Wiskunde in de Karnatische muziek



Dovnload 77.36 Kb.
Datum17.08.2016
Grootte77.36 Kb.

Wiskunde in de Karnatische muziek


Eindscriptie

Geschiedenis van de Wiskunde
Docenten

Gerard Alberts

Teun Koetsier

Juni 2007


Wim den Herder
UvA student nummer

0356735


Inhoudsopgave





  1. Inleiding



  2. Historische context
    2.1 Karnatische muziek als klassieke muziek van Zuid-India
    2.1 Religieuze betekenis
    2.2 Karnatische muziek
    2.3 Instrumentatie



  3. Structuur van de muziek
    3.1 Melodie
    3.1.1 Ragam
    3.1.2 Analyse in de ragam

    3.2 Ritme


    3.2.1 Tala
    3.2.2 Gati
    3.2.3 Analyse in de tala
    3.2.4 Analyse van de mukthay
    3.2.5 Analyse van de kōrvai
    3.2.6 Welke rol spelen berekeningen in de muziekbeleving



  4. Conclusie



  5. Bronnenvermelding


1. Een inleiding

Als u ooit muziek uit India gehoord heeft, dan zijn u vast de exotische toonladders en bijzondere ritmes bijgebleven. De muziek uit Bollywood-films herkent u wellicht. Toch heeft deze populaire muziekstroming uit de film-industrie westerse invloeden ondergaan. De oorspronkelijke klassieke muziek uit Zuid-India beschikt over een geheel andere structuur dan de westerse muziek. De muziek is ritmisch zeer ontwikkeld en melodisch zeer verfijnd. Deze scriptie gaat over de structuur van de klassieke muziek uit Zuid-India, met aandacht voor het wiskundige karakter in zowel het ritmisch als het melodisch aspect.



Onderzoeksvraag

Welke rol speelt wiskunde in de boefening van Karnatische muziek?



2. Historische context

2.1 Karnatische muziek als klassieke muziek van Zuid-India

Muziek speelde in vroegere tijden een enorme rol in het leven van mensen in India. Veel mensen waren actief in het componeren, uitvoeren en bestuderen van muziek. De koningen en koninginnen beschikten over een private hofhouding van begenadigde muzikanten. Dr. Baghyalakshmi zegt hierover: “De koningen gingen naar bed met muziek en werden wakker met muziek”. [1] Er werden om de zoveel tijd muziek-wedstrijden georganiseerd waarop de muzikanten konden excelleren. Het niveau was zeer hoog en dit wordt geillustreerd uit het feit dat muzikanten enkele decenia van intensieve studie nodig hadden om dit niveau te bereiken. De Karnatische muziek werd mondeling overgeleverd van meester op leerling. De leerling kwam vaak al op zeer jonge leeftijd in het huis van de meester te wonen. De nadruk in het leerproces lag op het leren spelen uit het hoofd en de discipline waarmee dit gepaard ging doet ons spartaans aan.

De Karnatische concerten duurden gemiddeld drie uur lang. Er was geen vastgesteld programma en de muziek werd niet vooraf aangekondigd. In sommige gevallen zoals bij de RTP-vorm was de muziek zelfs geheel geimproviseerd. RTP staat voor de Indische termen ragam, tanam en pallavi. We zullen de term ragam behandelen in de analyse van de toonladders.


2.1 De religieuze betekenis van muziek
De muziek had een diep religeuze betekenis. Mensen raakten in vervoering bij de muziek geinspireerd door Veda’s. Veda's zijn de geschriften die de basis vormen voor veel van de religies die tot het hindoeïsme worden gerekend. [2] De maatschappelijke betekenis van muziek en het goddelijke zien we ook terug bij de legende van de muzikant Purandara Dasa, die ‘de vader van Karnatische Muziek’ genoemd wordt. In eerste instantie was hij een zeer rijk man en alleen geinteresseerd in handel en geld. Maar een goddelijke ingreep zet zijn leven totaal op zijn kop en hij heeft zich de rest van zijn leven toegewijd aan aanbidding en muziek. [1] Het begrip ‘Dasa’ in Purandara Dasa betekent dienaar.
2.2 De Karnatische muziek
De muziek van India heeft zich rond de 13e eeuw in twee richtingen ontwikkeld: de Karnatische muziek in het zuiden en de Hindoestaanse muziek in het noorden. [1] Er zijn in beide muziekstromingen overeenkomsten te horen, maar een verschil bestaat uit Perzische invloeden die de Hindoestaanse muziek onderging vanuit het noorden. [3] Tijdens de verdere ontwikeling van de muziek werd het theoretiseren van muziek belangrijker en dit gebeurde primitief met subjectieve aanduidingen voor klanken. Zo gold Vivaadhi, wat ‘vijandig’ betekent, als een dissonante toonsverhouding. [1] In de 17e eeuw vond een opleving plaats van geschreven werken over het theoretisch karakter van de muziek. De muziek-notatie verschilde opmerkelijk van de gebruikelijke vorm in het westen. Zo werd de toonhoogte niet genoteerd. Wel werd de tekst, het ritme en de toonladder waarin men speelde gegeven. Melodieen echter werden mondeling overgedragen. [4] De mondelinge overlevering van meester op leerling heeft er zeker voor gezorgd dat bepaalde informatie verloren is gegaan. [1]
2.3 Instrumentatie
De instrumententatie is veranderd in de loop van de tijd. Zo maakten oude Veena-gemaakte instrumenten plaats voor westerse instrumenten als de clarinet, gitaar en mandolien. De introductie van de viool in de Karnatische muziek vormt een belangrijk historisch moment en muzikant/componist Vadivelu had een belangrijke invloed in de integratie van het instrument.[1] Inmiddels is de viool niet meer weg te denken en speelt het een prominente rol in het begeleiden van het vocale gedeelte. [4]

3. De structuur van Karnatische muziek

We zullen hier kort de structuur en bijpassende terminologie behandelen. De belangrijkste eigenschappen van de muziek zijn melodie en ritme.



3.1 Melodie

Karnatische muziek wordt gespeeld in een toonlader, de Mela. De toonladder bestaat uit zeven tonen en dit aantal lijkt op die van het westerse kerktoonladder-systeem, maar er zijn grote verschillen. Dit zijn de afkortingen van de zeven tonen.


Sa Re Ga Ma Pa Da Ni
Karnatische muziek is melodische muziek. Karnatische melodie is van oorsprong unisono, of hooguit in lichte mate heterofoon. [4] Heterofonie is een vorm van klankvorming in de muziek die ontstaat door het simultaan varieren op een melodie van meerdere stemmen. [5]

Klassieke westerse muziek is van oorsprong harmonisch. De structuur van akkoorden vormt de basis van de muziek. Hierbij zijn de verhoudingen tussen tonen doorslaggevend voor het zuiver klinken van akkoorden. Deze verhoudingen laten zich uitdrukken in relatief kleine gehele getallen. Het is bekend dat een frequentie-verhouding van 1:2 een octaaf oplevert. Een octaaf genereert een toon die gevoelsmatig hetzelfde klinkt, maar is feitelijk een toon die twee keer zoveel trillingen per seconde uitvoert. De verhouding 2:3 geeft het interval van een reine kwint. [6] De verhouding 3:4 genereert de zuivere kwart. De verhouding 4:5 genereert de ons bekende grote terts en 5:6 de kleine terts. [7]


Zowel het octaaf als de reine kwint bevinden zich in de mela. De kwint wordt aangegeven met Pa en de octaaf zou de opeenvolgende Sa zijn. In muziek spelen zuivere verhoudingen een belangrijke rol.
3.1.1 Ragam
De toonladders in Karnatische muziek dienen geen harmonisch doel en beschikken over meer vrijheid en uitgebreidere mogelijkheden dan de westerse kerktoonladders. De mela is de toonladder zoals wij die kennen.

De Ragam is een uitbreiding op de mela. [4] In een Ragam worden extra afspraken gemaakt. In de ragam kan bijvoorbeeld aangegeven worden welke noot extra aandacht krijgt. Zo’n noot heet een jiva soram. Dit betekent "levengevende soram”.Ook bestaat er een Vakra Raga, waarbij de volgorde van noten verplicht gesteld wordt in de muziek. De traditionele ontwikkeling van de muziek is gebaseerd geweest op de Ragam. [4]

De zeven basis-tonen hebben varianten genaamd sorams. Dit zijn lage en hoge varianten op de basis-tonen. Ze worden aangegeven met een getal 1, 2 of 3. Deze sorams kunnen daarbij ook gekleurd worden met een microtonale afwijking. Dit wordt aangegeven met een + of – teken. Er zijn op deze manier uiteindelijk 22 tonen, genaamd srutis, mogelijk.





Fig.1: Alle mogelijke srutis in de Ragam in westerse notatie
Men kan kiezen uit de zeven basis-tonen voor het samenstellen van een Ragam en men kan daarbij ook bepaalde tonen dubbel met verschillende sorams gebruiken. Er zijn ook toonladders die stijgend een andere structuur hebben dan dalend. [4] We zullen deze mogelijkheden verder buiten beschouwing laten en ons richten op een harmonische analyse van de srutis.


3.1.1 Analyse in de Ragam


De klassieke muziek uit Zuid-India heeft een melodisch karakter en verschilt daarin van de westerse muziek die voornamelijk uitgaat van harmonie. De muziek heeft hierdoor uitgebreidere mogelijkheden en het heeft daarbij onze interesse te onderzoeken welke rol wiskunde hierin speelt. Daarbij zullen we ook onderzoeken of de ons nu bekende wiskunde toendertijd een rol speelde voor de beoefenaars van die muziek. Deze meta-vraag is belangrijk omdat we hiermee onze analyse in historische context kunnen plaatsen.


De frequentieverhouding van twee tonen bepaalt onze waardering ervan. Zo geven zuivere intervallen (3:4 of 2:3) ons bij de perceptie een goed gevoel. Deze intervallen generen noten die consonant genoemd worden. Dissonante tonen zijn frequentieverhoudingen die niet goed uit te drukken zijn in kleine gehele getallen. Deze wiskundige component in muzikaal klinkende verhoudingen is algemeen. Iedere cultuur kent het octaaf (1:2). [6] Het Karnatische toonladdersysteem maakt gebruik van enkele ons bekende verhoudingen.
Akkoord-harmonie speelt geen rol in de Karnatische muziek maar een begrip als interne harmonie speelt wel een belangrijke rol. Dit laat zich vatten in het Vivadi-Annuvadi-Samvadi systeem. In dit systeem bevinden zich gradaties van dissonantie naar consonantie.
De tonen in de categorie Samvadi zijn consonant. De categorie Vivadi bevat dissonante tonen. Anuvadi is een tussenvorm van de bovengenoemde twee en hierin bevinden zich tonen die een milde vorm van spanning geven. [4] Op deze manier wordt binnen de melodie een vorm van harmonie in relatie tot de grondtoon gecreeerd. Bij westerse muziek zijn akkoorden te onderscheiden in categorieën van spanning en ontspanning. Dit harmonische idee zien we terug in dit Vivadi-Annuvadi-Samvadi systeem maar dan gebaseerd op melodie.
Alle mogelijke intervallen van de 22 srutis kunnen met deze methode worden geklassificeerd. Hoe groter de vivadi-dichtheid van intervallen in een melodie bijvoorbeeld, hoe dissonanter de kwaliteit ervan is. Zo is er ook in het geval van eenstemmigheid sprake van interne harmonie binnen een melodie. [4]


Tabel 1: De verhouding van de 22 mogelijke srutis tot de Sa

Sruti

Cents

Verhouding tot Sa

Westerse notatie

Cents

Sa

0


1

C

0

Ri 1-

36


1.021012

C+

50

Ri 1+

72


1.042466

C#

100

Ga 1

162


1.098093

D-

150

Ri 2

204


1.125058

D

200

Ri 3

274


1.171481

D+

250

Ga 2

316


1.200249

D#

300

-

-


-

E-

350

Ga 3-

386


1.249774

E

400

Ga 3+

428


1.280464

E+

450

Ma 1-

498


1.333299

F

500

Ma 1+

520


1.35035

F+

550

M a2-

590


1.406068

F#

600

Ma 2+

632


1.440597

G-

650

Pa

702


1.500039

G

700

Da 1-

738


1.531558

G+

750

Da 1+

774


1.563739

G#

800

Ni 1

864


1.647182

A-

850

Da 2

906


1.687632

A

900

Da 3

976


1.757267

A+

950

Ni 2

1018


1.80042

A#

1000

-

-


-

B-

1050

Ni 3-

1088


1.874709

B

1100

Ni 3+

1130


1.920746

B+

1150

Sa

1200


1

C

1200


In bovenstaande tabel zijn tonen uit de categorie Samvadi (consonant) dikgedrukt, de categorie Vivadi (dissonant) normaal en de categorie Anuvadi (milde spanning) cursief. [8]

De cents-waarden bevinden zich op een logaritmische schaal waarbij 1200 cents het verschil met een octaaf (1:2) weergeeft. In de derde kolom zijn de verhoudingen van de individuele srutis tot Sa berekend door middel van de volgende formule:


V = 2 ^ (cents / 1200)
U ziet naast de Indiase tonen de westerse waarden voor gelijkzwevende stemming. De gelijkzwevende stemming kan een benadering zijn voor de Zuid-Indiase stemming toegepast in westerse uitvoeringen.
De tabel laat zien dat de consonante tonen uit de Samvadi-categorie nette verhoudingen vertonen (3e kolom). Dit komt overeen met de definitie van consonantie zoals we die behandeld hebben. De tonen uit de dissonante categorie (Vivadi) hebben deze eigenschap niet. Dit is volgens de verwachting.
Het is opvallend dat Ga2 met een verhouding van 5:4 tot de grondtoon toch voorkomt in de gemengde categorie Anuvadi. Blijkbaar wordt de perceptie van de kleine terts in die cultuur ervaren als één van milde spanning. In dit geval is te zien dat een wiskundig nette verhouding toch ervaren kan worden als licht dissonant. Hieruit blijkt onder anderen de rol die cultuur speelt bij de gevoelsmatige indeling. Deze indeling is een illustratie van het traditionele aspect van de muziek.
Het lijkt erop dat de keuze van srutis een muzikale benadering kende. De eerste sruti R1- werd bijvoorbeeld op de volgende wijze benaderd: ‘Men ging op zoek naar een dissonante klank die dicht op de Sa leunde maar niet zou klinken als een vals unisono.’ [4] Dit is duidelijk een muzikale benadering en niet een wiskundige.

Ook zijn andere srutis ontstaan als benaderingen van bestaande zuivere intervallen. Het kwint-interval (2:3) is in de muziek aangegeven met Pa, en kent twee noten, net eronder (Ma2+) en net erboven (D1-). De noot Pa is de ons bekende kwint en betreft een zuiver interval met een verhouding 2:3. In de westerse gelijkzwevende stemming is de reine kwint gestemd op 700 cents en daarin zijn de Indiase muzikanten nog wat preciezer: 702 cents. Al klinkt Karnatische muziek exotisch in onze oren, de beoefenaars zijn zeer kritisch op zuiverheid. [4]




3.2 Ritme
3.2.1 Tala
De Tala is een cyclus van een bepaalde tijdsduur. [9] Een tala is vergelijkbaar met een maat in de westerse muziek. Een tala bestaat uit minimaal drie aksharas (beats). Westerse muziek bestaat in het algemeen uit vier beats en dit is op te maken uit het aftellen dat overwegend in vieren gebeurd. In India heeft men de keuze uit zeer uiteenlopende getalswaarden voor de Tala, varieërend van Tala-3 tot Tala-29. [8] De tala kent ook een innerlijke structuur en verschilt hiermee van de maatsoort in westerse concepten. Tala’s met eenzelfde aantal aksharas kunnen zeer van elkaar verschillen door het verschil in subdivisie. Deze subdivisie vormt het karakter van de tala en speelt een significante rol in de omlijningen van de muzikale mogelijkheden van het stuk. [9]
3.2.2 Gati
Men kan verschillende onderverdelingen kiezen voor het aantal noten per beat. De onderverdeling in westerse muziek ligt vastgesteld op 4 en de mogelijkheden daarmee zijn hogere machten van twee: 2, 4, 8, 16, 32. In feite heeft dit systeem een vaste onderverdeling van vier noten per beat en zijn de andere snelheden daarop gebaseerd. In Zuid-Indiase muziek heeft men uitgebreidere mogelijkheden voor de onderverdeling van de beat en dit heet de Gati. Men heeft de keuze uit 3 (tisra), 4 (chatusra), 5 (khanda), 7 (misra) en 9 (sankirna chapu). [9] Als een Tala-12 bijvoorbeeld gespeeld wordt met een gati khanda (5 per beat), dan zijn er 12 beats x 5 matra’s/beat = 60 te spelen matra’s. [4] Dit soort berekeningen komen veelvuldig voor in het gebruik van ritmische structurele technieken.

3.2.3 Analyse in de Tala

Patroonvorming speelt in het algemeen een belangrijke rol in muziek.

Het is niet voor niets dat er overal veel structuur in muziek voorkomt. Patroonvorming wordt al vanaf zeer jonge leeftijd gewaardeerd. Experimenten hebben laten zien dat babies van vier maanden oud opmerkelijk langer bleven luisteren naar minuetten van Mozart dan dat ze deden naar versies die verkeerde frase-structuren bezaten. [10] Er is dus een algemene aanleg voor het waarderen van systematiek in muziek. De Karnatische muziek is bij uitstek een muziekvorm met uitgebreide ritmische structuren.
De berekening van het aantal matra’s in een Tala-12 ging al gepaard met een beetje hoofdrekenen, maar de wiskundige zal pas echt op het puntje van zijn stoel gaan zitten als we een aantal technieken de revue laten passeren.

3.2.4 Analyse van de mukthay

Een van de meest gebruikte technieken om een frase, een muzikale zin, te herstructureren is de zogeheten Mukthay. Hierbij wordt een gecomponeerde frase drie keer herhaald met daartussen twee keer een ‘gap’, een aantal matra’s rust. Bij het componeren telt men eerst het totaal aantal matra’s. In het geval van de tala-12 met een gati khanda heeft men 60 matra’s. In het geval van driemaal een frase van 20 matra’s houdt men geen matra’s over voor de ‘gaps’ tussen de frasen. Met een frase van 18 matra’s blijven er zes matra’s over, en dus twee gaps van 3 matra’s. Dit levert de structuur van de volgende mukthay op.


18 – 3 (gap) – 18 – 3 (gap) – 18
Als een mukthay eenmaal gecomponeerd is, kan deze door de muzikant opnieuw gebruikt worden in nieuwe uitvoeringen. [9]
3.2.5 Analyse van de kōrvai
Een ander interessant punt van aandacht is de esthetische opvatting over systematiek. Zo kan het opvallen of een muzikant veel waarde hecht aan systematiek. Dit voorbeeld is een van de meest bekende kōrvais. [9] Het is een structurele techniek waarmee het einde van een cadens wordt aangegeven. [4] Deze kōrvai heeft de volgende structuur:
2 + 4 (gap)

2 + 3 (gap)

3 + 3 (gap)

5 + 5 + 5


Deze kōrvai is zeer populair, maar beschikt volgens ritmisch muzikant Shivu Sudarshan [9] niet over een correcte berekening. De lengte van de ‘gap’ is niet constant en de toename van de frase is niet systematisch. Volgens Sudarshan zou dit de correcte kōrvai moeten zijn:
1 + 3 (gap)

2 + 3 (gap)

3 + 3 (gap)

5 + 5 + 5


Deze versie heeft een veel logischere opbouw. Toch is de ‘incorrecte’ versie ondanks de niet-symmetrische opbouw zeer bekend en gewaardeerd. In de beleving van muzikanten speelt structuur een belangrijke rol. Toch speelt traditie een grotere rol van betekenis en is de muziek niet puur wiskundig opgebouwd. Het publiek zou deze wiskundig ‘correcte’ versie namelijk als ‘verkeerd’ interpreteren. [9]

3.2.6 Welke rol spelen de berekeningen in de muziekbeleving?
Het is van belang om te onderzoeken of de muzikant daadwerkelijk aan het hoofdrekenen is tijdens de uitvoering van de muziek. We nemen hierbij de Zuid-Indiase drummer als voorbeeld en we zijn geinteresseerd in de wijze waarop deze zijn discipline leert. Zijn onderwijsprogramma bestaat uit elementen op verschillende niveau’s, het leren van: technieken spelen, karakteristieke frasen, karakteristieke structuren en de keuze van patronen en technieken in een muzikale situatie. [9] De leerling absorbeert zoveel mogelijk informatie van de meester. Hij leert een enorme hoeveelheid die hij later als zijn vocabulaire zal gebruiken. Hierbij wordt ook zijn eigen creativiteit gestimuleerd en het is uiteindelijk lastig om te bepalen wat zijn creaties en welke de creaties van de meester zijn geweest. Het rekenen en werken aan structuur gebeurt dus al grotendeels in de voorbereidende fase.
NG Ravi [9] zegt het volgende: ‘Calculations are one thing, but it’s about presentation, how you give it. Raw, halfbaked, baked, etc. Tadikinatom (khanda frase, red.) is common, but your look is different from mine. That is our music.’

Hieruit blijkt dat Ravi zich bewust is van de berekeningen, maar dat het in de muziek om een uitingsvorm gaat en dat die voor iedereen persoonlijk is. Het gaat om de muzikale benadering.



4. Conclusie

Ons onderzoek heeft zich gericht op de rol van wiskunde in het melodisch en het ritmisch aspect van Karnatische muziek.


We konden concluderen dat Karnatische muziek uitgebreide melodische mogelijkheden bezit. Dit is te verklaren vanuit het melodische karakter en de benadering vanuit innerlijke harmonie. Hierbij vroegen we ons af hoe de 22 srutis tot stand zijn gekomen. We konden concluderen dat enerzijds een universeel geldende consonantie-leer de basis heeft gevormd van de Samvadi-categorie. Deze intervallen laten zich mooi uitdrukken in nette verhoudingen. Wiskunde is hierbij echter een analytisch instrument en speelt geen rol in de menselijke perceptie van consonantie. Het viel ons op dat Ga2, die een nette verhouding vertoont van 4:5, voorkomt in de Anuvadi-categorie van noten met milde spanning. Hieruit blijkt de culturele invloed. Ook bleek uit de benadering van R1- de muzikale intenties.

Al met al kan op melodisch gebied geconcludeerd worden dat wiskunde geen rol speelde in het melodische aspect.

We zagen op ritmisch gebied dat de structuur zeer veel mogelijkheden biedt en dat de technieken een flink staaltje hoofdrekenen vereisten. Deze berekeningen geschieden echter in de voorbereidende fase en zijn niet een belangrijk onderdeel tijdens de uitvoering van de muziek. We konden wel concluderen dat systematiek zeer gewaardeerd wordt. De basis van de technieken zijn over het algemeen symmetrisch en elegant van vorm. Er is echter ook een voorbeeld te noemen van een kōrvai die niet voldoet aan deze symmetrische vorm en toch populair was. Hieruit blijkt de rol van traditie.
Al met al kan op ritmisch gebied geconcludeerd worden dat berekeningen en sytematiek een belangrijke rol spelen, maar de wiskundige toepassing zal ondergeschikt blijven aan muzikale conventies.

5. Bronnenvermelding
[1] ‘A gentle introduction to South Indian Classical music Part IV’ by Mahadevan Ramesh: http://www.image-in-asian.com/ramesh_m/gentle4.html datum 13-06-07 tijd 13:45

[2] Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Veda datum 15-06-07 tijd 11:39

[3] ‘Scale and Mode in the Music of the Early Tamils of South India’, Lewis Rowell in: Music Theory Spectrum, Vol. 22, No.2. (Autumn, 2000), pp. 135-156

[4] Met algemeen goedkeuren van J. Zwaanenburg

[5] The Traditional Music of Thailand. Morton, David, University of California Press. 1976

[6] ‘Music, Mathematics and Bach’, Rahul Siddharthan, in: Resonance Vol.4 No.3 (Maart 1999) pp. 61-70.

[7] ‘Bouw Lemkes over zuivere intonatie, het levenswerk van prof. Dr. A.D. Fokker’: http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/lemkesart.html datum 19-06-07 tijd 11:44

[8] Lesmateriaal uit de cursus ‘Contemperary Music’, J. Zwaanenburg, Conservatorium, Amsterdam, Juni 2007



[9] ‘Improvisation and its guiding principles in percussion playing in South Indian classical music’, Robbert van Hulzen, Master of Arts scriptie aan de UvA, Amsterdam, februari 2002

[10] ‘Mathematics and Music: A Search for Insight into Higher Brain Function’, Wendy S. Boettcher, Sarbina S. Hahn and Gordon L. Shaw, in: Leonardo Music Journal, Vol. 4 (1994), pp. 53-58




De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina