelling van Pythagoras het parallellenpostulaat behoeft en waarom we dus kunnen zeggen dat stelling nummer 2 te allen tijde nummer 1 insluit.

Er zijn er meerdere stellingen en theorieën, waaronder ook enkele zeer bekenden, die uiteindelijk ook het vijfde postulaat nodig hebben. De stelling van Pythagoras wordt namelijk terug geleidt naar het parallellenpostulaat om hun waarheid aan te kunnen tonen. Enkelen hiervan zijn:


  1. In elke driehoek zijn de som van de hoeken gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

V
A+ B+C = 2x90º (=180º)
.b.:


  1. In een driehoek is elke externe hoek gelijk aan de som van de hoeken van de twee overstaande interne hoeken.


A+ C = D



  1. Als twee parallellen worden gesneden door een transversaal, zijn de overstaande interne hoeken gelijk, evenals de corresponderende externe hoeken (Z-hoeken).


A = C; B = D

Om een voorbeeld te geven, zullen we in de volgende paragraaf onder meer nummer 3 bespreken. Want ook de wiskundige A.M. Legendre (1753 – 1833), die meer dan 40 jaar aan het bewijzen van het vijfde postulaat besteedde (maar faalde), begreep dat er stellingen waren die direct het parallellenpostulaat behoefden om bewezen te kunnen worden.
I.1.5 De stellingen van Legendre

De stellingen van Legendre zijn stellingen die ogenschijnlijk niet zo algemeen, hoewel voorzichtiger en zwakker geformuleerd zijn dan de bovenstaande stellingen. Deze stellingen die volgens Legendre het parallellenpostulaat zowel indirect als direct behoeven omdat meerderen elkander nodig hebben luiden als volgt:




  1. Er bestaat een driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken

  2. Er bestaat een gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken de som is van twee rechte hoeken

  3. Er bestaat een willekeurig grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens hoeken de som is van twee rechte hoeken

  4. De som van de hoeken van elke driehoek is gelijk aan de som van twee rechte hoeken.

Legendre beweert vervolgens dat:



  • Stelling 6 behoeft stelling 7

  • Stelling 7 behoeft stelling 8

  • Stelling 8 behoeft stelling 9

  • Stelling 9 behoeft stelling 1

Als additionele bewering, om te bewijzen dat de stelling van Pythagoras (nummer 2, zie vorige paragraaf) ook het parallellenpostulaat nodigt heeft, voegen we toe dat:



  • Stelling 2 behoeft stelling 8

Bij het bewijzen van deze beweringen kunnen we alleen gebruik maken van de stellingen die op geen enkele wijze verbonden zijn met het parallellenpostulaat, om te laten zien dat we uiteindelijk toch echt wel deze stelling nodig hebben om het gehele bewijs compleet te kunnen maken. Enkel en alleen mogen we bekende hoeken en segmenten kopiëren, de congruente driehoek stellingen toepassen en de buitenstaande hoekstelling gebruiken.


I.1.6 2 behoeft 8

Om te laten zien dat onze additionele bewering klopt, moeten we het volgende aantonen:

Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van het kwadraat van de twee andere zijden, dan bestaat er een willekeurige grote gelijkbenige rechthoekige driehoek wiens drie hoeken gelijk zijn aan twee rechte hoeken.”
Laten we er een ietwat sterkere stelling van maken door de vorige stelling te herformuleren.
Gegeven:

Een driehoek ABC met een rechte hoek A en zijden a, b en c.


Te bewijzen:

Als, in elke rechthoekige driehoek, het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van het kwadraat van de twee andere zijden, dan is de som van de drie hoeken in elke rechthoekige driehoek gelijk aan twee rechte hoeken


Bewijs:

  1. Teken de hoogtelijn h vanuit A loodrecht op BC en noem het punt D, zo dat ADC=ADB en beide rechte hoeken zijn. Benoem vervolgens CD=x en BD=y.




  1. Nu zijn ADC, BDA en BAC rechthoekige driehoeken en kunnen we de stelling van Pythagoras drie keer toepassen:


b² + c² = a²

x² + h² = b²

h² + y² = c²

}…3

}


x² + 2h² + y² = x² + y² + 2xy

2h² = 2xy




  1. a² = x² + h² + h² + y² = x² + 2h² + y²

a² = (x + y) ² = x² + y² + 2xy (rechte lijn)


(kruislings vermenigvuldigen)



  1. 2h² = 2xy

h² = h · h = xy

h/x = y/h




  1. Laten we deze ratio, h/x = y/h, benoemen met de letter k:

h
}c² = (kx)² + (kh)² = k²(x²+h²)
/x = y/h = k  h = kx; y = kh en dus:

h
ab + ac = a(b+c)

(kx)² + (kh)² = k²x² + k²h² = k²(x²+h²)

(binnen haakjes halen)


² = (kx)²

y² = (kh)²

c² = h² + y² (zie 2)


  1. c
    }

    c² = k²b²

    c = kb


    c/b = k = h/x = y/h

    ² = k²(x²+h²)



b² = x² + h² (zie 2)

  1. Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat c/a = h/b = y/c.

Dus staan de corresponderende zijden van de twee kleine driehoeken in verhouding met elkaar, net als de corresponderende zijden van de originele driehoek en de zijden van de kleine driehoeken zelf.
Het is nu verleidelijk om te concluderen dat, omdat de corresponderende zijden van de driehoeken in verhouding staan, de corresponderende hoeken gelijk zijn. Deze gedachte is echter een gevolg van het parallellenpostulaat en geld niet in het algemeen. Echter, in het speciale geval van een gelijkbenige rechthoekige driehoek, kunnen we als volgt verder redeneren (zie onderstaande figuur):

D

O


Stel a = b = 3

a = c3 = c  1 = c  c = d

b d 3 d d


mdat b = c, en omdat b/c = x/h (zie 6), betekent dat x = h; eveneens betekent dat h = y.


Dus zijn de driehoeken CDA en BDA eveneens gelijkbenige driehoeken, en zijn hun basishoeken DCA, CAD, DBA en BAD allemaal gelijk aan elkaar (ZZZ congruentiekenmerken). Omdat BDA en CDA rechte hoeken zijn, kunnen we concluderen dat driehoek CDA en BDA gelijke hoeken hebben, net als driehoek BAC.
Maar je weet ook dat hoek BAD en CAD opgeteld ook een rechte hoek zijn, en wel hoek BAC. Daarom zijn de gelijke hoeken ABD en ACD ook gezamenlijk een rechte hoek (ABD=ACD = BAD = CAD  BAD + CAD = BAC = ABD + ACD), en zijn de hoeken van de originele driehoek ABC opgeteld twee rechte hoeken (=180º)!
  1   2   3   4   5   6   7   8   9


De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2016
stuur bericht

    Hoofdpagina