Fouten berekenen Leerdoelen



Dovnload 107.26 Kb.
Datum27.08.2016
Grootte107.26 Kb.

Fouten berekenen

Leerdoelen :


Na deze lesbrief kan je

- relatieve fouten berekenen

- absolute fouten berekenen in samengestelde grootheden

-bij optellen en aftrekken

-bij vermenigvuldigen en delen

- bij machtsverheffen

-waarde en absolute fout afronden

1. Inleiding.

Bij het doen van een meting zal je uitkomst een bepaalde onnauwkeurigheid hebben.

Deze onnauwkeurigheid wordt ook wel de absolute fout genoemd.
Voorbeeld 1
De lengte van een voorwerp kan je met een liniaal meten. De absolute fout is in dat geval 1 mm.
Als grootheden uit andere grootheden worden berekend moet je ook de absolute fout in het eindresultaat kunnen bepalen.

Voorbeeld 2


Oppervlakte bereken je met
Oppervlakte = lengte * breedte
Hoe je de absolute fout in de oppervlakte berekent leer je in onderdeel 5

2. De absolute fout

De onnauwkeurigheid van een meting , ook wel genoemd de absolute fout, geeft aan hoeveel de gemeten waarde kan afwijken. De absolute fout heeft dezelfde eenheid als de bijbehorende grootheid.


Voorbeeld 3
Stel : je meet een lengte met een liniaal en de waarde is 21 mm, de absolute fout is 1 mm.

Je schrijft dan Lengte = 21 ±1 mm .

De gemeten uitkomst ligt tussen de 20 mm en 22 mm.

Opdracht 1.



Meet van de onderstaande vierhoek de zijden en de diagonalen met een liniaal.

Geef bij iedere uitkomst ook de absolute fout.
AB = ± mm



BC =

CD =

DA =

AC =

BD =

Opdracht 2



Iemand meet de lichaamstemperatuur met een koortsthermometer.

Uitkomst 37,8ºC en de absolute fout is 0,2ºC.
Tussen welke twee waarden ligt de lichaamstemperatuur ?

Antwoord:

Opdracht 3



Iemand bepaald de massa van een blokje op een bovenweger : m = 210,45 ± 0,02 g
Hoeveel bedraagt de absolute fout van deze meting ?

Antwoord:

3. De KOW-methode

De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van



Kwadrateren, optellen en worteltrekken.

Voorbeeld 4

We gaan uit van twee getallen: 4,0 en 7,0.

Opgeteld via de KOW methode krijg je:


4. Grootheden optellen of aftrekken.

Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van optellen of aftrekken.


Voorbeeld 5.
De omtrek van een vierkant = AB+BC+CD+DA

Een temperatuurverschil = t eind - t begin

massa vloeistof = massa bekerglas vol - massa bekerglas leeg

De absolute fout in het resultaat van de optelling (of van het aftrekken) bepaal je dan met :


Regel 1

Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen.


Voorbeeld 6.
Iemand wil de massa van een hoeveelheid vloeistof bepalen.

Hij bepaalt de massa van een leeg bekerglas: 151,04±0,02g.

H
ij doet de vloeistof in het bekerglas 283,81 ± 0,02g.

Fouten samenstellen:

De massa van de vloeistof is dan 132,77 ± 0,028 g

Opdracht 4.



a.

Bereken de omtrek van de vierhoek op de vorige pagina, bereken ook de absolute fout in de omtrek.
Omtrek = ± cm
b.

Tussen welke twee waarden ligt de omtrek ?
Tussen cm en cm.

5. De relatieve fout

Het woord relatief betekent in verhouding tot.

Bij de relatieve fout gaat het erom hoe groot de absolute fout is in verhouding tot de waarde.

Formule :




De relatieve fout kan eventueel in procenten opgegeven worden.
Voorbeeld 7
De massa van een vloeistof is 132,77 ± 0,04 g

De relatieve fout in de massa is dan


Opdracht 5.


a.

Iemand meet Lengte = 21 ±1 mm.

Bereken de relatieve fout.

Antwoord :

b.

Bereken de relatieve fout in de omtrek uit opdracht 4

Antwoord:
Als je de relatieve fout weet kan je de absolute fout berekenen :

Voorbeeld 8
Een oppervlakte is 12,5 cm2.

De relatieve fout in het oppervlak is 3 %.

De absolute fout is dan 0,03 * 12,5 = 0,4 cm2

De oppervlakte is dan 12,5 ± 0,4 cm2.


Opdracht 6


Iemand heeft de dichtheid van een vloeistof bepaald met een relatieve fout van 0,02.

De uitkomst was 1,33 g/cm3.

Bereken de absolute fout.

Antwoord :

6. grootheden vermenigvuldigen en delen.

Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van vermenigvuldigen en delen.


Voorbeeld 9.
De oppervlakte van een rechthoek = AB*BC

De snelheid van een voorwerp v = s/t

De dichtheid van een stof ρ = m/V

De relatieve fout in het resultaat van de vermenigvuldiging (of van de deling) bepaal je dan met :


Regel 2

Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je

de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen

om de relatieve fout in het resultaat te krijgen.


Om overzichtelijk te werken maken we een tabel voor de berekening van de fout : Een foutenberekeningstabel.

7. Een uitgewerkt voorbeeld

Een rechthoek heeft een lengte van 12,5 cm en een breedte van 8,5 cm.

In beide afmetingen zit een absolute fout van 0,2 cm.

Gevraagd wordt de oppervlakte en de absolute fout in de oppervlakte.

Hieronder zie je de tabel met de gegevens ingevuld
Foutenberekeningstabel






















grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

lengte

12,5

0,2




breedte

8,5

0,2




oppervlakte









Nu wordt de relatieve fout berekend volgens par 4. Bovendien berekenen we de oppervlakte (lengte * breedte)
























grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

lengte

12,5

0,2

0,016

breedte

8,5

0,2

0,024

oppervlakte

106,25






Nu passen we regel 2 toe
























grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

lengte

12,5

0,2

0,016

breedte

8,5

0,2

0,024

oppervlakte

106,25




0,029

en tenslotte de formule die onder opdracht 5 staat :





grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

lengte

12,5

0,2

0,016

breedte

8,5

0,2

0,024

oppervlakte

106,25

3,1

0,029

Het voorlopige resultaat is:


De oppervlakte = 106,25 ± 3,1 cm2

8. Afronden.

Bij het afronden van de waarden en de fout moet je de volgende regel toepassen.


Regel 3.

Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en

de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout.

Toegepast op het voorbeeld (zie onderdeel 6)


We hadden als voorlopig resultaat :
Het oppervlakte = 106,25 ± 3,1 cm2
De absolute fout in één cijfer : 3,1 wordt 3

De waarde afronden overeenkomstig de fout betekent: De waarde mag niet meer decimalen hebben dan de fout.

Dus hier : de fout heeft nul decimalen, de waarde moet ook zonder decimalen opgegeven worden : 106,25 wordt 106.
Eindresultaat : De oppervlakte = 106 ± 3 cm2

Opdracht 7

Iemand bepaalt het volume (V) van een blokje. Hij meet de lengte l, de breedte b en de hoogte h. Het volume wordt berekend met



V = l . b . h

resultaten


Gevraagd wordt V en de absolute fout in V. Maak onderstaande tabel compleet en rond het resultaat af.
Foutenberekeningstabel






















grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

l (cm)

12,5

0,1




b (cm)

8,5

0,1




h (cm)

2,4

0,1




V (cm3)









V = ± cm3


9. Machtsverheffen

Het komt ook voor dat een grootheid wordt berekend uit een andere grootheid door machtsverheffen.


Voorbeelden:

volume van een cilinder

de warmteontwikkeling in een weerstand
Regel 4

Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen.


Voorbeeld : Een vierkant heeft zijde z = 4,2 ± 0,1 cm . Het oppervlak van het vierkant en de absolute fout daarin vind je als volgt.
Eerst bereken je de relatieve fout in z






















grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

z (cm)

4,2

0,1

0,024

A = z 2 (cm)

17,64






Deze relatieve fout moet maal 2 (want de macht is 2 )




grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

z (cm)

4,2

0,1

0,024

A = z 2 (cm)

17,64




0,048

Vervolgens bereken je de absolute fout met




grootheid

waarde

absolute

relatieve







fout

fout

z (cm)

4,2

0,1

0,024

A = z 2 (cm)

17,64

0,84

0,048

afronden A = 17,6 ± 0,8 cm 2


10. Oefenopdrachten.





  1. Iemand meet de temperatuur van warm water. tw = 78 °C. En ook van koud water tk = 11 °C

De absolute fout van de thermometer bedraagt 1 °C.

Bereken het temperatuurverschil tussen warm en koud water en de absolute fout hierin.





  1. Rond de waarden en de absolute fouten op de juiste wijze af.
    1,14 ± 0,26
    51,67 ± 0,96
    105 ± 31




  1. Twee weerstandswaarden zijn gegeven.

R1 = 220 ± 5 Ω

R2 = 470 ± 5 Ω


Bereken de vervangingsweerstand bij een serieschakeling en de absolute fout in deze waarde.

Formule :




4. Twee weerstandswaarden zijn gegeven.

R1 = 220 ± 5 Ω

R2 = 470 ± 5 Ω
Bereken de vervangingsweerstand bij een parallelschakeling en de absolute fout in deze waarde.

Gebruik onderstaande tabel.

Formule :





Grootheid

waarde

absolute fout

relatieve fout

R1










R2










R1*R2










R1+R2










Rpar









5.

Een student wil de dichtheid van een steen meten.



Hij bepaalt de massa, hij vindt

massa = 351,09 ± 0,02 g

Hij doet water in een maatcilinder en leest het volume af : Vwater = 156,0 ± 0,5 ml

Hij doet de steen in het water en leest opnieuw het volume af : V steen + water = 261,5 ± 0,5 ml


Hij berekent het volume van de steen met

V steen = V steen + water - V water
De dichtheid van de steen berekent hij met :
ρ steen = m steen / V steen

Bereken de dichtheid van de steen en de absolute fout in de dichtheid van de steen.

Vul daartoe de volgende tabel in en rond je resultaat op de juiste wijze af.


Grootheid

waarde

absolute fout

relatieve fout

m steen










V steen + water










V water










V steen










ρ steen









resultaat : ρ steen = ± g/ml



10. Samenvatting foutenberekening





De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van

Kwadrateren, optellen en worteltrekken.


Regel 1


Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen.
Regel 2

Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je

de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen

om de relatieve fout in het resultaat te krijgen.


Regel 3.

Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en

de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout.
Regel 4

Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen.


tabel:


grootheid

waarde

absolute fout

relatieve fout















Versie 8/27/2016 pagina





De database wordt beschermd door het auteursrecht ©opleid.info 2019
stuur bericht

    Hoofdpagina